甘肃省张掖市重点校2022-2023学年高二下学期开校检测数学试题（解析版）

2023
2023年春学期高二年级开校检测考试
数学试卷
时间120分钟满分：150分
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分）
1. 等比数列中，，，则等于（）
A. B. C. 1 D.
2. 经过点，倾斜角为的直线方程是（）
A B. C. D.
3. 抛物线的准线方程是（）
A. B.
C. D.
4. 已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a5＝（）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 11
5. 设，，则以线段为直径圆的方程为（）
A. B. C. D.
6. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
7. 党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（）
A. 480种 B. 240种 C. 120种 D. 60种
8. 已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是（）
A. 0 B. 1 C. 5 D. 7
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分）
9. 在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（）
A. “其中恰有2件次品”的抽法有8种
B. “其中恰有1件次品”的抽法有28种
C. “其中没有次品”的抽法有56种
D. “其中至少有1件次品”的抽法有56种
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则（）
A. 的虚轴长为2 B. 的值可能为5
C. 的离心率为3 D. 的值可能为9
11. 设等差数列前n项和为，其公差，且，则（）．
A. B.
C. D.
12. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（）
A. 为定值 B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 数列，满足，，，则的前10项之和为___________.
14. 杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案.
15. 已知椭圆：和双曲线：，若的一条渐近线被圆截得的弦长为，则椭圆的离心率e为______．
16. M为抛物线上任意一点，F是抛物线焦点，E是抛物线的准线与x轴的交点，点P为线段OM的中点，则的取值范围是_________．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．）
17. 已知的三个顶点分别为，，．
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）求的面积．
18. 在二项式的展开式中，______.
给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项.
19已知数列满足且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和为.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点.
（1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；
（2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.
21. 已知直角三角形ABC的顶点，直角顶点B的坐标为，顶点C在x轴上．
（1）求直角三角形ABC的外接圆的一般方程；
（2）设OA的中点为M，动点P满足，G为OP的中点，其中O为坐标原点，E为三角形ABC的外接圆的圆心，求点G的轨迹方程．
22. 已知点在椭圆（）上，且该椭圆的离心率为.直线l交椭圆于P，Q两点，直线，的斜率之和为零，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积.
2023年春学期高二年级开校检测考试
数学试卷
时间120分钟满分：150分
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分）
1. 等比数列中，，，则等于（）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比中项直接计算即可.
【详解】因为数列是等比数列，
所以即，解得，
故选：C
2. 经过点，倾斜角为的直线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.
【详解】由倾斜角为可得，直线斜率为
由直线的点斜式方程得直线方程为；
即.
故选：C.
3. 抛物线的准线方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．
【详解】解：抛物线，可知抛物线的开口向上，，
所以抛物线的准线方程是：．
故选：．
4. 已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a5＝（）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的下标性质进行求解即可.
【详解】∵等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，
∴a2+a5＝a3+a4＝12，3a2＝a5，
联立消去a2可得a5＝9
故选：C
5. 设，，则以线段为直径的圆的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知圆心为，半径为，再求方程即可.
【详解】解：由题知线段中点为，，
所以，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，其方程为
故选：B
6. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设双曲线方程，根据已知得到，即可得到渐近线的方程.
【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.
由已知可得，所以，则，所以.
所以，双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
7. 党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（）
A. 480种 B. 240种 C. 120种 D. 60种
【答案】B
【解析】
【分析】先选出2人为1组有种，再将4组人员分配到4个社区有，根据分步计数原理，即可求出结果.
【详解】5名宣讲员分配到4个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，1，2，
先选出2人为1组有种，再将4组人员分配到4个社区有，
所以不同的分配方案共有.
故选：B.
8. 已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是（）
A. 0 B. 1 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】解：圆，即，圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
因为圆上至多有一点到直线的距离为，
所以，即且，解得，
故符合条件的只有B.
故选：B
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分）
9. 在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（）
A. “其中恰有2件次品”的抽法有8种
B. “其中恰有1件次品”的抽法有28种
C. “其中没有次品”的抽法有56种
D. “其中至少有1件次品”的抽法有56种
【答案】BD
【解析】
【分析】根据分类讨论思想、分步计数原理，利用组合法、间接法进行求解.
【详解】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；
抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；
抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．
故选：BD
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则（）
A. 的虚轴长为2 B. 的值可能为5
C. 的离心率为3 D. 的值可能为9
【答案】BCD
【解析】
【分析】由双曲线标准式确定，可判断A，C是否正确，由双曲线第一定义可判断B，D正确性.
【详解】由的标准式可确定：
，
故C正确，A错误；
由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以BD正确.
故选：BCD
11. 设等差数列的前n项和为，其公差，且，则（）．
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.
【详解】对于A：因为，所以，解得：.故A正确；
对于B：故B正确；
对于C：因为，所以，所以.
因为，所以.故C正确；
对于D：因为，所以，所以.
因为，所以.故D错误.
故选：ABC
12. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（）
A. 为定值 B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为
【答案】AB
【解析】
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得，
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B正确；
将与椭圆方程联立，可解得，，又因为，
所以，，即为钝角，
所以为钝角三角形，C错误；
将与椭圆方程联立，解得，所以，D错误.
