2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（共2课时）
（第1课时）
第二章 一元二次函数、方程和不等式
情境导学
问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
情境导学
设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．
由题意，得:（１２－x）x＞２０，
其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝． 整理得
x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝． ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
一元二次不等式的定义：
一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)
或ax2+bx+c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
概念解析
画出二次函数 的图象.
当 时，y>0.
O
5
x
y
x=0或5
y=x2-5x
探究1 一元二次不等式的解法
方程 的根为：0，5
当 时，y=0.
当 时，y<0.
由图象可知：
不等式 的解集为 ;
不等式 的解集为 .
新知探究
不等式
的解集是什么？
小组活动：
1、仿照上述过程讨论填写“三个二次”之间的关系表格。
2、讨论总结在这个过程中用到了哪些数学思想和数学方法？
新知探究
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
x
y
O
x1=x2
y
x
O
x1=x2=
没有实根
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
x1
x2
x
y
O
有两相异实根
x1, x2 (x1x1
x2
x
x
x
x1
x2
x
x1=x2
x
Φ
x
Φ
x
“三个二次”的关系（要牢记）
（一元二次不等式的解集与一元二次方程、二次函数的图象的关系）
归纳总结
华罗庚教授说过：
数缺形时少直观
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事非
归纳总结
例1：解不等式: x2－2x－15≥0
原不等式变形为（x+3）(x-5) ≥ 0
方程(x+3)(x-5)＝0的
两根为: x＝－3，或x＝5
∴ 不等式的解集
为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
y
-3
5
0
x
。
。
解：
先求方程的根
画函数的图象
写出解集
典例解析
例2：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
【点评】 若a<0时,先二次项系数化正!
典例解析
解：
典例解析
结合以上例题总结：
1、求解一元二次不等式的步骤是什么？
2、解一元二次不等式中常见的错误是什么？应如何避免？
归纳总结
(1)二次项的系数变为正 (a>0)
(2) 看能否因式分解，不能分解的计算△，
(3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像）
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0)的步骤：
归纳总结
思维导图
1.不等式2x2－x－1>0的解集是
√
当堂达标
∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，
1
2
3
4
当堂达标
2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
√
1
2
3
4
∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥ 或x≤ .
当堂达标
答案:
(3) φ
(4) R
.
0
5
3
4
0
1
4
4
3
0
2
6
2
0
3
1
2
2
2
2
>
+
-
<
+
+

+
-
-
<
-
-2
x
x
x
x
x
x
x
x
）
（
；
）
（
；
）
（
；
）
（
3.解下列一元二次不等式：
当堂达标
4.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－71
2
3
4
由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.
∴－7×(－1)＝ ，故a＝3.
当堂达标
5.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时解集为R.
1
2
3
4
解得－2综上所述，a的取值范围为(－2,2].
二次函数
一元二次方程的根
一元二次不等式的解
图象
2.一元二次不等式解法的步骤：
（1）将二次项系数化为正数 (a>0);
（2）计算判别式，判断方程是否有根;
（3）如果有根，求出方程的根；
（4）写出不等式的解集，大于取两边、小于取中间。
3.数学思想方法：
1.“三个二次”的关系
一、知识上我收获了什么？
二、方法上我收获了什么？
数形结合、分类讨论、转化与化归
课堂小结
2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
（第2课时）
小试牛刀
典例解析
例1　一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y＝－２x２＋２２０x．
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收６０００元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，
得－２x２＋２２０x＞６０００．
移项整理，得x２ －１１０x＋３０００＜０．
对于方程x２ －１１０x＋３０００＝０，
Δ＝１００＞０，
方程有两个实数根x１＝５０，x２＝６０．
画出二次函数y＝x２ －110x＋3000的图象
结合图象得不等式x２ －110x＋3000＜0
的解集为｛x｜５０＜x＜６０｝，
从而原不等式的解集为｛x｜５０＜x＜６０｝．
因为狓只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车
数量在５１～５９辆时，这家工厂能够获得６０００元以上的收益．
跟踪训练
例2　某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：ｍ）
和汽车刹车前的车速（单位：ｋｍ／ｈ）之间有如下关系：
+
刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于３９．５ｍ，
那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到１ｋｍ／ｈ）？
典例解析
解：根据题意，得+>39.5
移项整理，得
对于方程
，Δ＞０，方程有两个实数=, =
根画出二次函数的图象,
结合图象得不等式的解集为｛v｜v＜v１，或v＞v２｝，
从而原不等式的解集为｛v｜v＜v１，或v＞v２｝，
因为车速v＞０，所以v＞ v２ ．
而７９．９＜v２＜８０，所以这辆汽车刹车前的车速至少为８０ｋｍ／ｈ．
跟踪训练
归纳总结
当堂达标
1．解一元二次不等式的一般步骤是：
(1)化为标准形式；
(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；
(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；
(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外)．
课堂小结