参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C
9．ACD 10．BCD 11．AD 12．BD
5 7 2
13． π 14．- 15． 1,3 （或 1，3 ） 16．
3 5 5
1
17．(1)m 1， a 2b 5 (2)
2
【详解】（1）因为向量 a 1,0 ,b m,1 ，且 a与b的夹角为 ，4
所以 cos a,b
a b m 2
a b m2 1 2 ，解得
m 1，
所以 a 2b 1,0 2 1,1 1, 2 ，则 a 2b 5 .
（2）由（1）知 m = 1，故 a 1,0 ,b 1,1 ，故 a b 1,0 1,1 1 , ，b 1,1 ，
因为 a b与 b垂直，所以 a b b 1 1 0，解得 .2
1 1
18．（1） 5；（2） tan 或 tan ．
2 3
2 5 5
【详解】（1） tan 0，sin ，\ 为第四象限角， cos 1 sin 2 ，
5 5
sin 2sin( ) cos(2 ) 2sin cos 2 tan 1tan 2 5 ，
cos cos(
) sin(3 ) sin cos tan 1 ．
2 2
2 2
（2） sin2 sin cos
1
， sin sin cos tan tan 12 2 2 ，5 sin cos tan 1 5
tan 1 1 ，或 tan ．
2 3
10x2 600x 250,0 x 40
19．(1)W (x)
(x 10000
；
) 9200, x 40 x
(2)2020年产量为 100千部时，企业所获利润最大，最大利润是 9000万元.
【详解】（1）依题意，销售收入700x万元，固定成本 250万元，另投入成本
10x2 100x,0 x 40
R(x)
701x 10000
万元，
9450, x 40 x
答案第 1页，共 4页
10x2 600x 250,0 x 40
因此W (x) 700x R(x) 250
(x 10000
，
) 9200, x 40 x
所以 2020年的利润W(x)（万元）关于年产量 x（千部）的函数关系式是
10x2 600x 250,0 x 40
W (x) 10000 .
(x ) 9200, x 40 x
（2）由（1）知，当0 x 40时，W (x) 10(x 30)2 8750 8750，当且仅当 x 30时
取等号，
x 40 W (x) (x 10000 10000
10000
当 时， ) 9200 2 x 9200 9000，当且仅当 x ，
x x x
即 x 100时取等号，
而8750 9000，因此当 x 100时，W (x)max 9000，
所以 2020年产量为 100千部时，企业所获利润最大，最大利润是 9000万元.
20．(1)奇函数，理由见解析(2)增函数，证明见解析(3)0 m 8
ex 1 x
【详解】（1） f x 的定义域为R ，由 f x x ，则 f x
e 1 1 1
，
e 1 2 e x 1 2 ex 1 2
ex x
则 f x f x 1 1 1 e 1 x x x 1 1 1 0，e 1 2 e 1 2 e 1
f x f x ，故函数 y f x 的为奇函数.
（2）结论： f x 在R 上是增函数，下证明：
x x
f x e 1 e 1 1 1 1 1
ex 1 2 ex 1 2 2 ex 1
设 x1 x2 R 且 x1 x2
f x f x 1 1 1 1 e
x2 ex1
2 1
2 ex2 1 2 ex1 1 ex2 1 ex1 1
ex2 ex1
x1 x2 , e
x2 >ex1 ， 0 x f x f x \ f xe 2 1 ex 1 ，即 2 1 ( )在R 上是增函数.1
答案第 2页，共 4页
（3） f x 为奇函数且在R 上为增函数，
不等式 f mt 2 1 f 1 mt 0 f mt 2化为 1 f mt 1
即mt 2 mt 2 0对任意的 t R恒成立
①m 0时，不等式化为2 0恒成立，符合题意；
m 0
②m 0时，有 即0 m 8
Δ m
2 8m 0
综上，m的取值范围为0 m 8
21．(1) 1, 2 ；(2) 2,2 2 .
