北京教师进修学校2023届高三第二学期开学检测数学试题（PDF版无答案）

高 2023 届高三第二学期开学检测数学试题
2023.02.12
本试卷共 6 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题纸
上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40 分）
1. 已知集合 A = x x2 x 0 ，B = x x 1 ，则 ( )
A． A B = R B． A B = C．B A D． A B
2．已知复数 z1 ， z2 满足： z1 在复平面中对应的点为 ( 1,2) ，且 z1 z z2 = 5 ，则 2 不可能
是下列的 ( )
1 3
A．1 B．1+ i C． i D． i
2 2
2
3．已知抛物线 C： x =16y ，则 C 的焦点坐标为 ( )
A．(4，0) B．(0，4) C．(2，0) D．(0，2)
4．某人周一至周五每天 6:30 至 6:50 出发去上班，其中在 6:30 至 6:40 出发的概率为 0.4，在
该时间段出发上班迟到的概率为 0.1；在 6:40 至 6:50 出发的概率为 0.6，在该时间段出发上
班迟到的概率为 0.2，则小王某天在 6:30 至 6:50 出发上班迟到的概率为 ( )
A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13
5．已知 ， 为不重合的两个平面，直线m ， n ，那么“ m⊥ n ”是“ ⊥ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2
6．在 ABC中，若 AB BC + AB = 0，则 ABC的形状一定是 ( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

7．将函数 y = sin(2x + )的图象沿 x 轴向右平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图
8
象，则 的一个可能取值为 ( )
3 3
A． B． C． D．
4 4 8 4
x , x 0
8．已知函数 f (x) = ，若对任意的 x≤1有 f (x + 2m)+ f (x) 0恒成立，则实数
x , x≥0
的取值范围是 ( )
A. ( , 1) B. ( , 1] C. ( , 2) D. ( , 2]
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9．已知圆 C：(x 6)2 + (y 8)2 =1和两点 A(0, m) ，B(0, m) ( m 0 )．若圆 C上存在点 P，
使得 APB = 90 ，则 m的最大值为 ( )
A．12 B．11 C．10 D．9
5
10．若函数 f (x) = 2sin(2x + ) ( π)在[ , ]上单调递增，则 的取值范围为 ( )
2 6
5 5 3 5 8
A． [ , ] B．[ , ] C．[ , ] D． (0, )
2 6 3 2 2 3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5 分，共 25分．
x2 y2
11．若双曲线 =1 (a 0,b 0)2 2 的离心率为 2，则该双曲线两条渐近线的夹角为 ． a b
4
12．已知 a 1，则当 a = 时 a + 取得最小值．
a 1
(x +1)ex , x 0,
13．已知函数 f (x) = x 2 ，则函数 f (x) 的零点个数为________．
e 2x , x 0,
14．已知数列 an 是满足an+1 + an 1 = 2an ，且a2 + a5 =12，a3 = 5，数列 an = bn ，且对任意
i N * ，bi bi+1 0，Tn = b1 +b2 + +bn 1 +bn ，则T2023 的值是 ．
1
15．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中， AB = BC ，线段 BD1有一动点
2
G ，过CG 作平行于DD1的平面交 BD与点F ．
(1)当 G是 BD的中点时，直线BD与平面CGF 所成角的余弦值
为 ；
D G
(2) 当直线 BD与平面CGF 所成角最大时，此时 1 = ______．
D1B
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
2
16．(本小题 13 分)设函数 f (x) =msin 2x+ 2cos x 1 (m 0) ， f (x) 的最小值为 2，
(1)求 m；

(2)若函数 f (x) 在区间 [ ,a]上的值域为 1,2 ，求实数 a的取值范围．
6
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17．(本小题 14 分)为了解高三学生身体素质情况，对高一年级的(1)班～(8)班进行了抽测，
采取如下方式抽样：每班随机各抽 10 名学生进行身体素质监测.经统计，每班 10 名学生中
身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下( x 轴表示对应的班号， y 轴表示对应的优秀人
数)：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高三
年级学生中任意抽测 1 人，求该生身体素质监测成绩达到优
秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（3）班的 10 名学生中抽出 2
人，设 X 表示 2 人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求
X 的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的 10 名学生的身体素质优秀率相
等.现在从每班中分别随机抽取 1 名同学，用“ k =1”表示第 k 班抽到的这名同学身体素质优
秀，“ k = 0”表示第 k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀(k=1，2，…，8)．写出方差
D 1，D 2，D 3 ，D 4的大小关系并说明理由．
18．(本小题 14分)已知底面 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD， PA∥DQ，PA＝AD＝3DQ=3，
AB=2，点 E、F分别为线段 PB、CQ的中点.
求证：(1) EF∥面 PADQ；
(2)求二面角 P—CQ—D的余弦值；
(3)设点 M是线段 AC上一个动点，试确定 M的位置，
使得 DM∥平面 PCQ，说明确定的理由.
P
E Q
F
A D
B C
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x2 y2
19．(本小题 14 分)已知椭圆E : + =1(a b 0)的一个顶点为 A
2 2 (0,1)，且点 A到椭圆两焦a b
点距离之和为 2 2 ．
（I）求椭圆 E的方程：
（Il）过点 P ( 1,1)的直线与椭圆E交于不同的两点 B、C，直线 AB、AC分别与 x轴交于点
M、N，当 MN = 2 10 时，求 k的值.
x ln x
20．(本小题 15 分)已知函数 f (x) = ， g(x) 为函数 f (x) 的导函数．
ex
(1)求 f (x) 的图象在 x=1 处的切线方程；
(2)求函数 g(x)的零点个数；
(3)若函数 f (x) 在区间 (e a ,+ ) 上有最小值，其中 a为正整数，求 a的最小值．
21．(本小题 15 分)已知数列 A : a1,a2 , ,aN (N ≥ 4) ，其中 a1,a2 , ,aN Z ，且 a1 a2 aN .
若数列 A : a1,a2 , ,aN 满足 a1 = a1,aN = aN ，当 i = 2,3, , N 1时， ai = ai 1 +1或 ai+1 1，则
称 A : a1,a2 , ,aN 为数列 A的“紧数列”．
例如，数列 A：2，4，6，8 的所有“紧数列”为：
2，3，5，8； 2，3，7，8； 2，5，5，8； 2，5，7，8．
（Ⅰ）直接写出数列 A：1，3，6，7，8 的所有“紧数列” A；
（Ⅱ）已知数列 A满足： a1 =1， aN = 2N ，若数列 A的所有“紧数列” A均为递增数列，
求证：所有符合条件的数列 A的个数为 N +1；
（Ⅲ）已知数列 A满足： a1 = 0， a2 = 2 ，对于数列 A的一个“紧数列” A，
定义集合 S(A) = {ai ai | i = 2,3, , N 1}，如果对任意 x S (A)，都有 x S(A)，那么称 A为
数列 A的“强紧数列”. 若数列 A存在“强紧数列”，求 aN 的最小值(用关于 N 的代数式表示) ．
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