1.2.2 含30°角的直角三角形 课时同步训练（含解析）2022-2023学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册 1.2.2 含30°角的直角三角形 课时同步训练
一、单选题
1．在中，，，，则AB的长是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．如图，在中，，，，则（　　）
A．2 B． C． D．1.5
3．如图，中，，，于，，的长度是（　　）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，在中，，，，则的长是（　　）
A．16 B． C．4 D．
5．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（　　）
A．2s B．4s C．2s或4.5s D．2s或4s
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm
二、填空题
9．如图1，是某超市自动扶梯，如图2，是其示意图，大厅两层之间的距离米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为　 　秒.
10．如图所示，小明从坡角为30°的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了50米，则山坡的高度BC为　 　米.
11．如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=4cm，∠ABC=30°，则长方形纸条的宽度是　 　cm.
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=10，则AC=　 　.
13．某市在“文明卫生城市”创建中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠B=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　 　元.
14．如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为　 　小时．
15．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°， ，则AB的长为　 　．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC．求证：AD=2CD．
17．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB= AC，求证：∠C=30°．
18．如图，在 中， ， ， 于D， ，求 的长．
19．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，AB=40，求DB的长．
20．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE= AB．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求BC的长．
22．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC=4.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得AB＝2BC，据此计算.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：在中，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2。
3．【答案】B
【解析】【解答】，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B。
【分析】先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，，最后利用线段的和差可得。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴a==4.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形中，含30°角所对的直角的直角边等于斜边的一半可得出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4（cm），
故答案为：C．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
则∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠C=∠CBD，
∴BD=CD=8，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=8，
∴AD= BD=4，
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABD=∠CBD=30°，再求出BD=CD=8，最后计算求解即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：AP=BQ=t.
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°.
∵AC=3，
∴AB=2AC=6.
①当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，
∴AQ=2AP，
∴6-t=2t，
∴t=2.
②当∠AQP=90°时，
当0∴t=2(6-t)，
∴t=4（不合题意，舍去）.
当t>3时，P与C重合，则AQ==6-t，
∴t=4.5.
综上，t的值未2s或4.5s.
故答案为：C.
【分析】先根据时间×速度=路程可得AP=BQ=t，然后由直角三角形30°所对的直角边为斜边的一半可求出AB的值，接下来分：①∠APQ=90°，②∠AQP=90°两种情况，利用AQ=2AP和AP=2AQ列方程求解即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故答案为：C．
【分析】求出AE＝BE，推出∠A＝∠1＝∠2＝30°，求出DE＝CE＝3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
9．【答案】26
【解析】【解答】解：∵30°锐角所对直角边等于斜边的一半，
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为2h=13米，
∴顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为13÷0.5=26秒．
【分析】先利用含30°角的性质求出自动扶梯的长度，最后利用时间=路程÷速度计算即可。
10．【答案】25
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC= AB= ×50=25（米）.
故答案为：25.
【分析】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此解答即可.
11．【答案】2
【解析】【解答】解：分别作CD，BC边上的高为AE，AF，如图所示：
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两纸条相同，
∴纸条宽度AE=AF.
∵平行四边形的面积为AF×CD=BC×AE，
∴CD=BC.
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=4cm，
∵∠ABC=30 ，
∴AE=AB=2cm.
故答案为：2.
【分析】首先证出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出CD=BC，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的性质得出AB的长，进而根据在30度角的直角三角形中,30度角所对直角边等于斜边的一半,可得长方形纸条的宽度是2.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-60°=30°；
而BC=10，
∴.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠B=30°，然后根据含30度角直角三角形的性质就可求出AC.
13．【答案】150a
【解析】【解答】解：如图，作BA边的高CD与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC=AB×CD=×20×15=150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格：150a元.
故答案为：150a.
【分析】作BA边的高CD与BA的延长线交于点D，由邻补角的性质求得∠DAC=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得CD=15m，从而求得S△ABC的面积，再根据总价=单价×面积，代入数据即可求得购买这种草皮需要的钱数.
14．【答案】
【解析】【解答】过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∵AC＝50海里，
∴CD＝ AC＝25（海里），
∴该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 ＝ （小时），
答：该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 小时，
故答案为： ．
【分析】先求出CD＝ AC＝25海里，再计算求解即可。
15．【答案】4
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，∠C=45°，AC= ，
∴AD=CD=2，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2，
∴AB=2AD=4，
故答案为：4．
【分析】先求出AD=CD=2，再利用直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，进行求解即可。
16．【答案】证明：
过D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，
∴CD=DE，∠DEA=90°，
∵∠A=30°，
∴AD=2DE，
∴AD=2CD
【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD=DE，根据含30度角的直角三角形性质得出AD=2DE，代入求出即可．
17．【答案】证明：延长AB至M，使BM=AB，连接CM．
在△ABC与△MBC中，
（SAS），
∴△ABC≌△MBC（SAS），
∴AC=MC，∠ACB=∠MCB，
∵AB= AC，AB= AM，
∴AC=AM，
∴AC=MC=AM，
∴△ACM为等边三角形，
∴∠ACM=60°，
∴∠ACB=∠MCB=30°．
【解析】【分析】延长AB至M，使BM=AB，利用SAS证明△ABC≌△MBC，进而得出△ACM为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可证明∠ACB=30°．
18．【答案】解：在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=2，
则AD=CD=2，
在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=2，
则BD= ，
故AB=AD+BD= +2，
故答案为： +2．
【解析】【分析】在Rt△ACD中，求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB。
19．【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，
在Rt△ABC中，BC= AB，
在Rt△BCD中，DB= BC= × AB= AB= ×40=10
【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，然后根据再直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半来进行解答．
20．【答案】证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B= （180°﹣∠BAC）= （180°﹣120°）=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠B=30°，
在Rt△ABD中，AD= AB，
在Rt△ADE中，AE= AD= × AB= AB，
即AE= AB．
【解析】【分析】连接AD，根据等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B=30°，然后根据同角的余角相等求出∠ADE=∠B=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
21．【答案】解：∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，
∴∠CAD=（90°﹣30°）﹣30°=30°，
∴CD= AD= ×12=6，
∴BC=BD+CD=12+6=18
【解析】【分析】根据等边对等角可得∠BAD=∠B，然后求出∠CAD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD= AD，然后根据BC=BD+CD代入数据计算即可得解．
22．【答案】证明：作AM⊥BD，交BD延长线于M，
∵在Rt△ABM中，∠ABD=30°，
∴AB=2AM，
∵BD为AC边上的中线，
∴AD=CD，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC=∠M=90°，
∵在△BCD和△MAD中，
，
∴△BCD≌△MAD（AAS），
∴AM=BC，
则AB=2BC．
【解析】【分析】作AM⊥BD，交BD延长线于M，在直角三角形ABM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到B=2AM，．再利用AAS得出三角形BCD与三角形ADM全等，由全等三角形的对应边相等得到AM=BC，等量代换即可得证．