姓名
准考证号
(在此卷上答题无效)】
绝密★启用前
2022~2023学年第二学期开学摸底考试
高二文科数学试题
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1,答题前，考生务必将自己的姓名、雅考证号此写在答题卡上，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，川铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂熙。如需政
动，用橡皮城干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.已知集合A-{-1,1,2,4},B={xx24},则A∩B=
A.{-1,1}
B.(1,2)
C.{-1,1,2}
D.{-1,1,2,4}
2.已知直线l,m与平面a,其中nCa,则“l⊥m”是“l⊥a”的
A充分不必要条件
B.必要不充分条件
C,充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)一2一x,则∫（一1）
A.-2
B.-1
C.1
3
0.
4.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全
颛率
省所有考生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率
组距到
0.030
分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],90分及以上为优
0.020
秀，则下列说法中错误的是
0.015
A.估计该省考生数学成绩的中位数为75分
0.010
B.若要全省合格考的通过率达到96%，则合格分数线约
为44分
040506070800100分薮
C.从全体考生中随机抽取1000人，其中成锁优秀的考生约有100人
D.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则数学成绩的平均分约为70.5
5.若直线1将圆(x十2)+(y一1)2=9平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线1的方程为
A.x+y-1=0
B,x+y+1=0
C.x-2y=0或x十y-1=0
D.x十2y=0或x十y十1=0
6.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为6，到y轴的距离为3，O
为坐标原点，则1OA1=
A.33
B.6
C.3W5
D.9
【高二文科数学试题·第1页（共4页）】文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C A D C A B C B A D
1.C B x x2解析： 4 x 2 x 2 , A B { 1,1,2} .
2.B 解析：如图 1，满足 l m，但 l, 不垂直，充分性不成立，当 l 时，∵m ，
∴ l m，必要性成立，故“ l m ”是“ l ”的必要不充分条件.
3.C 解析：由已知可得 f 1 f (1) 2 1 1 .
4.A 解析：由频率分布直方图知中位数位于[70,80] x
x 70 0.5 (0.1 0.15 0.2)
，设其为 ，则 ，解得 x 71.67，
80 70 0.3
y y 40 1 0.96故 A错误；要使全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为 ，则 ，解得 y 44，故 B正
10 0.1
确；由频率分布直方图可知成绩优秀的频率为0.1，∴人数约为1000 0.1 100，故 C正确；由频率分布直方图
估计平均分为 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 70.5，故 D正确．
5.D 解析：由题意可得直线 l过圆心(－2，1)，当 l过原点时，其方程为 x＋2y＝0；当 l不过原点时，设 l：x＋y
＝a，则 a＝－2＋1＝－1，此时方程为 x＋y＋1＝0.
6.C p解析：由已知及抛物线的定义可得3＋ ＝6，解得p＝6，∴抛物线方程为y2＝12x，∴A(3，±6)，|OA|＝ 9＋36＝3 5.
2
7.A 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为b 2，∴双曲线 C的渐近线方程为 y
b 2
x x 2x
a .2
8.B 解析：取 A1C1的中点 D，连接BC1交 B1C于点 E，连接 DE，则DE / /A1B 且
DE 1 A1B，∴ DEB1为异面直线 A1B与 B1C所成的角或其补角．易求 A1B B1C 13，2
13 13
13 cos DEB DE
2 B 21E B1D
2 3 7
B D 3，∴DE B E ，∴ 1 4 4 1 1 2 2DE B1E 2 13 13
13 .
2 2
π 5π9.C 解析： f x 3 sin 2x cos2x 2sin 2x
π
，其最大值为 2，故 A错误； f 2sin 1 0，故 B
6 3 6
x 3π , 7π 2x π 5π 5π 5π错误；∵ ，∴ , ，由 y sin t在 ,
5π 3π 7π
单调递增可得 f x 在 , 单调递增， 4 6 6 3 2 3 2 4 6
π π π π
故 C正确；将函数 f x 的图象向左平移 个单位得到函数 g x sin 2 x sin 2x cos 2x ，为偶6 6 6 2
函数，故 D错误.
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10.B 19解析：由题意漏下来的沙子是全部沙子的 ，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，∴可以单
27
V 上 8 h 上 h 上 2 h 上 2
独研究下方圆锥，∴ ＝ ＝( )3，∴ ＝ ，∴ ＝ .
