第14讲 直线参数t的几何意义
对于直线的标准参数方程,核心在于理解参数的几何意义.我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积、商等问题,通常通过方程联立,凑出韦达定理来求解.
过定点,倾斜角为的直线的参数方程为(其中为参数),其中的几何意义为:是直:线上任一点到的距离,设是直线上任意两点,对应的参数分别为,则有以下结论.
(1)线段相关问题
线段积:
线段商:
线段差:
线段和:
(2)线段的中点对应的参数.
(3)若线段的中点为,则且.
注意:求解时需先判断的正负,再求值,如果点相对于点在直线向上的方向,则为正,否则为负.
线段和
【例1】在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线与曲线的直角坐标方程.
(2)若直线与轴的交点为点,直线与曲线的交点为点,求的值.
【解析】((1)由直线的参数方程(其中为参数),得直线的直角坐标方程为.
曲线的极坐标方程为,整理得,
将代入上式得.
曲线的直角坐标方程为.
(2)将代入得
即.
设对应的参数分别为,则.
..
【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的倾斜角.
(2)设点,直线和曲线交于两点,求.
【解析】(1)根据已知,消去参数,整理得,
即曲线的直角坐标方程为.
根据,得.
将代入上式并化简得.
直线的倾斜角为.
(2)由(1)题知,点在直线上,设直线的参数方程为(其中为参数)，
将上述参数方程代入,化简得
线段差
【例1】 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程.
(2)设点,直线与曲线的交点为点和点,求.
【解析】 (1)由得直线的直角坐标方程为.
由,整理得.
化简上式得,
由线的直角坐标方程为.
(2)由(1)题知直线过点,斜率为倾斜角.
中为参数),将代入,化简得.
设两点的参数分别为,则
【例2】在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)已知点,若直线与曲线交于两点,求||的值.
【解析】 曲线 C的参数方程为
，
两式相减得,即曲线的直角坐标方程为.
直线的极坐标方程为,整理得,转换为直角坐标方程为.
(2)直线过点,直线的参数方程为(其中为参数),
根据直线的参数方程,令点对应的参数分别为,
则,
线段积
【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)已知点,若和的交点为,求。.
【解析】 (1)由已知整理得由线的参数方程为(其中为参数),
平方后相加得.
曲线的直角坐标方程为,
直线的极坐标方程为,整理得.
将代入即可得到直线的直角坐标方程:.
(2)点在直线上,直线的斜率为,倾斜角,
中为参数),
将上式代入曲的直角坐标方程得
设点对应的参数分别为和,
由韦达定理得,
.
【例2】c的参数方程为（其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,证明:。为定值.
(1)【解析】 由题意得,
曲线的直角坐标方程为.整理直线的极坐标方程得,
故直线的直角坐标方程为.
(2)证眀 显然,点的坐标为,不妨设过点的直线方程为（其中为参数,为倾斜角）,
将参数方程代入曲线的直角坐标方程得为定值.
线段商
【例1】在直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中为参数,为直线的倾斜角),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程.
(2)若点的坐标为,直线与曲线相交于两点,且,求直线的直角坐标方程.
【解析】 (1)已知,
曲线的极坐标方程:,即，
得,即曲线的直角坐标方程为.
(2)将代入曲线的直角坐标方程得
化简得.
设两点对应的参数分别为,则
,
由得,
,
整理得.
解得或1,经检验此时(1)对应的,直线的方程为或.
线段综合
【例1】在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,曲线变为曲线.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,为极角,直线的极坐标方程为,其中为参数,且.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程.
(2)设直线与轴交于点,与曲线交于两点,求的取值范围.
【解析】 (1)将代入1,化简整理得,即,
曲线的直角坐标方程是
角为,且经过点.
故直线的参数方程为(其中为参数).
(2)将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程,整理得,
设两点对应的参数分别为,则,
【例2】 已知曲线的参数方程为(其中为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线和曲线的直角坐标方程.
(2)过点的直线与交于两点,与交于两点,求的取值范围.
【解析】 (1)根据题中已知化简整理得,曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.
(2)设直线的参数方程为(其中为参数).
直线与曲线存在两个交点,.
联立直线与曲线得
,
则.
联立直线与曲线得
,
则.
即
.
的取值范围是
【例3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程.
(2)直线与曲线交于两点,设点的坐标为,求的值.
【解析】 (1)根据题中已知整理得曲线的直角坐标方程:,直线直角坐标方程:.
(2)设的参数方程:(其中为参数),
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程:,整理得第14讲 直线参数t的几何意义
对于直线的标准参数方程,核心在于理解参数的几何意义.我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积、商等问题,通常通过方程联立,凑出韦达定理来求解.
过定点,倾斜角为的直线的参数方程为(其中为参数),其中的几何意义为:是直:线上任一点到的距离,设是直线上任意两点,对应的参数分别为,则有以下结论.
(1)线段相关问题
线段积:
线段商:
线段差:
线段和:
(2)线段的中点对应的参数.
(3)若线段的中点为,则且.
注意:求解时需先判断的正负,再求值,如果点相对于点在直线向上的方向,则为正,否则为负.
线段和
【例1】在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线与曲线的直角坐标方程.
(2)若直线与轴的交点为点,直线与曲线的交点为点,求的值.
【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的倾斜角.
(2)设点,直线和曲线交于两点,求.
线段差
【例1】 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程.
(2)设点,直线与曲线的交点为点和点,求.
【例2】在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)已知点,若直线与曲线交于两点,求||的值.
线段积
【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)已知点,若和的交点为,求。.
【例2】c的参数方程为（其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,证明:。为定值.
线段商
【例1】在直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中为参数,为直线的倾斜角),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程.
(2)若点的坐标为,直线与曲线相交于两点,且,求直线的直角坐标方程.
线段综合
【例1】在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,曲线变为曲线.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,为极角,直线的极坐标方程为,其中为参数,且.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程.
(2)设直线与轴交于点,与曲线交于两点,求的取值范围.
【例2】 已知曲线的参数方程为(其中为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线和曲线的直角坐标方程.
(2)过点的直线与交于两点,与交于两点,求的取值范围.
【例3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程.
(2)直线与曲线交于两点,设点的坐标为,求的值.
