第18讲 基本解析几何问题
这一节我们讲解解析几何中最基本的长度、角度和面积等问题,这些是解决其他问题的基础,对于长度问题就是利用弦长公式进行求解,角度问题通常转化为斜率或者利用解三角形的知识把角度问题转化为边长问题,而其中较为综合的就是面积问题,对于面积问题,我们要注意合理地拆分几何图形,选择面积公式,并尽可能凑出韦达,从而实现整体代换来简化计算.
弦长问题
直线与圆锥曲线相交弦长问题.解题方法是设而不求,整体代换的思想方法,具体步骙如下.
第一步:设交点坐标,,设出直线方程.
第二步:代入椭圆方程后应用韦达定理得.
第三步:代入弦长公式.或求解.
注意:若过抛物线的焦点,可直接使用公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
【例1】求直线和椭圆:的弦长.
【解析】第一步:设直线上两
同理可证得.
而此吋我们直接求解,是一件很麻烦的事情,因此需要去凑出韦达定理,从而实现整体代换.
第二步:联立直线与椭圆方程得,确定主变量并通过直线方程消去另一变量,代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程:,整理可得
=0
由韦达定理可得根与系数的关系:
,最后带入参数数值即可得弦长.
【例2】若斜率为1的直线交椭圆于两点,且,求直线的方程.
【解析】设直线的方程为,点,联立方程化简得.
由已知得,即,
,且,.
.
解得,符合题意.
直线的方程为或.
三角形面积
直线和椭圆交于两点,和轴交于点,求.
解设,求出相关参数带入面积公式,这里有两种方法来解题:
法一:求出弦长,和点到的距离,
带入公式:.
法ニ:把拆分成两个三角形,带入计算,
即..
【例1】过点的斜率为2的直线交椭圆于两点,求. 面积.
【解析】直线的方程为,代入 圆方程得. ,则.
设. ,则.
.
.
又点到直线的距离,
.
【例2】过点,且斜率为的直线与椭圆交于两点,求的面积(为坐标原点).
【解析】由题意可得直线的方程为.设. .
联立. ,整理得. .
则,
从而 .
故 的面 积 .
四边形面积
求解四边形的面积问题,通常来说有两种方法:
1.公式法:如果满足特殊的四边形,比如梯形、矩形、正方形、平行四边形等,则直接代面积公式.
2.拆分法:如果不是特殊四边形,可以把四边形分割成两个三角形,利用三角形的面积公式进行求解,其中比较特殊的是对角线垂直的四边形,其面积为对角线乘积的一半,平行四边形的面积为两个全等三角形的面积之和.
【例1】设椭圆的上焦点为,过且斜率为的直线与椭圆交于两点,若(其中为坐标原点),求点的坐标及四边形的面积.
【解析】直线的方程为,代入椭圆得.
设,则.
四边形是平行四边形.
而原点到直线的距离为
【例2】如下图所示已知抛物线的焦点为,准线为,过且斜率为的直线与拋物线相交于两点,过分别作准线的垂线,垂足分别为,求四边形的面积.
【解析】由题可得焦点为,准线为.
不妨设,过且斜率为的直线的方程为,
由得.
代入得.
四边形是直角梯形,
四边形的面积为.
【例3】若直线与曲线交于两点,点为坐标原点,点是曲线上的一点,且四边形是平行四边形,求四边形的面积.
【解析】
设,由,
由韦达定理可得,
且,即.
四边形是平行四边形,
,则.
点在椭圆上,把坐标代入椭圆方程得
.
则
到直线的距离,
四边形的面积为.
【例4】如下图所示，已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设点在椭圆上,且与轴平行,过作两条直线分别交椭圆于两点,直线平分,且直线过点,求四边形的面积.
【解析】(1)由离心率,得①,
由于点. 在椭圆上,故②
联立①式、②式得,所以椭圆的方程为.
(2)由直线讨点,可设.
联立直线与椭圆的方程得,
设,
③
因为直线平分,所以,
④
将③式代入④式并化简得第18讲 基本解析几何问题
这一节我们讲解解析几何中最基本的长度、角度和面积等问题,这些是解决其他问题的基础,对于长度问题就是利用弦长公式进行求解,角度问题通常转化为斜率或者利用解三角形的知识把角度问题转化为边长问题,而其中较为综合的就是面积问题,对于面积问题,我们要注意合理地拆分几何图形,选择面积公式,并尽可能凑出韦达,从而实现整体代换来简化计算.
弦长问题
直线与圆锥曲线相交弦长问题.解题方法是设而不求,整体代换的思想方法,具体步骙如下.
第一步:设交点坐标,,设出直线方程.
第二步:代入椭圆方程后应用韦达定理得.
第三步:代入弦长公式.或求解.
注意:若过抛物线的焦点,可直接使用公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
【例1】求直线和椭圆:的弦长.
【例2】若斜率为1的直线交椭圆于两点,且,求直线的方程.
三角形面积
直线和椭圆交于两点,和轴交于点,求.
解设,求出相关参数带入面积公式,这里有两种方法来解题:
法一:求出弦长,和点到的距离,
带入公式:.
法ニ:把拆分成两个三角形,带入计算,
即..
【例1】过点的斜率为2的直线交椭圆于两点,求. 面积.
【例2】过点,且斜率为的直线与椭圆交于两点,求的面积(为坐标原点).
四边形面积
求解四边形的面积问题,通常来说有两种方法:
1.公式法:如果满足特殊的四边形,比如梯形、矩形、正方形、平行四边形等,则直接代面积公式.
2.拆分法:如果不是特殊四边形,可以把四边形分割成两个三角形,利用三角形的面积公式进行求解,其中比较特殊的是对角线垂直的四边形,其面积为对角线乘积的一半,平行四边形的面积为两个全等三角形的面积之和.
【例1】设椭圆的上焦点为,过且斜率为的直线与椭圆交于两点,若(其中为坐标原点),求点的坐标及四边形的面积.
【例2】如下图所示已知抛物线的焦点为,准线为,过且斜率为的直线与拋物线相交于两点,过分别作准线的垂线,垂足分别为,求四边形的面积.
【例3】若直线与曲线交于两点,点为坐标原点,点是曲线上的一点,且四边形是平行四边形,求四边形的面积.
【例4】如下图所示，已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设点在椭圆上,且与轴平行,过作两条直线分别交椭圆于两点,直线平分,且直线过点,求四边形的面积.
