第21章 一元二次方程 章末测试卷（含解析） 2022--2023学年九年级人教版上册数学

第21章 一元二次方程 章末优化测试卷
考试范围：第21章 一元二次方程；考试时间：100分钟；命题人：中学考试命题与预测组
姓名：___________班级：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列是一元二次方程的是（　　）
A．x2+3y＝5 B．x2﹣2x+3 C．5x2+＝2 D．x2﹣x﹣6＝0
2．（3分）一元二次方程x2＝﹣6x+1的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣6，1 B．6，﹣1 C．﹣6x，1 D．6x，﹣1
3．（3分）已知x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣3a＝0的一个解，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（3分）已知方程x2+2019x﹣3＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+αβ+2019α的值为（　　）
A．1 B．0 C．2019 D．﹣2019
5．（3分）有两个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x个人，则两轮传染后患流感的人数共有（　　）
A．x（x+2）人 B．（x+1）2人 C．（x+2）2人 D．2（x+1）2人
6．（3分）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（　　）
A．x＝﹣26 B．x1＝﹣4，x2＝11
C．x1＝2，x2＝﹣ D．x1＝﹣2，x2＝
7．（3分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余面积为30m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为（　　）
A．6m B．7m C．8m D．9m
8．（3分）无论x取何值，代数式3x2﹣6x+11的值（　　）
A．总大于8 B．总不小于8 C．总不小于11 D．总大于11
9．（3分）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣11x+30＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
10．（3分）给定正实数a，b且2a＞b．若实数x，y满足ax2﹣bxy+ay2＝1，那么x2+y2的最大值与最小值的和是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）方程x2＝3的根是 　 　．
12．（4分）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两根，则＝　 　．
13．（4分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　 　．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3cm，BC＝6cm，AC＝5cm，蚂蚁甲从点A出发，以2.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发 　 　s后，甲乙第一次相距2.5cm．
三．解答题（共8小题，满分74分）
15．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
17．（8分）北韩麻花产自陕西省武功县北韩村，是陕西省武功县的地方特产，源于明代洪武年间，至今有600多年历史．某批发超市销售一种北韩麻花，进价为每箱30元，当售价为每箱40元时，每天可以销售48箱，为尽快减少库存，超市决定降价销售，经调查发现，如果每箱麻花每降低1元，每天可多售出8箱．如果超市销售北韩麻花每天要想获得504元的利润，每箱售价应降低多少元？
18．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝27，求m的值．
20．（10分）党的十八大至二十大以来，我们住房保障体系建设加快完善，某市为了扎实落实住房保障工作，2019年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2021年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．假设这两年每年投入的年平均增长率相同．
（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率；
（2）2022年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，求2022年该市能够帮助建设保障性住房的户数．
21．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标
得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若一元二次方程为x2+2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 　 　．
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根：并求出该方程的衍生点M的坐标：
②直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，直线l过点B（﹣1，0），且与l2相交于点C（1，4）．若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝﹣kx+2（4+k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
22．（12分）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则有：x1+x2＝﹣，x1x2＝．某班学完该内容后，王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设k＝3，方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根是x1，x2，求+的值．
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵k＝3∴已知方程是x2﹣3x+3＝0
又∵x1+x2＝3x1x2＝3
∴+＝＝＝＝1
∴+＝1
（1）请你针对以上练习题和解答的正误做出判断，并简述理由．
（2）请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，改求+的值．
第21章 一元二次方程 章末优化测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列是一元二次方程的是（　　）
A．x2+3y＝5 B．x2﹣2x+3 C．5x2+＝2 D．x2﹣x﹣6＝0
解：A、x2+3y＝5含有2个未知数，不符合题意；
B、x2﹣2x﹣3不是方程，不符合题意；
C、5x2+＝2为分式方程，不符合题意；
D、x2﹣x﹣6＝0只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，符合题意．
故选：D．
2．（3分）一元二次方程x2＝﹣6x+1的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣6，1 B．6，﹣1 C．﹣6x，1 D．6x，﹣1
解：方程x2＝﹣6x+1化为一般式为：x2+6x﹣1＝0，
则一次项系数为6，常数项为﹣1，
故选：B．
