姓名
准考证号
(在此卷上答题无效)
绝密女启用前
20222023学年第二学期开学摸底考试
高二理科数学试题
本试卷共4页。金卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1,答题前，等生务必将门已的姓名、推考证：号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小顺答案后，用術爸把答题卡上对应题川的答案标分涂黑。如改
动，用橡皮搽下净后，再选涂其它答案标号。问容非选题时，将答案作答题上，写在本试
上：无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共G0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
L已知集合A={一1,1,2,4}，B={xx2≤4)，恻A∩B=
A.{-1,1}
3.{1,2}
(.{-1,1,2}
I).{-1,1.2,4}
2.已知直线l,m与平面a,其1mC&,则“1⊥m”是“1L.a”的
A.充分不必要条件
5.必要不充分条件
(.元要条件
).既不充分也不必要条件
.设f(x)是定义在R上的偶函数，作0时，广(r)=2一x,则(-1)
A-是
B.-1
(.1
4.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全
凝湖
省所有考生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频瑞
型
0.030
分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，
[G0,70),[70,80),[80,90),[90,100],90分及以上为优0.020
秀，则下列说法中错误的是
0.015
0.010
A.估计该省考生数学成绒的中位数为75分
B.若要全省合格考的通过率达到96%，则合格分数线约
V40506而708090100分或
为44分
C.从全体岁生：中随机拍取1000人，其中成绩优秀的考生约有100人
D.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则数学成绩的平均分约为，5
5.若直线1将例(x十2)十(y一1)3=9平分，且在两坐标轴上的截相等，则直线1的方程为
A,x十y-1=0
B.x十y十1=0
C.x-2y=0域x十y-1=0
D.x十2y=0或x十y十1=0
6.已知A为抛物线C:y=2r(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为6，到y轴的距离为3，O
为坐标原点，则|OA|
A.3√3
B.6
C.3√5
1).9
【高二理科数学试题·第1页（共4页）】
7.已知双面线C:号-芳-1(>0)的右焦点F到北一条渐近线的距离为2，则C的新近线方程为
A.y=土2.x
服士
C.y=土2.x
D.y=土x
8.在正三棱柱AA,B,,中，AA,一3，AB=2,则异而直线AB与B,C所成角的余弦值为
A是
“房
c品
n号
9.已知函数f(.r)=im2.x十cs2.r.则
A.(.x)的最大为
Bvf八)的图象关于点（等0）对际
C平，语，调适m
ID将两数()的图象向左平移石个单位得到一个奇函数
1,沙是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在-一起组成
的（如图）.在一个网锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，
假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部
从一个圆锥中福到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中
的沙子的高度与下方圆罪中的沙子的高度之比是
A.1:1
B.2:1
C.2:3
D.3:2
1.已知斜率为与的线1与精圆E苦十芳=1（≥6>0）相交于，B两与：销，y轴分别交
于('，D两点，若('，D恰好是线段AB的两个·等分点，则椭圆E的离心节为
A克
B9
c号
n号
12.正四面体ABCD的顶点都在半径为v的球O的成面上，过点A,B,O作平面a截该正四面体
所得截面面积为
A.2
B.2√②
C.4
D.42
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
r2x-y+1520
13.心知x,y满足约束条件x十y0
,则=心的最小值为
(x-2y+9≤0
14.一个圆轮过箱圆女+苦=1的三个顶点，且网心在y轴的正半轴上，则
该圆的标准方程为
15.我国古代数学名名《九章算术中记载的“刍斑”指底面为矩形，顶部只
有一条桉的五：面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍墓”，四边形
CDEF为等腰梯形，CD∥EF,FB=C=√3，AB=2B(:=2EF=4,则
该“刍整”的体积为」
16已知双曲线C:号-芳=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为R,R,以F,R为直径的圆与C的
一条渐近线在第一象限的交点为P,直线F,P与另一条渐近线交于点Q,且Q是线段FP的
中点，则双曲线C的离心率为」
【高二理科数学试题·第2页（共4页）】理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C A D C A B C B D D
1.C B x x2解析： 4 x 2 x 2 , A B { 1,1,2} .
