第10讲 证明垂直
证明垂直,一般通过降维的手段,最终归结为证明线线垂直.线线垂直是问题的核心,具体线线垂直的证明方式总结如下.
（1）共面直接证明
1.勾股定理:在中,,则.
2.三线合一:在中,是的中点,则.
3.矩形:找到或者证明一个四边形是矩形,则可得邻边相互垂.
（2）性质定理转化证明
1.线面垂直:若要证明的直线为异面直线,通常转化为线面垂直,利用线面垂直的性质证明线线垂直
2.面面垂直：若题目中给了面面垂直，通常是要找到两平面交线和垂直于交线 的直线，利用面面垂直性质转化为线面垂直.
勾股定理证明垂直
【例1】如下图所示,在三棱柱中,.证明:平面.
【例2】如下图所示,在四棱锥中,平面,四边形是平行四边形,是边长为的等边三角形,.证明:平面.
【例3】如下图所示,已知在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,侧棱,过点的平面与侧棱分别相交于点,且满足.证明:平面.
【例4】如下图所示,在四棱锥中,平面,点在线段上,且平面.证明:平面平面.
三线合一证明垂直
【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面是正方形,若.证明:平面平面.
【例2】如下图所示,在三棱柱中,,点为的中点,.证明:平面平面.
性质定理证明垂直
【例1】如下图所示,在三棱柱中,,平面平面.证明:平面平面.
【例2】如下图所示,底边是正方形,平面平面.证明:平面平面.
特殊四边形证明垂直
【例1】如下图所示,在三三棱柱中,底面是等边三角形,侧面为菱形,且平面平面,点为棱的中点.证明:平面.
【例2】如下图所示,在直四棱柱中,底面是菱形,分别为的中点.证明:平面.第10讲 证明垂直
证明垂直,一般通过降维的手段,最终归结为证明线线垂直.线线垂直是问题的核心,具体线线垂直的证明方式总结如下.
（1）共面直接证明
1.勾股定理:在中,,则.
2.三线合一:在中,是的中点,则.
3.矩形:找到或者证明一个四边形是矩形,则可得邻边相互垂.
（2）性质定理转化证明
1.线面垂直:若要证明的直线为异面直线,通常转化为线面垂直,利用线面垂直的性质证明线线垂直
2.面面垂直：若题目中给了面面垂直，通常是要找到两平面交线和垂直于交线 的直线，利用面面垂直性质转化为线面垂直.
勾股定理证明垂直
【例1】如下图所示,在三棱柱中,.证明:平面.
【解析】证明：如下图所示,连接.
由可得为等边三角形.
,
,
.
又,
且平面,
平面.
【例2】如下图所示,在四棱锥中,平面,四边形是平行四边形,是边长为的等边三角形,.证明:平面.
【解析】证明：平面,且,平面.
在Rt中,,
.
在Rt中,.
.
四边形是平行四边形,
.
平面平面,
.
又,
平面.
【例3】如下图所示,已知在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,侧棱,过点的平面与侧棱分别相交于点,且满足.证明:平面.
【解析】证明：(1)如下图所示,连接,.
,连接.
.
又底面是菱形,.
平面..
又.
由已知条件得.
由余弦定理得,.,
.
与相交,且都在平面AEMF内,
平面.
【例4】如下图所示,在四棱锥中,平面,点在线段上,且平面.证明:平面平面.
【解析】证明：如下图所示,连接交于点,连接.
平面平面,平面平面,
.
由知,.
又.
.
在中,,由余弦定理得,即,故,.
平面平面,
.
又平面.
又平面,
平面平面PAD.
三线合一证明垂直
【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面是正方形,若.证明:平面平面.
【解析】证明：如下图所示,取的中点为,连接.
.
,
.
在正方形中,
.
,
为直角三角形且.
,
平面.
平面,
平面平面.
【例2】如下图所示,在三棱柱中,,点为的中点,.证明:平面平面.
【解析】证明：如下图所示,取的中点为,连接,则.
在中,,
.
,
平面.
平面,
.
根据已知,,
又,
.,
平面.
又平面,
平面平面.
性质定理证明垂直
【例1】如下图所示,在三棱柱中,,平面平面.证明:平面平面.
【解析】证明： ∵ 且四边形 为平行四边形,
四边形为菱形..
又平面平面,
平面平面,
平面.
又平面,
平面平面.
【例2】如下图所示,底边是正方形,平面平面.证明:平面平面.
【解析】证明： ∵平面平面 ，
平面平面,
平面,
平面.
平面,
.
又四边形是正方形,
.
平面,
平面,
平面.
又平面,
平面平面.
特殊四边形证明垂直
【例1】如下图所示,在三三棱柱中,底面是等边三角形,侧面为菱形,且平面平面,点为棱的中点.证明:平面.
【解析】证明：设的中点为与的交点为,连接,如下图所示.
由为的中点可得.
又平面平面,平面平面,
平面.
又为的中点,
且.
又且,
且.
因此四边形为平行四边形,
且,
平面.
又四边形为菱形,
.
又平面,
平面,
平面.
【例2】如下图所示,在直四棱柱中,底面是菱形,分别为的中点.证明:平面.
【解析】证明：如下图所示,连接交于点,连接.
四边形为菱形,且,
为的中点.
为的中点,
且.
在直四棱柱中,
且,
又为的中点,
且.
且.
四边形为平行四边形.
.
在直四棱柱中,底面底面,
.
底面是菱形,
.
又,且平面
平面.
平面.