故选：AB
【点睛】
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 数列，满足，，，则的前10项之和为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到，利用裂项相消法求解.
【详解】因为，满足，，，
所以，
所以，
故答案为：
14. 杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案.
【答案】10
【解析】
【分析】由题意可得乙一定参加项目，再分项目只有一个人和项目有2人两种情况讨论，再根据分组分配问题即可得出答案按.
【详解】解：由题意可得乙一定参加项目，
若项目只有一个人时，即为乙，
则先将甲、丙、丁分为两组，有种，
再将两组分配到两个项目，有种，
则有种不同的志愿者选拔方案，
若项目有2人时，又甲不能参加项目，
则只能从丙、丁中选1人和乙组队到项目，有种，
再将剩下的2人分配到两个项目，有种，
则有种不同的志愿者选拔方案，
综上，共有种不同的志愿者选拔方案.
故答案为：10.
15. 已知椭圆：和双曲线：，若的一条渐近线被圆截得的弦长为，则椭圆的离心率e为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆心到渐近线的距离，确定的a，b之间的关系，再求出离心率.
【详解】的渐近线方程为，不妨设为，
圆的圆心，到渐近线的距离=，
对于：；
故答案： .
16. M为抛物线上任意一点，F是抛物线的焦点，E是抛物线的准线与x轴的交点，点P为线段OM的中点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】设出，，表达出，，结合，求出最值，得到取值范围.
【详解】如图，，设，，
则，
故，
因为，所以，
故当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为7，
则的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．）
17. 已知的三个顶点分别为，，．
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方程.
（2）计算，到直线的距离为，得到面积.
【小问1详解】
，故边的垂直平分线的斜率，的中点为，
故垂直平分线为，即.
【小问2详解】
，
所在的方程为，即，
到直线的距离为，.
18. 在二项式的展开式中，______.
给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】选择①：，利用组合数公式，计算即可；
选择②：转化为，计算即可
（1）由于共9项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第5项和第6项，利用通项公式计算即可；
（2）写出展开式的通项，令，即得解
【详解】选择①.
，即，
即，即，
解得或（舍去）.
选择②.
，即，解得.
（1）展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，
，
.
（2）展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中常数项为第7项，
常数项为.
19. 已知数列满足且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和为.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等比数列定义判断为等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案.
（2）由（1）可求得的通项公式，利用错位相减法即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知数列满足且，
是首项为，公比为的等比数列，
；
【小问2详解】
由，得，
所以，
则
两式相减得
，
所以.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点.
（1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；
（2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或
（2）存在，两个
【解析】
【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；
(2) 假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果.
【小问1详解】
圆可化为，圆心为，
若的斜率不存在时，，此时符合要求.
当的斜率存在时，设的斜率为，则令，
因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离
，
所以直线的方程为或.
【小问2详解】
假设圆上存在点，设，则，
，
即，即，
，
与相交，则点有两个.
21. 已知直角三角形ABC的顶点，直角顶点B的坐标为，顶点C在x轴上．
（1）求直角三角形ABC的外接圆的一般方程；
（2）设OA的中点为M，动点P满足，G为OP的中点，其中O为坐标原点，E为三角形ABC的外接圆的圆心，求点G的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据题意求出直线BC的方程并求出点的坐标，根据直角三角项外接圆的圆心为斜边的中点，半径为斜边长的一半即可求解；
(2)结合（1）的结论和双曲线的定义，求出点P的轨迹方程为，设，根据题意进行等量代换即可求解.
【小问1详解】
由题意知：直线AB的斜率为，∵，
∴直线BC的斜率为，
直线BC的方程为：
令，则，∴C（4，0）
由于三角形是以B为直角顶点的直角三角形，所以其外接圆的直径为AC，
从而外接圆的圆心为（1，0），半径为3
∴三角形ABC外接圆的方程为：，
其一般方程为：
【小问2详解】
由（1）知：三角形ABC的外接圆的圆心E（1，0），
∵M为OA的中点，∴
∵，
∴P的轨迹是以M，E为焦点的双曲线的右支，
设其方程为：
则，，从而，，
∴点P的轨迹方程为：①
设，，
∵G为OP的中点，则有，从而，∴
代入①得点G的轨迹方程为：．
22. 已知点在椭圆（）上，且该椭圆的离心率为.直线l交椭圆于P，Q两点，直线，的斜率之和为零，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件立方程组求解a，b，c；
（2）设直线AP的倾斜角，由条件计算出AP和AQ的斜率，再求出点P和Q的坐标，运用三角形面积公式计算的面积.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，由题意可得，解得，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
由题意作下图：
不妨设直线的倾斜角为锐角且为，则直线的倾斜角为，所以，
因，，解得 ，
又为锐角，所以，于得直线：，：，
联立方程组消去y得：，
因为方程有一根为2，所以，，
同理可得，，
所以：，，点A到直线的距离，
所以的面积为；
综上，椭圆方程为；的面积为.