第22讲 定点、定直线问题
圆锥曲线的定点、定直线问题就是曲线或直线过定点，或者动点在定直线上，其核心思路就是消参，消参的手段主要用的有两种：①等式代是消参（前面讲过，就是找到两个参数之间的关系，带是从而消掉一个参数）．②参数无关性消参：和参数相关的因式为时，和参数的取值没什么关系，比如，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
直线过定点
直线过定点问题：题设为某直线恒过某个定点．
目标：建立出只含斜率一个参数的直线方程，形如，则会恒过这个点，也就是当时，与斜率参数没有什么关系了，这个我把它称之为参数无关性．
一般解题步骤：
（1）斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
（2）找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
（3）参数无关找定点：找到和没有关系的点．
【例1】 若点是抛物线上的两个动点，为坐标原点，且，求证：直线恒过定点．
【例2】过点作相互垂直的两条直线，直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，线段的中点分别为，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【例】3 为椭圆上一点，过点作互相垂直的两条直线分别又交椭圆于点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
动点在定直线上
动点在定直线上：题设为某动点在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：
（1），即动点恒过直线．
（2），即动点恒过直线．
（3），即动点恒过直线．
【例1】如下图所示，过点任作一动直线交椭圆于两点，记．若在线段上取一点，使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线．若不在，请说明理由．
【例2】设动直线与椭圆：有且只有一个公共点，过椭圆右焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，求出定直线的方程．
【例3】如下图所示，椭圆的左、右顶点分别为点，上、下顶点分别为点，右焦点为点，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若在，求出该直线方程．若不在，请说明理由．
圆过定点
圆过定点问题：题设以线段为直径的圆，恒过定点．
（1）向量为零法：利用，整体代换消参之后求出点坐标的确定值．
（2）参数无关法：设出的中点，求出长度，令，建立出圆的方程，形如，利用参数无关性，可知圆恒过．
方法一：向量为零法
【例1】已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于两点．证明：以为直径的圆经过原点．
【例2】过点任作一直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点为坐标原点，求证：以线段为直径的圆经过点．
【例3】过点且斜率为的动直线交椭圆：于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．
方法二：参数无关法
【例1】若过的直线与曲线：交于两点，直线与直线分别交于两点，试判断以为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．
【例2】如下图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，试问以为直径的圆是否过定点（与的斜率无关）？请证明你的结论．第22讲 定点、定直线问题
圆锥曲线的定点、定直线问题就是曲线或直线过定点，或者动点在定直线上，其核心思路就是消参，消参的手段主要用的有两种：①等式代是消参（前面讲过，就是找到两个参数之间的关系，带是从而消掉一个参数）．②参数无关性消参：和参数相关的因式为时，和参数的取值没什么关系，比如，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
直线过定点
直线过定点问题：题设为某直线恒过某个定点．
目标：建立出只含斜率一个参数的直线方程，形如，则会恒过这个点，也就是当时，与斜率参数没有什么关系了，这个我把它称之为参数无关性．
一般解题步骤：
（1）斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
（2）找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
（3）参数无关找定点：找到和没有关系的点．
【例1】 若点是抛物线上的两个动点，为坐标原点，且，求证：直线恒过定点．
【解析】证明 由题意可知直线的斜率存在，设直线方程：，，．
将直线的方程代入中，得．
∴，，，
∴直线恒过定点．
【例2】过点作相互垂直的两条直线，直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，线段的中点分别为，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】证明 由题意可知，直线的斜率均存在．
设直线的方程为，，．
联立，消去得，
，．
∵点是线段的中点，
∴．
同理，将换成得，
当，即时，
∴直线的方程为．，
即，
∴直线恒过定点．
当时，直线的方程为，也过点，
∴直线恒过定点．
【例】3 为椭圆上一点，过点作互相垂直的两条直线分别又交椭圆于点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
【解析】证明 （1）当直线的斜率存在时，设直线方程为，
与椭圆联立，消去得．
∴．
设，，则，．
∵，∴，
，
，
∴．
解得或．
若，则直线的方程为，过点，不符题意．
若，则直线的方程为，号过点．
（2）当直线的斜率不存在时，设，，
联立：，
解得或（舍）．
此时直线也过点．
综上，直线恒过定点．
动点在定直线上
动点在定直线上：题设为某动点在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：
（1），即动点恒过直线．
（2），即动点恒过直线．
（3），即动点恒过直线．
【例1】如下图所示，过点任作一动直线交椭圆于两点，记．若在线段上取一点，使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线．若不在，请说明理由．
【解析】 由已知，直线的斜率必存在，
设其直线方程为，，．
联立，消去得，
则，，．
由得，故．
设点的坐标为，则由得．
解得．
又，
，从而，
故点在定直线上．
【例2】设动直线与椭圆：有且只有一个公共点，过椭圆右焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，求出定直线的方程．
【解析】证明 ∵直线与椭圆相切，
联立得．
∴．
∴．
切点坐标，，
即，
∴，．
∴方程为．
联立，
∴，
解得．
∴在这条定直线上．
【例3】如下图所示，椭圆的左、右顶点分别为点，上、下顶点分别为点，右焦点为点，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若在，求出该直线方程．若不在，请说明理由．
【解析】 （1）由题意可得，解得，，∴，
因此，椭圆的标准方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点，．
联立，消去并整理得，
，
由韦达定理得，．
易知点，，
直线的斜率为，
直线的方程为，
直线的斜率为，
直线的方程为，
由，可得，
其中，
∴，
解得．
因此，点在定直线上．
圆过定点
圆过定点问题：题设以线段为直径的圆，恒过定点．
（1）向量为零法：利用，整体代换消参之后求出点坐标的确定值．
（2）参数无关法：设出的中点，求出长度，令，建立出圆的方程，形如，利用参数无关性，可知圆恒过．
方法一：向量为零法
【例1】已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于两点．证明：以为直径的圆经过原点．
【解析】证明 ∵直线的斜率存在且不为零，故设直线的方程为．
联立，消去得．
设，，则，．
．
∴．①
∵直线和圆相切，
∴圆心到直线的距离，整理得．②
将②式代入①式得，显然以为直径的圆经过原点．
【例2】过点任作一直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点为坐标原点，求证：以线段为直径的圆经过点．
【解析】证明 设直线的方程为，，，
则直线方程：，直线方程：．
联立，得．同理得，
∴，．
．
联立得，
∴，
则．
因此，以线段为直径的圆经过点．
【例3】过点且斜率为的动直线交椭圆：于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．
【解析】 设直线，代入得．
设，，则，．
若轴上存在定点满足题设，则，．
，
如果成立，即对成立．
∴，解得．
∴在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过点．
方法二：参数无关法
【例1】若过的直线与曲线：交于两点，直线与直线分别交于两点，试判断以为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由．
【解析】 设直线的方程为，，
联立，整理得，
，，，
直线的方程为．
同理，直线的方程为．
令得，，
设的中点的坐标为，
则，，
∴．
．
圆的半径为．
∴以为直径的圆的方程为．
展开可得，
令，可得，【解析】得或．
从而以为直径的圆经过定点和．
【例2】如下图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，试问以为直径的圆是否过定点（与的斜率无关）？请证明你的结论．
【解析】证明 设点，由对称性可知点，
由题意可知．设直线．
联立4，
整理可得．
∴，解得．
代入可得．
∴．同理．
∴．
∴，
∵是直线与轴的交点．
∴，．
∴以为直径的圆的圆心为，半径．
∴椭圆方程为：，
整理可得，
∴令，解得．
∴以为直径的圆恒过定点和．
