第21讲 定值问题的核心思路
所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些量在变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变，即为定值．定值问题的解题目的：消掉所有参数，得到某个量为一个无参的数值，即为定值，可以是面积、线段长度、向量积和斜率为定值．
常用消参方法：
（1）等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
（2）分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
（3）因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
（4）参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
面积定值
所谓面积定值问题，就是证明一个图形的面积为定值，我们需要把所有参数消掉，这里消参的方式主要会用到两种：分式相除消参和等式带用消参，这两种方法也往往是结合起来的，请慢慢体会．
方法一：分式相除消参
【例1】 如下图所示，已知双曲线，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，为坐标原点．求证：面积为定值，并求出该定值．
【解析】证明 由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消整理得，
．
设与轴交于一点，则，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立得．
联立得．
则（定值）．
【例2】如下图所示，点为椭圆：上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：四边形的面积为定值．
【解析】证明 ∵椭圆的方程为：，
∴，．
设，则1，即．
则直线的方程为：，令，得．
同理，直线的方程为：，令，得．
∴
．
即四边形的面积为定值2．
等式带入消参
【例1】如下图所示，若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于．试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】证明 由直线与椭圆交于两点，
联立方程，整理得．
设，，则
，
，．
∵
，
∴．
∴．
原点到的距离，
∴．
【例2】直线与椭圆交于两点，在椭圆上且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．
【解析】证明 设，，，
联立，
消去并整理得，
则，，
．
∵四边形为平行四边形，
∴，
得点，
将点坐标代入椭圆方程得．
点到直线的距离为，，
∴平行四边形的面积为
，
故四边形的面积为，为定值．
【例3】点在椭圆上，点是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．
【解析】证明 最多只有条边所在直线与轴垂直，
不妨设所在直线与轴不垂直，其方程为．
∵的重心是，
∴不在直线上，．
联立，消去整理得．
设，，则
，
且，．
从而．
设点．
∵的重心是坐标原点，
∴．
∴，．
∵点在粗圆上，
∴，
即，且符合．
点到直线的距离为，
的面积，
∵即，
∴，为常数．
向量积定值
【例1】如下图所示，过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．
【解析】证明 设直线的方程为（一定存在，且）．
联立，消去并整理得．
【解析】得，于是．
易知点，∴的斜率为．
∵，∴直线的方程为．
联立，【解析】得．
故，为定值．
【例2】设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值．存不是，说明理由．
【解析】证明 （1）当切线的斜率不存在时，其方程为．
将代入得．
不妨设，，
又由于点，∴．
同理，当时，也有．
（2）当切线的斜率存在时，设方程为，点，点．
∵直线与苦相切，∴，即．
将代入得，
∴，．
又
．
又
．
将代入上式得．
综上，，为定值．
斜率定值
所谓斜率定值是关于两直线斜率的和、积或者商为定值的问题，其【解析】题思路依然是想办法消参．
题型一：斜率的和为定值
【例1】过点的直线与椭圆：相交于两点，设点，直线的斜率分别为，是否为定值？并证明你的结论．
【解析】（1）当直线的斜率不存在时，由，解得．
设，，，为定值．
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
将代入，整理化简得．
依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，
则，，又，，
∴
．
综上得为定值2．
【例2】已知点，，过点的直线交椭圆于两点，直线的斜率分别为．求证：为定值．
【解析】证明 ∵过点的直线与椭圆交于两点，
∴直线的斜率一定存在，设斜率为，则直线的方程为：．
设，．
联设，消得，
∴．∵，∴．
∴
．
综上，为定值2．
斜率的积为定值
【例1】如下图所示，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，的面积为1．
（1）求椭圆的方程．
（2）若点，点是椭圆上的两点，且，记直线的斜率分别为．证明：为定值．
【解析】 （1）由题意知，由于，解得，故的方程为．
（2）由（1）题得，，直线的斜率为．
∵，故可设的方程为．
设点，点，
联立，消去得，
∴，从而．
直线的斜率，直线的斜率．
∴
．故为定值．
【例2】已知椭圆的方程为，若直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与圆交于两点，直线的斜率分别记为．试判断是否为定值，若是，求出该定值．否则，请说明理由．
【解析】 为定值．理由如下：
（1）当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为．
①当时，，，则．
②当时，，，则．
（2）当过的直线斜率存在时，设其方程为，，．
联立，消去整理得．
由题意知得．
联立，消去整理得．
则，．
∴
．
综上，为定值．
斜率的商为定值
【例1】如下图所示，点为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值．
【解析】证明 法一：设直线为，代入椭圆方程消去可得．
∴，．则，即，
∴，即为定值．
法二：设直线为，
代入椭圆方程消去得，
则，．
∴
∵，，
代入得．
即为定值．
【例2】过点斜率为的直线交抛物线于两点，点，延长分别与抛物线交于两点，设的斜率为．证明：为定值．
