第15讲 参数方程解决最值和范围问题
参数方程的核心在于引入参数作为中间变量来统一坐标,把双元问题转化为单元问题,结合三角函数来求解距离最值问题和范围问题.解题时需要设出曲线上的点,的参数坐标,再代人距离公式计算即可.
坐标最值
【例1】已知圆的极坐标方程为。.
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)若点在该圆上,求1的最大值和最小值.
【解析】 (1)已知圆的极坐标方程为
,
整理得,
即,
圆的直角坐标方程为.
(2)由(1)题知,圆的直角坐标方程为,
圆的参数方程为（其中为参数,),
点的坐标为在该圆上,
的坐标为,
【例2】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程.
(2)设为曲线上的任意一点,求的取值范围.
【解析】 (1)已知直线的参数方程是(其中为参数),
消去参数可得直线的直角坐标方程:.
由得,
整理得,
故由线的直角坐标方程为.
(2)根据(1)题得曲线的直角坐标方程:.令,
则,.
的取值范围是.
点到点的距离
【例1】在直角坐标系中,曲线的直角坐标方程为,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程.
(2)点为曲线上一动点,点为曲线上一动点,试求的最小值.
【解析】 (1)将代入曲线的极坐标方程,整理得曲线的直角坐标方程为.
(2)根据已知,设点坐标为,,
曲线是一个圆,其圆心为,.
【例2】在极坐标系中,点的坐标为的坐标为,曲线的极坐标方程:.以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)在直角坐标系中,求点的直角坐标及曲线的参数方程.
(2)设点为曲线上的动点,求的取值范围.
【解析】 (1)已知,【解析】得.
,,
即.
曲线的参数方程为(其中为参数).
(2)不妨设点的坐标为,,
点线距离问题
【例1】在平面直角坐标系中,直线的参数数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)设点为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.
【解析】 (1)曲线的直角坐标方程为,将代入直线的极坐标方程,得的直角坐标方程为.
(2)设点,的坐标为,
则点.到直线的距离,
当时,距离最小,最小值.
【例2】在极坐标系中,直线4,圆.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求直线的直角坐标方程和圆的参数方程.(2)已知点在圆上,点到和轴的距离分别为,求的最大值.
【解析】 (1)的极坐标方程为4,整理得.
直线的直角坐标方程为.
圆的极坐标方程为,整理得
,
圆的直角坐标方程为.
由得
圆的参数方程为（其中为参数,且.
(2)设点的坐标为,则
.
当时,取得最大值7.
【例3】已知曲线,直线:(其中为参数).
(1)写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程.
(2)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.
【解析】 (1)曲线的参数方程为
直线的直角坐标方程为.
(2)曲线上任意一点到的距离,则
.其中为锐角,且.
当时,取到最大值，最大值为.
当时,取到最小值,最小值为.
【例4】在平面直角坐标系中,椭圆的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
(1)求经过椭圆右焦点且与直线垂直的直线的极坐标方程.
(2)若点为椭圆上任意一点,当点到直线的距离最小时,求点的直角坐标.
【解析】 (1)已知椭圆的参数方程为（其中为参数）,消去参数,整理得,
椭圆的标准方程为.椭圆的右焦点为,由得.
直线的直角坐标方程为.
过点与垂直的直线方程为,即.
直线的极坐标方程为
(2)设点的坐标为,
则点到直线的距离,其中,
当时,取最小值.此时.
,
点坐标为.第15讲 参数方程解决最值和范围问题
参数方程的核心在于引入参数作为中间变量来统一坐标,把双元问题转化为单元问题,结合三角函数来求解距离最值问题和范围问题.解题时需要设出曲线上的点,的参数坐标,再代人距离公式计算即可.
坐标最值
【例1】已知圆的极坐标方程为。.
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)若点在该圆上,求1的最大值和最小值.
【例2】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程.
(2)设为曲线上的任意一点,求的取值范围.
点到点的距离
【例1】在直角坐标系中,曲线的直角坐标方程为,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程.
(2)点为曲线上一动点,点为曲线上一动点,试求的最小值.
【例2】在极坐标系中,点的坐标为的坐标为,曲线的极坐标方程:.以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)在直角坐标系中,求点的直角坐标及曲线的参数方程.
(2)设点为曲线上的动点,求的取值范围.
点线距离问题
【例1】在平面直角坐标系中,直线的参数数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)设点为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.
【例2】在极坐标系中,直线4,圆.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求直线的直角坐标方程和圆的参数方程.
(2)已知点在圆上,点到和轴的距离分别为,求的最大值.
【例3】已知曲线,直线:(其中为参数).
(1)写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程.
(2)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.
【例4】在平面直角坐标系中,椭圆的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
(1)求经过椭圆右焦点且与直线垂直的直线的极坐标方程.
(2)若点为椭圆上任意一点,当点到直线的距离最小时,求点的直角坐标.