3．（3分）已知x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣3a＝0的一个解，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵x＝3是方程x2﹣3a＝0的解，
∴9﹣3a＝0，
∴a＝3．
故选：D．
4．（3分）已知方程x2+2019x﹣3＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+αβ+2019α的值为（　　）
A．1 B．0 C．2019 D．﹣2019
解：∵方程x2+2019x﹣3＝0的两根分别是α和β，
∴α2+2019α＝3，αβ＝﹣3，
∴α2+αβ+2019α，3﹣3＝0，
故选：B．
5．（3分）有两个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x个人，则两轮传染后患流感的人数共有（　　）
A．x（x+2）人 B．（x+1）2人 C．（x+2）2人 D．2（x+1）2人
解：根据题意可知：第一轮新传染的人数为：2x人，则第二轮新传染的人数为：（2x+2）x人，
则两轮传染的总人数为：（2x+2）x+2x+2＝2（x+1）2．
故选：D．
6．（3分）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（　　）
A．x＝﹣26 B．x1＝﹣4，x2＝11
C．x1＝2，x2＝﹣ D．x1＝﹣2，x2＝
解：∵（x﹣2）★（1﹣x）＝28，
∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28，
x2﹣4x+4﹣（x﹣x2﹣2+2x）＝28，
x2﹣4x+4﹣x+x2+2﹣2x＝28，
2x2﹣7x+6＝28，
2x2﹣7x﹣22＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣22）＝49+176＝225＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝＝，x2＝＝﹣2，
故选：D．
7．（3分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余面积为30m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为（　　）
A．6m B．7m C．8m D．9m
解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝30，
解得：x1＝8，x2＝﹣3（不合题意，舍去），
即：原正方形的边长8m．
故选：C．
8．（3分）无论x取何值，代数式3x2﹣6x+11的值（　　）
A．总大于8 B．总不小于8 C．总不小于11 D．总大于11
解：3x2﹣6x+11＝3（x﹣1）2+8，
∵（x﹣1）2≥8，
∴代数式3x2﹣6x+11的值总不小于8，
故选：B．
9．（3分）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣11x+30＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
解：由x2﹣11x+30＝0，
解得：x＝6或x＝5，
当第三边长为6时，
由三角形三边关系可知：2+4＝6，
故不能组成三角形，
当第三边为5时，
由三角形三边关系可知：4+2＞5，能够组成三角形，
∴这个三角形的周长为：2+4+5＝11，
故选：A．
10．（3分）给定正实数a，b且2a＞b．若实数x，y满足ax2﹣bxy+ay2＝1，那么x2+y2的最大值与最小值的和是（　　）
A． B． C． D．
解：∵（x﹣y）2≥0，
∴xy≤（x2+y2），
∴ax2﹣bxy+ay2≥a（x2+y2）﹣ b（x2+y2），
∵ax2﹣bxy+ay2＝1，
∴（a﹣b）（x2+y2）≤1，
∵2a﹣b＞0，
∴x2+y2≤，
∴x2+y2的最大值为，
∵（x+y）2≥0，
∴xy≥﹣（x2+y2），
∴ax2﹣bxy+ay2≤a（x2+y2）+ b（x2+y2），
∵ax2﹣bxy+ay2＝1，
∴（a+b）（x2+y2）≥1，
∴x2+y2≥，
∴x2+y2的最小值为，
∴+＝，
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）方程x2＝3的根是 　x1＝，x2＝﹣　．
解：x2＝3，
x＝±，
所以x1＝，x2＝﹣．
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
12．（4分）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两根，则＝　　．
解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，
∴
＝
＝
＝．
故答案为：．
13．（4分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　②③④　．
解：若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
∴c＝0或ac+b+1＝0，故①错误；
若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
若a﹣b+c＝0，则ax2+bx+c＝a﹣b+c，即：ax2﹣a+bx+b＝0
∴a（x﹣1）（x+1）+b（x+1）＝0，即：（x+1）[a（x﹣1）+b]＝0，
∴它有一根为﹣1，故③正确；
若b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝4a2+8ac+4c2+5c2，
即：Δ＝4（a+c）2+5c2，
∵a≠0，∴Δ＝4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3cm，BC＝6cm，AC＝5cm，蚂蚁甲从点A出发，以2.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发 　3　s后，甲乙第一次相距2.5cm．
解：设甲出发xs后，甲乙第一次相距2.5cm，
根据题意得：2.5x+2（x﹣1）+2.5＝3+6+5，
解得x＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分74分）
15．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝0；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
解：（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（2）∵x2+3x+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
（1）证明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，
∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣m）
＝m2﹣4m+4﹣4+4m＝m2．
∵m2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝m﹣1．
∵m＜0，
∴﹣1＞m﹣1．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴﹣1﹣（m﹣1）＝3．
∴m＝﹣3．
17．（8分）北韩麻花产自陕西省武功县北韩村，是陕西省武功县的地方特产，源于明代洪武年间，至今有600多年历史．某批发超市销售一种北韩麻花，进价为每箱30元，当售价为每箱40元时，每天可以销售48箱，为尽快减少库存，超市决定降价销售，经调查发现，如果每箱麻花每降低1元，每天可多售出8箱．如果超市销售北韩麻花每天要想获得504元的利润，每箱售价应降低多少元？