【解析】 设点，点，点，点，由题意可知直线的方程为，代入抛物线中，消去得，
则，．
由直线过点，可得，
∴，．
于是，
即，故为定值，命题得证．
线段定值
【例1】设椭圆的左、右顶点分别为点，左焦点为点，过点的直线与椭圆交于两点（点和点均不在坐标轴上），直线分别与轴交于点，直线分别与轴交于点．求证：为定值，并求出该定值．
【解析】证明 由题意知，，，．
∵直线不与轴垂直，且不过椭圆的上、下顶点，
∴可设直线的方程为．设，．
联立，消去整理得．．
由韦达定理得，．
直线的方程为，∴点．
同理，．
∴
．
直线的方程为，点．
同理，点．
∴
．
由题意，，故．
【例2】过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且．求证：为定值．
【解析】证明 设直线方程：，，
联立得．
由韦达定理得，
，，
则，
，．
设直线方程为且令，
联立，得，
由韦达定理得，，
∴，，
∴定值为．
【例3】过椭圆的右焦点的直线（的斜率存在）交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点．问：是否是定值？若是，求出定值：老不是，说明理由．
【解析】 分以下两种情况讨论．
（1）当直线斜率不为时，设其方程为，且，，
联立，消去得，
则，
且，
∴弦的中点的坐标为，
则弦的垂直平分线方程为，
令，得，
∴，
又
，
∴．
（2）当直线斜率为时，则，，则．
综合（1）式，（2）式得是定值，且为．
【例4】如下图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点．
（1）求抛物线的方程．
（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值．若不是，请说明理由．
【解析】 （1）由准线方程可得，
∴抛物线方程：．
（2）设切点，
抛物线为，
∴．∴切线斜率为．
∴切线方程为：，代入及，
可得，
解得（舍）或．
∴，．
设．
∵点共线且在轴上，
∴．
联立和抛物线方程，
整理得．，．
再联立，直线方程：，
．第21讲 定值问题的核心思路
所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些量在变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变，即为定值．定值问题的解题目的：消掉所有参数，得到某个量为一个无参的数值，即为定值，可以是面积、线段长度、向量积和斜率为定值．
常用消参方法：
（1）等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
（2）分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
（3）因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
（4）参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
面积定值
所谓面积定值问题，就是证明一个图形的面积为定值，我们需要把所有参数消掉，这里消参的方式主要会用到两种：分式相除消参和等式带用消参，这两种方法也往往是结合起来的，请慢慢体会．
方法一：分式相除消参
【例1】 如下图所示，已知双曲线，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，为坐标原点．求证：面积为定值，并求出该定值．
【例2】如下图所示，点为椭圆：上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：四边形的面积为定值．
等式带入消参
【例1】如下图所示，若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于．试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【例2】直线与椭圆交于两点，在椭圆上且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．
【例3】点在椭圆上，点是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．
向量积定值
【例1】如下图所示，过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．
【例2】设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值．存不是，说明理由．
斜率定值
所谓斜率定值是关于两直线斜率的和、积或者商为定值的问题，其【解析】题思路依然是想办法消参．
题型一：斜率的和为定值
【例1】过点的直线与椭圆：相交于两点，设点，直线的斜率分别为，是否为定值？并证明你的结论．
【例2】已知点，，过点的直线交椭圆于两点，直线的斜率分别为．求证：为定值．
斜率的积为定值
【例1】如下图所示，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，的面积为1．
（1）求椭圆的方程．
（2）若点，点是椭圆上的两点，且，记直线的斜率分别为．证明：为定值．
【例2】已知椭圆的方程为，若直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与圆交于两点，直线的斜率分别记为．试判断是否为定值，若是，求出该定值．否则，请说明理由．
斜率的商为定值
【例1】如下图所示，点为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值．
【例2】过点斜率为的直线交抛物线于两点，点，延长分别与抛物线交于两点，设的斜率为．证明：为定值．
线段定值
【例1】设椭圆的左、右顶点分别为点，左焦点为点，过点的直线与椭圆交于两点（点和点均不在坐标轴上），直线分别与轴交于点，直线分别与轴交于点．求证：为定值，并求出该定值．
【例2】过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且．求证：为定值．
【例3】过椭圆的右焦点的直线（的斜率存在）交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点．问：是否是定值？若是，求出定值：老不是，说明理由．
【例4】如下图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点．
（1）求抛物线的方程．
（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值．若不是，请说明理由．