π 2 2 2 2
【详解】（1）由题知， f x 2 2 sin x cos x 1= sinx cos x cos x 1 4 2 2
π
2sinxcos x 2cos2 x 1，则 f x sin2x cos2x 2sin 2x ，
4
x π , π π π 3π
4 4
，则 2x
4
, ，
4 4
2x π π x π
2
当 ，即 时， f x 有最小值，且 f x 2 1
4 4 4 min
2
.
π π π
当 2x ，即 x 时， f x 有最大值，且 f x
4 2 8 max
2 1 2 .
\ f (x)的值域为 1, 2 .
π
（2）由(1)知， f x 2sin 2x
4
π π π
图像向右平移 个单位长度可得 y 2sin 2 x 4 4 4
，
即 y 2sin 2x
π
，纵坐标变为原来的 2倍可得
4
y 2 2sin 2x π ，再向下平移m个单位长度得
4
g x 2 2sin 2x
π
m
4
.
答案第 3页，共 4页
令 g x 0，则有 sin π m 2x ，
4 2 2
x π 3π π π 5π ,
， 2x , ， 24 4 4 3 4
t 2x π π, 5π设
，则 y sint， t
π 5π ,
，
4 3 4 3 4
m
如图所示， y sint与 y 若有两个交点，
2 2
2 2 m
则 y sint ,1 ，即 1，所以m的取值范围为 2,2 2 .
2
2 2 2
22．（1） f x x log2 2x 1 ；（2）存在，m 7
【详解】解：（1） f x 是定义在 R上的奇函数，则 f x f x ，
设 x 0，则 x 0， f x f x x log 2 x 1 x log 2x 2 2 1 ，
即 x 0时， f x x log2 2x 1 ；
（2）由（1）当 x 1,2 g x 2x log 2
x
2 1时， m 2x 2m 2x 2 m 1 2x 2m ，
x
令 t 2 2,4 2，h t t m 1 t 2m，
函数 g x 在 x 1,2 上的最小值 5，即为函数h t 在 2,4 上的最小值，
m 1
①当 2即m 5时，函数 h t 在区间 2,4 上是增函数，
2
所以 h t min h 2 6 5，所以m ，
m 1 22 4 9 m 5 h t m 10m 1②当 即 时， 5，2 min 4
化简得m2 10m 21 0，解得m 3或m 7，所以m 7，
m 1
③当 4即m 9时，函数 h t 在区间 2,4 上是减函数，
2
所以 h t h 4 2m 20 5 m 15min ，解得 ，所以m ；2
综上：存在m 7使得函数 g x 的最小值为 5．
答案第 4页，共 4页高一年级 2 月份清北 1、2 班开学考试
数学试卷
一、单选题(共 40 分)
1．已知 A x || x 1| 2 ,B x | x 1 ，则 A B （ ）
A． x | 1 x 3 B． x | x 1 C． x | x 3 D． x |1 x 3
r
2．已知向量 a (2, 3)，b 3, a ，若 / /b，则 等于（ ）
2 9 2
A． 3 B． 2 C． D．2 3
1 13 ．已知关于 x的一元二次不等式 ax2 bx 1 0的解集为 ， ，则 a b （ ）
3 4
A．13 B． 13 C．11 D． 11
4．函数 f x log2x 2x 1 的零点所在区间为（ ）
0, 1 1 3 3A． B． ,1
C． 1,
D． , 2
2 2 2 2
5．设 a 3.10.8 , b log3.1 0.8, c 0.8
3.1
，则 a，b，c的大小关示是（ ）
A． a b c B．b a c C． c
6．函数 f x ln x 的大致图象是（ ）
ex e x
A． B． C． D．
7． f x 是定义在 R上的偶函数，在 , 0 上是增函数，且 f 3 0，则使 f x 0的 x
的范围是（ ）
A． 3,3 B． , 3 3, C． 3, D． , 3
数学试卷第 1页，共 4页
1
8．若0 ， 0，cos
，cos
3
，则 cos
（ ）
2 2 4 3 4 2 3 2
A 3 B 3 C 5 3 6． ． ． D．
3 3 9 9
二、多选题(共 20 分)
9．以下四个命题，其中是真命题的有（ ）．
A．命题“ x R,sin x 1”的否定是“ x R,sin x 1”
B a b 0 1 1．若 ，则
a b
C．函数 f (x) log a(x 1) 1(a 0 且 a 1)的图象过定点 (2,1)
D．若某扇形的周长为 6cm，面积为 2 cm2，圆心角为 (0 π)，则 1
10．下列说法正确的有（ ）
A y x
2 1
． 的最小值为 2
x
4
B．已知 x 1，则 y 2x 1的最小值为
x 4 2 1 1