2.B 解析：如图 1，满足 l m，但 l, 不垂直，充分性不成立，当 l 时，∵m ，
∴ l m，必要性成立，故“ l m ”是“ l ”的必要不充分条件.
3.C 解析：由已知可得 f 1 f (1) 2 1 1 .
4.A 解析：由频率分布直方图知中位数位于[70,80] x
x 70 0.5 (0.1 0.15 0.2)
，设其为 ，则 ，解得 x 71.67，
80 70 0.3
y y 40 1 0.96故 A错误；要使全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为 ，则 ，解得 y 44，故 B正
10 0.1
确；由频率分布直方图可知成绩优秀的频率为0.1，∴人数约为1000 0.1 100，故 C正确；由频率分布直方图
估计平均分为 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 70.5，故 D正确．
5.D 解析：由题意可得直线 l过圆心(－2，1)，当 l过原点时，其方程为 x＋2y＝0；当 l不过原点时，设 l：x＋y
＝a，则 a＝－2＋1＝－1，此时方程为 x＋y＋1＝0.
6.C p解析：由已知及抛物线的定义可得 3＋ ＝6，解得 p＝6，∴抛物线方程为 y2＝12x，∴A(3，±6)，|OA|＝ 9＋36
2
＝3 5.
7.A 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为b 2，∴双曲线 C的渐近线方程为 y
b 2
x x 2x
a .2
8.B 解析：取 A1C1的中点 D，连接BC1交 B1C于点 E，连接 DE，则DE / /A1B 且
DE 1 A1B，∴ DEB1为异面直线 A1B与 B1C所成的角或其补角．易求 A1B B1C 13，2
13 13
13 cos DEB DE
2 B 21E B1D
2 3 7
B1D 3
4 4
，∴DE B E ，∴ 1 1 2 2DE B1E 2 13 13
13 .
2 2
9.C 解析： f x 3 sin 2x cos2x 2sin 2x π π 5π ，其最大值为 2，故 A错误； f 2sin 1 0，故 B
6 3 6
x 3π , 7π 2x π 5π 5π 5π错误；∵ ，∴ , ，由 y sin t在 ,
5π 3π 7π
单调递增可得 f x 在 , 单调递增， 4 6 6 3 2 3 2 4 6
π π π π
故 C正确；将函数 f x 的图象向左平移 个单位得到函数 g x sin 2 x sin 2x cos 2x ，为偶6 6 6 2
函数，故 D错误.
第 1页 （共 5页）
10.B 19解析：由题意漏下来的沙子是全部沙子的 ，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，∴可以单
27
V 上 8 (h 上 h 上 2 h 上
2
独研究下方圆锥，∴ ＝ ＝ )3，∴ ＝ ，∴ ＝ .
V 全 27 h 全 h 全 3 h 下 1
11.D 解析：如图，设 A(x1，y1)，B(x 12，y2)，直线 AB方程为 y＝ x＋m.∵C，D分别是
2
x21 y＋ 1
2
＝1
a2 b2
m
线段 AB的两个三等分点，∴C(－2m，0)，D(0，m)，AB中点 M(－m， )，由 x22 y2 ，
2 ＋
2＝1
a2 b2
（x1＋x2）（x1－x2） （y1＋y2）（y1－y2） b2
两式相减得 ＋ ＝0，整理得－ ＝
a2 b2 a2
（y1＋y2）（y1－y2） k ·k 1·( 1 a
2－c2 1 3
＝ AB OM＝ － )，∴ ＝ ，∴e＝ .
（x1＋x2）（x1－x2） 2 2 a2 4 2
12.D 解析：如图，将正四面体 ABCD放置在正方体中，则球 O即为正方体的外接球.
设正方体的棱长为 a，则 3a2 2 6, a 2 2 .取 CD的中点M，连接 AM，BM，则 ABM
1
为平面 截该正四面体所得截面，其面积为 2a a 4 2 .