V 全 27 h 全 h 全 3 h 下 1
x
11.A 解析：令 F (x) f (x)e ，则F (x) ex f (x) f (x) 0, F(x) 1 x在 R 上单调递增.∵不等式 f (x) e
可化为 F (x) F (1)，∴ x 1.
12.D 1解析：如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB方程为 y＝ x＋m.∵C，D分别是
2
x12 y2＋ 1＝1
a2 b2
m
线段 AB的两个三等分点，∴C(－2m，0)，D(0，m)，AB中点 M(－m， )，由 x22 y22 ，
2 ＋ ＝1a2 b2
（x1＋x2）（x1－x2） （y1＋y2）（y1－y2） b2
两式相减得 ＋ ＝0，整理得－ ＝
a2 b2 a2
（y1＋y2）（y1－y2） k ·k 1
2
·( 1) a －c
2 1 3
＝ AB OM＝ － ，∴ ＝ ，∴e＝ .
（x1＋x2）（x 21－x2） 2 2 a 4 2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） [
1
13. －1 14. x2＋(y 4－ )2 25＝ 15. 16. 3＋2
3 9 6
13. y－1 解析：可行域是三点(－7，1)，(－5，5)，(－3，3)确定的三角形区域， 表示可行域内的点(x，y)与原点
x
连线的斜率，故 z的最小值为－1.
14.x2＋(y 4－ )2 25＝ 解析：椭圆的上顶点坐标为(0，3)，左右顶点坐标为(±1，0)，设
3 9
4 5
圆的圆心(0，a)，则 1＋a2＝(3－a)2，解得 a＝ ，圆的半径为 ，故圆的方程为 x2＋(y
3 3
4)2 25－ ＝ .
3 9
1
15. 解析：将正三棱锥补形成正方体，如图所示.设 PA PB PC x，由于正三棱锥的外接球和正方体的外
6
1 1
接球相同，正方体的体对角线即为外接球的直径，∴ 3x 3, x 1，∴正三棱锥的体积为 1 1 1
1
.
3 2 6
16. 3＋2 解析：设 P为第一象限内的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，则 m－n＝2a，在△PF1F2中，由余
弦定理得 4c2 4＝m2＋n2－2mncos120°＝(m－n)2＋3mn，即 4c2＝4a2＋3mn，即 mn＝ (c2－a2)．∵△PF1F2的面积为
3
1mnsin120° 1 4 3 1＝ × (c2－a2)× ＝ ×2c×2a，化简得 c2－a2－2 3ac＝0，同除 a2可得 e2－2 3e－1＝0，解得 e＝ 3
2 2 3 2 2
b2
＋2(负的舍去)．(或根据 S△PF1F2＝ 求解)
tan∠F1PF2
2
第 2页 （共 4页）
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
2
AB AC b c
2 a2 uuur uuur
17.解析：(1)∵ ，∴ | AB | | AC | cos A bc cos A
2bc cos A
,∴ cos A
1
，∴ A
3 .（4 分）4cosA 4cos A 2
S 1 bc sin A 1 2 b 3 3 3（2）由（1）及已知可得 ABC ，解得b 3，2 2 2 2
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A 4 9 6 7, a 7 .（10 分）
18.解析：（1）由已知可得 AB 平面 BCD,CD 平面 BCD, AB CD,
BC是底面圆 O的一条直径, BD CD,
∵ BD 平面 ABD, AB 平面 ABD,BD AB B,∴CD 平面 ABD,
∵CD 平面 ACD,∴平面 ABD 平面 ACD .（6分）
（2）过点 B作 BM AD ,垂足为M ，
∵平面 ABD 平面 ACD AD , BM 平面 ABD ,BM AD ,∴ BM 平面 ACD，
1 1
BD BC 2 CD 2 2 3, AD AB 2 BD 2 2 7 ，根据等面积法可得 AD BM AB BD ,2 2
BM AB BD 4 21
4 21
，即点 B到平面 ACD的距离为 .（12分）