C．若正数 x y满足 x 2 y 3xy，则 2x y的最小值为 3
D．因为 x y R xy 0 x y
x y
， ，所以 2
x y
y x y
2
x y x
11．已知函数 f (x) Acos( x ) A 0, 0,| |
π
的部分图象如图所示，将 f (x)的图
2
π
象向左平移 个单位长度，再向上平移 1个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则（ ）
4
A f (x) 2cos 2x
π
．
3
B． g(x) 2cos 2x
π
1
12
g(x) π C． 的图像关于点 ,0 对称
6
g(x) π 5πD． 在 kπ, kπ
(k Z)上单调递减
12 12
1
12．已知定义在R 上的奇函数 f (x)满足 f (2 x) f (2 x) . 当 x (0,2) 2时， f (x) x ，
x
数学试卷第 2页，共 4页
则下列结论正确的是（ ）
A．f (x) y f ( 1) 9的图象关于 轴对称 B． C．f (x) f (x+4) D．f 2021 2
2 4
三、填空题(共 20 分)
81 113． log 8 (3 2) 0 ( ) 4 4(3 π)42 __________.16
14．若角 的终边过点 3, 4 ，则 cos sin __________.
2
15．函数 f (x) log1 x 6x 5 的单调递减区间是____________．
3
16．如图，在长方形 ABCD中，M，N分别为线段 BC，CD的中点，
若MN AM BN , , R，则 _________
四、解答题(共 70 分)
r
17．（10分）已知向量 a (1,0)，b (m,1)，且 a与b 的夹角为 ．4
(1)求m及 | a 2b |；
(2)若 a b与b 垂直，求实数 的值．
18．（12分）已知 tanα<0，
2sin( ) cos(2 )
（1）若 sin 2 5 ,求 3 的值;
5 cos( ) sin( )2 2
（2）若 s in2 sin cos
1
,求 tanα的值.
5
19．（12分）近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为
极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5G，然而这并没有
让华为却步.华为在 2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某
一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场
分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250万，每生产 x（千部）手机，需另投入成本
10x2 100x,0 x 40
R(x)万元，且 R(x)
10000 ，由市场调研知，每部手机售价 0.7万
701x 9450, x 40 x
数学试卷第 3页，共 4页
元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出 2020年的利润W(x)（万元）关于年产量 x（千部）的函数关系式，（利润=销售
额—成本）；
(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
x
20．（12 e 1分）已知函数 f x
ex
.
1 2
(1)判断函数 y f x 的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数 y f x 在R 上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意的 t R ，不等式 f mt 2 1 f 1 mt 0恒成立，求实数m的取值范围.
π
21．（12 分）已知函数 f x 2 2 sin x cos x 14 ．
π π
(1)当 x , 时，求函数 f x 的值域； 4 4
(2)将函数 f x π的图象向右平移 个单位长度后，再将得到的图象上所有点的纵坐标变为
4
原来的 2倍，横坐标不变，再将得到的图象向下平移m个单位长度得到函数 g x 的图
g x π 3π 象．若函数 在 , 上的零点个数为 ，求m的取值范围． 24 4 2
22 x．（12分）已知函数 f x 是定义在 R上的奇函数，当 x 0时， f x x log2 2 1 .
（1）求 x 0时， f x 的解析式；
2 f x （ ）设 x 1,2 时，函数 g x 2 m 2 x 2m ，是否存在实数m使得 g x 的最小值
为 5，若存在，求m的值；若不存在，说明理由.
数学试卷第 4页，共 4页