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） [
13. 1 14. x2 (y 4)2 25
10
－ ＋ － ＝ 15. 16. 2
3 9 3
13. y－1 解析：可行域是三点(－7，1)，(－5，5)，(－3，3)确定的三角形区域， 表示可行域内的点(x，y)与原点
x
连线的斜率，故 z的最小值为－1.
14.x2 (y 4)2 25＋ － ＝ 解析：椭圆的上顶点坐标为(0，3)，左右顶点坐标为(±1，0)，设圆的圆心(0，a)，则 1＋a2
3 9
＝(3－a)2 4 5 4 25，解得 a＝ ，圆的半径为 ，故圆的方程为 x2＋(y－ )2＝ .
3 3 3 9
10
15. 解析：在CD取点M，H，使得CM=DH=1，分别过点M ,H 作BC的
3
平行线，交 AB于 N ,L ,连接 FN ,EL ,则HM MN ,HM MF ,∴HM 平
面MNF ,∴平面 ABCD 平面MNF ,同理HM 平面 EHL ,∴五面体
ABCDEF 可分割为直棱柱 FMN EHL和两个体积相同的四棱锥
F MCBN，E DHLA ,过点 F作 FG MN ，则FG 平面 ABCD，由
已知可求得 FN FM 2,MN 2, FG 1, S
1
FMN 2 1 1，∴该五2
面体的体积为VFMN EHL 2V
1 10
F MCBN 1 2 2 2 1 1 .3 3
16.2 解析：如图，Q是以 F1F2为直径的圆的弦 PF1的中点，∴OQ⊥PF1，∴∠F1OQ＝
∠POQ.∵直线 OP，OQ是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知∠POF2＝∠F1OQ，∴∠POF2
π b tanπ b＝ ，∴ ＝ ＝ 3，离心率 e＝ 1＋（ ）2＝2.（或易得 P（a,b），进而求解）
3 a 3 a
第 2页 （共 5页）
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
2
AB AC b c
2 a2 uuur uuur
17.解析：(1)∵ ，∴ | AB | | AC | cos A bc cos A
2bc cos A 1
, ∴ cos A ，∴ A .（4 分）
4cosA 4cos A 2 3
1 1 3 3 3
（2）由（1）及已知可得 S ABC bc sin A 2 b ，解得b 3，2 2 2 2
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A 4 9 6 7, a 7 .（10 分）
18.解析：(1)由已知令 n 1可得 a1 2，
a 1
由 an S
n
n 4得 an 1 Sn 1 4，两式相减得 2an an 1 0，即 a ，n 1 2
∴数列 a 1 2 nn 是等比数列, an 2 n 1 2 .（5 分）2
(2) bn log2 an 2 n，∴b2n 1 3 2n,b2n 1 1 2n，（7分）
1 1 1 1 ( 1 1 )
b2n 1b2n 1 (3 2n)(1 2n) (2n
，
3)(2n 1) 2 2n 3 2n 1
T 1n (
1 1
) 1 (1 1) 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 ( 1 1 ) n .（12 分）
2 1 1 2 1 3 2 3 5 2 2n 3 2n 1 2 2n 1 2n 1
19.解析：（1）分别取线段 AB,CC1的中点 F，G，连接CF,EF,EG，
∵F是线段 AB的中点， AB 2CD,AB //CD ，∴ AF //CD, AF CD，
∴四边形 AFCD是平行四边形，∴ AD//CF .
在 ABB1中，F是线段 AB的中点，E是线段 AB1的中点，∴
EF //BB 11,EF BB .2 1
1
∵G是线段CC1的中点，∴CC1 //BB1,CG BB1，∴ EF //CG,EF CG ，2
∴四边形EFCG是平行四边形，∴CF //GE，∴ AD//GE .
∵ AD 平面CEC1,GE 平面CEC1，∴ AD//平面CEC1 .（5分）
（2）在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中， BB1 平面 ABCD， AB,BC 平面 ABCD，∴ BB1 AB,BB1 BC .
∵ BC BA1, BB1 BA1 B, BB1, BA1 平面 ABB1A1，∴ BC 平面 ABB1A1，
∵ BA 平面 ABB1A1，∴BC BA .