AD 7 7
19.解析：(1)由已知令 n 1可得 a1 2，
a 1
由 an S
n
n 4得 an 1 Sn 1 4，两式相减得 2an an 1 0，即 a ，n 1 2
a 1 2 n∴数列 n 是等比数列, an 2 2n 1 2 .（5 分）
(2) bn log2 an 2 n，∴b2n 1 3 2n,b2n 1 1 2n，（7分）
1 1 1 1 1 1
( )
b2n 1b2n 1 (3 2n)(1 2n) (2n 3)(2n 1) 2 2n 3 2n
，
1
T 1 ( 1 1) 1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 ) 1 n ( 1
1 n
) .（12 分）
2 1 1 2 1 3 2 3 5 2 2n 3 2n 1 2 2n 1 2n 1
2 2
20.解析：（1）由题意M 0,b b 0 b 0 b 1 b 1，2c 2 3，c 3． kMA kMB 2 ，∴ ．0 a 0 a a 4 a2 4
2 2 x
2
a b 3，∴ a2 4,b2 1，∴椭圆 C的方程为 y2 1 .（4分）
4
（2）由已知过点D 0,4 满足题意的直线 l的斜率存在，设 l : y kx 4，
x2
y2 1
联立 4 ，消去 y得 1 4k 2 x2 32kx 60 0，
y kx 4
32k 2 240 1 4k 2 64k 2 240 2 15，令 0，解得 k .4
设 E x1, y1 ,F x2 , y2 ，则 x x
32k 60
1 2 1 4k 2
, x1x2 ，1 4k 2
第 3页 （共 4页）
∵ EOF 90 ，∴OE OF 0，即 x1x2 y1y2 0，
2
2∴ 1 k 2 x1x2 4k x1 x2 16 0 15 1 k ，∴ 32k2 2 4 0，解得 k 19 .1 4k 1 4k
∴直线 l的方程为 y 19x 4 .（12分）
21.解析：（1）设 A x 2 21, y1 ,B x2 , y2 ， l的方程为 x my 2，代人 y 2x得 y 2my 4 0，则 y1y2 4，
y y
x x 1 2
2 y1 y2 4
4，∴ kOAkOB 11 2 4 x x 4
，∴OA OB .（5分）
1 2
（2）∵A，D关于 x轴对称，∴D x1, y1 ，
y2 y1 y2 y
2
1 y1
∴直线 BD y y1 x x x 的方程为 x2 x 1 y2 y2 2 ，即 2x y1 y1 2 1 2
y y1y2 0，
2 2
又 y1y2 4，∴ 2x y1 y2 y 4 0，∴直线 BD恒过点P 2,0 ，
∵ 2 2 02 4 2 0 3 0 ，∴点 P 2,0 在圆M 内部，∴直线 BD恒与圆M 相交.（12分）
b b
22.解析：（1）∵ f (x) ax c，∴ f x a 2 ，∴ f 1 a b 1，即b a 1，x x
∵点 1, f 1 在切线 y x 1上，∴切点坐标为 (1,0)，∴2a 1 c 0，∴ c 1 2a，
∵ c 3，∴a 1，b 2．（4分）
（2）由(1)可知b a 1， c 1 2a f (x) a 1，∴ ax 1 2ax .
设 g x f x ln x，则 g x f x ln x 0在 1, 上恒成立，∴ g x min 0，
g (x) ax
2 x (a 1)
， x [1, )
x2
，
g (x) 1 x当 a 0时， 2 0在 1, 上恒成立，∴ g x 在 1, 上单调递减，∴ g x g 1 0，不合题意；x
a 0 a x2 1 (x 1) a(x 1)
1 1 a
当 时，
x 1 a(x 1) x
g (x) a a ，
x2 x2 x2
若 a 0，则 g x 0在 1, 上恒成立，∴ g x 在 1, 上单调递减，∴ g x g 1 0，不合题意；
1 a
若 1
1
，即a 时， g x 0在 1, 上恒成立，∴g x 在 1, 上单调递增，∴ g x g 1 0,符合题意；
a 2
1 a
若 1
1 1 1 a 1 a，即0 a 时，当 x 时，g x 0，g x 在[1, )上单调递减，∴g x g 1 02 ，不合题意．a a a
1
综上， a的取值范围是 , 2
．（12分）
第 4页 （共 4页）
