1.2.1 直角三角形的判定（HL）同步练习（含解析）2022-2023学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学 1.2.1 直角三角形的判定（HL）
一、单选题
1．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（　　）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中，则的度数是（　　）
A．32° B．62° C．58° D．68°
3．用三角尺可按下面方法画角的平分线.如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得.则判定三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，，，在AC上取一点E，使，过点E作，连接CF，使，若，则AE的长为（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．无法计算
5．如图，在△ABC中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，，且，则判定≌的最好理由是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．120°
8．如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．4
二、填空题
9．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为　 　°.
10．如图，，请你添加一个条件　 　，利用“”，证明.
11．如图，中，，点D在上，且于点E，，若，则　 　.
12．如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为　 　．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=10°，则∠DBF的度数为　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　 　时，△ABC≌△QPA
三、解答题
15．如图，已知 ，点P在 上， ， ，垂足分别为D，E．求证： ．
16．如图，已知平分，于点E，于点F，且．求证：．
17．如图，，点E、F在线段上，，．求证：．
18．如图，，，，.求的度数.
19．如图，，于E，于F，且．判断AE和DF的关系，并说明理由．
20．已知：如图，点在线段上，，，，，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：A.
【分析】根据“HL”得出添加AC=AD或BC=BD，再结合隐含的条件AB=AB，证出Rt△ABC≌Rt△ABD，即可得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF＝∠ABC＝32°，
∴∠DFE＝90°﹣32°＝58°．
故答案为：C．
【分析】由题意根据HL定理可证Rt△ABC≌Rt△DEF，由全等三角形的对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，然后根据直角三角形两锐角互余可求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴（），
故答案为：D.
【分析】根据题干提供的信息可知Rt△OPM与Rt△OPN中，有一条直角边对应相等，且斜边是公共边，故利用HL可以判断Rt△OPM与Rt△OPN全等.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴∠CEF=，
在Rt△ACB和Rt△FEC中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△FEC，
∴AC=，EC=，
∴AE=AC-EC=6cm，
故答案为：B.
【分析】首先利用HL判断Rt△ACB≌Rt△FEC，根据全等三角形的对应边相等得AC=EF=10cm，进而根据AE=AC-EC进行计算即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴=8.
故答案为：C.
【分析】先证出，得出，即可得出=8.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
在和中，，
和．
故答案为：D.
【分析】根据垂直的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，由已知条件可知AB=AC，由图形可得AD=AD，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF，证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得到∠ABC＝∠DEF，然后结合∠DEF+∠DFE＝90°进行解答.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作DF⊥AB于点F，
∵ AD＝BD
∴△ADB是等腰三角形，∠ABD＝∠A＝40°
∴AB＝2AF＝2BF
∵，，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°，
∴ ∠DBE＝∠ABC－∠ABD＝40°
∴∠DBE＝∠ABD
∵
∴ ∠DE＝DF
∵BD＝BD
∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL）
∴BF＝BE＝2
∴AB＝2BF＝4
故答案为：D
【分析】作DF⊥AB于点F，先利用“HL”证明Rt△BDF≌Rt△BDE可得BF＝BE＝2，再结合AB＝2AF＝2BF可得答案。
9．【答案】35
【解析】【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣55°＝35°.
故答案为：35.
【分析】首先利用HL判断Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB＝∠DFE＝55°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
10．【答案】或
【解析】【解答】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.
由图可知：和斜边为公共边，即，
∴应添加：或，
故答案为：或.
【分析】如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，据此解答.
11．【答案】2.5
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得DE=CD=1.5，利用BD=BC-CD即可求解.
12．【答案】6或10
【解析】【解答】解： ①如图1，当点C在线段上时，连接，
∵于E，于F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点C在线段的延长线上时，
同理可得，，
∴．
故答案为：6或10.
【分析】 ①当点C在线段AF上时，连接AD，由垂直的概念可得∠DEB=∠DFC=90°，利用HL证明△DEB≌△DFC、△DEA≌△DFA，得到CF=BE=2，AF=AE=AB+BE=8，然后根据AC=AF-CF进行计算；②当点C在线段AF的延长线上时，同理求解即可.
13．【答案】35
【解析】【解答】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：35 ．
【分析】先利用“HL”证明，可得AD=BD，，再结合∠ABE=10°，可得。
14．【答案】5
【解析】【解答】解：当AP＝5时，△ABC≌△QPA，理由如下：
∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
当AP=5=BC时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）.
【分析】利用全等三角形的性质求解即可。
15．【答案】证明：∵ ，
∴ 为 的角平分线，
又∵点P在 上， ， ，
∴ ， ，
又∵ （公共边），
∴ ．
【解析】【分析】利用“HL”证明即可。
16．【答案】证明：∵平分，于，于，
∴，
在和中，
，
∴．
【解析】【分析】先利用角平分线的性质可得，再利用“HL”证明即可。
17．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【解析】【分析】先证明BF=CE，再利用“HL”证明，可得。
18．【答案】解：∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠AEB=∠BDC=90°，利用HL证明Rt△AEB≌Rt△BDC，得到∠A=∠CBD，由余角的性质可得∠A+∠ABE=90°，则∠ABC=∠ABE+∠CBD=∠ABE+∠A，据此计算.
19．【答案】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC =∠DFE=90°，∠AEB=∠AEF= 90°，
∴∠DFE=∠AEF
∴AE∥DF
又∵ CE= BF，
∴CE- EF= BF- EF，即CF= BE，
在Rt△DFC和Rt△AEB中，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB （HL），
∴AE= DF．
所以AE∥DF，且AE=DF．
【解析】【分析】先求出∠DFE=∠AEF，可得AE//DF，再利用“HL”证明Rt△DFC≌Rt△AEB，然后利用全等三角形的性质可得AE=DF， 即可得到AE∥DF，且AE=DF。
20．【答案】证明：∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，
∴DF=BE，
在Rt△ADF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF=CE.
【解析】【分析】根据DE=BF结合线段的和差关系可得DF=BE，证明Rt△ADF≌Rt△CBE，据此可得结论.