不妨设 AB 2，以 B为坐标原点， BA,BB1,BC所在的直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 Bxyz，
则 A1(2, 2,0),C(0,0, 2),C1(0, 2, 2), A(2,0,0),B1(0, 2,0)，
∴ E(1,1,0), AB1 ( 2,2,0),CE (1,1, 2),C1E (1, 1, 2) .
第 3页 （共 5页）
n CE 0 x y 2z 0
设平面CEC1的一个法向量 n (x, y, z)，则
n
，即 ，令 x 4得 .
C E 0 x y 2z 0
n (4,0,2)
1
n AB
AB CEC 1 | 8 | 10设直线 1与平面 1所成角的大小为 ，则 sin cos n, AB1 ，
| n | AB 4 4 16 4 51
10
即直线 AB1与平面CEC1所成角的正弦值是 .（12分）
5
20.解析：(1)以 AB为直径的圆经过点 C，理由如下：
设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1x2＝－1，
1 1 1
直线 AC与 BC的斜率之积为 · ＝ ＝－1，
0－x1 0－x2 x1·x2
∴AC⊥BC，∴以 AB为直径的圆经过点 C.(5分)
2
(2) AB x1＋x2 m设 的中点为 M，则 M( ，0)，即 M(－ ，0)，|CM| m＝ ＋1，
2 2 4
2
由(1) m m知过 A，B，C三点的圆的方程为(x＋ )2＋y2＝ ＋1，
2 4
令 x＝0得 y＝±1，∴圆在 y轴上截得的弦长为定值 2.(12分)
21.解析：（1）将点 4, 2 代入方程 x2 2 py，解得 p 4，∴抛物线C的焦点到其准线的距离为 4 .（4分）
x2 8y
（2）设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，直线 l的方程为 y kx b，联立 ，消去 y整理得 x2 8kx 8b 0，
y kx b
∴Δ 64k 2 32b 0，x1 x2 8k， x1 x2 8b，
2 2
∵ AOB 90 ，∴OA OB 0，即 x1x2 y1y
x1 x2
2 0，即 x1x2 0，8 8
代入可得 8b b2 0，即b 8或b 0（不符合题意，舍去）.
∴ S
1
△AOB 8 x1 x2 4 x
2
1 x2 4x1x2 4 64k 2 256，2
∴当 k 0时， AOB面积有最小值64．（12分）
22．解析：(1)由|PF1|＋|PF2|＝4得 2a＝4，∴a＝2.
又|PF1|·|PF | (
|PF1|＋|PF2|
2≤ )2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时等号成立，
2
1
∴ ×2cb＝ 3，∴bc＝ 3.
2
2 2
又 b2＋c2＝a2 x y＝4，且 a>b>c，∴b＝ 3，c＝1，椭圆 C的标准方程为 ＋ ＝1.(4分)
4 3
(2)由题意知直线 l的斜率不为 0，设直线 l的方程为 x＝ty＋m，M(ty1＋m，y1)，N(ty2＋m，y2)，
x＝ty＋m
联立 x2 y2 1，化简得(3t
2＋4)y2＋6tmy＋3m2－12＝0，
＋ ＝
4 3
2
Δ＝48(3t2 m2 4)>0 y y －6tm y y 3m －12－ ＋ ，∴ 1＋ 2＝ ，2 1 2＝ .3t ＋4 3t2＋4
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A( 2 0) k ·k y1y2 1∵ － ， ，∴ AM AN＝ ＝－ ，整理得(t2＋2)y1y2＋t(m＋2)(y1＋y2)＋(m＋2)2＝0，
（ty1＋m＋2）（ty2＋m＋2） 2
∴3(m2－4)(t2＋2)－6mt2(m＋2)＋(m＋2)2·(3t2＋4)＝0，
∵m≠－2(直线 l不过点 A)，∴3(m－2)(t2＋2)－6mt2＋(m＋2)(3t2＋4)＝0，解得 m 2＝ ，
5
∴直线 l：x＝ty 2 2＋ 恒过点 D( ，0)．（12分）
5 5
第 5页 （共 5页）