解：设每箱售价应降低x元，
根据题意得：（40﹣x﹣30）×（48+8x）＝504，
整理得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
∵要尽快减少库存，
∴x＝3．
答：如果超市销售北韩麻花每天要想获得504元的利润，每箱售价应降低3元．
18．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．
解：（1）△PQB的面积不能等于9cm2，
理由如下：
∵5÷1＝5s，8÷2＝4s，
∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
根据题意可得：AP＝tm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
假设△PQB的面积等于9cm2，
则，
整理得：t2﹣5t+9＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，
∴所列方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于9cm2；
（2）由（1）得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
∵四边形APQC的面积等于16cm2，
∴，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得t1＝1，t2＝4，
当当t＝4时，C，Q点重合，不符合题意，舍去，
∴t＝1，
答：1s后，四边形APQC的面积等于16cm2．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝27，求m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有实数根，
∴m≠0且Δ＝[2（m+1）]2﹣4m（m﹣1）≥0，
解得：m≥﹣且m≠0，
即m的取值范围是m≥﹣且m≠0；
（2）∵x1，x2是方程mx2+2（m+1）+m﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，
∵x12+x22＝27，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝27，
∴[﹣]2﹣2×＝27，
整理得：25m2﹣10m﹣4＝0，
解得：m＝，
经检验m＝都符合m≥﹣且m≠0，
∴m＝或．
20．（10分）党的十八大至二十大以来，我们住房保障体系建设加快完善，某市为了扎实落实住房保障工作，2019年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2021年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．假设这两年每年投入的年平均增长率相同．
（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率；
（2）2022年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，求2022年该市能够帮助建设保障性住房的户数．
解：（1）设该市这两年投入资金的年平均增长率为x，
依题意，得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年投入资金的年平均增长率为20%；
（2）7.2亿元＝72000万元，
∴72000×（1+20%）÷3＝28800（户）．
答：2020年该市能够帮助建设保障性住房28800户．
21．（10分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标
得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若一元二次方程为x2+2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 　（0，2）．　．
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根：并求出该方程的衍生点M的坐标：
②直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，直线l过点B（﹣1，0），且与l2相交于点C（1，4）．若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝﹣kx+2（4+k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
解：（1）∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝2
故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．
故答案为：（0，2）．
（2）x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0，
①∵Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0，
解得：x1＝m﹣2，x2＝m，
方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0的衍生点为M（m﹣2，m）．
②∵直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，
∴A（﹣5，0），
由①得，M（m﹣2，m），
令m﹣2＝x，m＝y，
∴y＝x+2，
∴点M在直线y＝x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2），
令y＝0，则x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴﹣2＜m﹣2＜0；
∴0＜m＜2；
（3）存在．
直线y＝﹣kx+2（4+k）＝﹣k（x+4）+8，过定点M（﹣4，8），
∴x2+bx+c＝0两个根为x1＝﹣4，x2＝8，
∴﹣4+8＝﹣b，﹣4×8＝c，
∴b＝﹣4，c＝﹣32．
22．（12分）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则有：x1+x2＝﹣，x1x2＝．某班学完该内容后，王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设k＝3，方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根是x1，x2，求+的值．
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵k＝3∴已知方程是x2﹣3x+3＝0
又∵x1+x2＝3x1x2＝3
∴+＝＝＝＝1
∴+＝1
（1）请你针对以上练习题和解答的正误做出判断，并简述理由．
（2）请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，改求+的值．
解：（1）以上练习题和解答是错误的，k＝3时，Δ＜0．
故方程x2﹣3x+3＝0无实数根；
（2）∵方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根是x1，x2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
∴k≤，
故k可取1或2，
当k＝1时，方程为x2﹣3x+1＝0，则x1+x2＝3，x1x2＝1，
原式＝＝＝＝；
当k＝2时，方程为x2﹣3x+2＝0，则x1+x2＝3，x1x2＝2，
原式＝＝＝＝．