2022-2023学年北师大版八年级数学下册1.2 直角三角形 课时提升练（含解析）

北师大版八年级数学下册 1.2 直角三角形 课时提升练
一、单选题
1．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．斜边相等 B．面积相等
C．两对锐角对应相等 D．一直角边及斜边分别相等
2．一根竖直的竹竿于离地面3米处折断，倒下部分与地面成角，这根竹竿在折断前的长度为（　　）
A．6米 B．9米 C．12米 D．1.93米
3．在中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB的长为6cm，则BC的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．
4．如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（　　）
A．7.5 B．7 C．6.5 D．6
5．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点 M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．3km B．4km C．5km D．6km
6．如图，中，，，于，，的长度是（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．如图，在 中， 是AC上一点， 于点E， 连接BD，若AC=8cm，则 等于（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．2
二、填空题
9．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　 　．
10．如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD．则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是　 　．
11．某市在“文明卫生城市”创建中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠B=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　 　元.
12．一艘快艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后到达A地，若快艇的行驶速度保持不变，则快艇驶完AB这段路程的时间为　 　小时。
13．如图，在中，，，垂足为D，E是AC的中点，若，则　 　．
14．如图，CD，BE是的高，点P是BC边的中点，连接DP，EP，若，则EP的长是　 　．
三、解答题
15．已知：如图，点在线段上，，，，，求证：.
16．如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．
18．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE= AB．
19．已知，如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点．求证：MD＝MB．
20．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=12，CD=AC=16，M、N分别是对角线BD、AC的中点．
①求证：MN⊥AC；
②求MN的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、斜边相等，缺少条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、一直角边及斜边分别相等，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：画出示意图如下：
DB为竹竿在折断前的长度，其中AB=3米，∠ACB=30°，
∵DB⊥BC，
∴AC=2AB=6（米），
∵AC=AD，
∴（米）．
故答案为：B．
【分析】先求出AC=2AB=6（米），再根据AC=AD求解即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：在中，
∵，，斜边AB的长，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=AB，据此计算.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵，
（cm），
∵D是的中点，
∴（cm）．
故答案为：B
【分析】先求出，再求出AC=14，最后计算求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵点M是AB的中点，
∴CM＝AB＝6km，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ACB＝90°，再根据线段的中点求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B。
【分析】先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，，最后利用线段的和差可得。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明 ，证明DC=DE即可；
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB（HL），
∴CD=AE=7，CE=BD=2，
∴ED=CD-CE=7-2=5，
故答案为：B.
【分析】根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。
9．【答案】7
【解析】【解答】解：由MN∥PQ，AB⊥PQ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AE+BE=AD+BC=7．
故答案为：7.
【分析】先判断出△ADE≌△BCE，可得AE=BC，再利用线段的和差及等量代换可得AB的长。
10．【答案】互相平分
【解析】【解答】∵AE=CF， 点E，F不重合，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
又∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
又∵AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴DE=BF，
又∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，OB=OD，
∴BD和EF互相平分，
故答案为互相平分．
【分析】由已知推出AE+EF=CF+EF，即AF=CE，由DE⊥AC，BF⊥AC，得出∠DEC=∠BFA=90°，即得出Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，即DE=BF，证明得出△DOE≌△BOF，则得出OE=OF，OB=OD，即可得出BD与EF的关系。
11．【答案】150a
【解析】【解答】解：如图，作BA边的高CD与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC=AB×CD=×20×15=150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格：150a元.
故答案为：150a.
【分析】作BA边的高CD与BA的延长线交于点D，由邻补角的性质求得∠DAC=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得CD=15m，从而求得S△ABC的面积，再根据总价=单价×面积，代入数据即可求得购买这种草皮需要的钱数.
12．【答案】2
【解析】【解答】解：∠AOB=180°-30°-60°=90°，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴
∴∠B=30°
∴AB=2AO；
∵从O港出发，1小时后到达A地，
∴快艇驶完AB这段路程的时间为2小时.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件可求出∠AOB=90°，再证明∠B=30°，利用30°的直角边等于斜边的一半可证得AB=2AO；再根据从O港出发，1小时后到达A地，就可求出快艇驶完AB这段路程的时间.
13．【答案】10
【解析】【解答】∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵DE=5，
∴AC=10；
故答案为：10．
【分析】利用直角三角斜边上中线的性质可得DE=AC，再结合DE的长，即可得到AC的长。
14．【答案】3
【解析】【解答】解：∵CD，BE是的高，
∴△BCD和△BCE均为直角三角形，
∵点P是BC边的中点，，
∴BC=2PE=2PD=6，
∴PE=3．
故答案为：3．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC=2PE=2PD=6，从而可得PE=3。
15．【答案】证明：∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，
∴DF=BE，
在Rt△ADF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF=CE.
【解析】【分析】根据DE=BF结合线段的和差关系可得DF=BE，证明Rt△ADF≌Rt△CBE，据此可得结论.
16．【答案】解：连接BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
在Rt△ABD和Rt△BCD中，
∴Rt△ABD≌Rt△BCD(HL)，
∴AD= CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E=∠F= 90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
【解析】【分析】连接BD，利用垂直的定义可证得∠BAD=∠BCD=90°，利用HL可证得Rt△ABD≌Rt△BCD，利用全等三角形的对应边相等，可得到AD=CD；再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF.
17．【答案】解：如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.
∵∠B＝90°，
∴四边形HBMD是矩形.
∴HD＝BM，BH＝MD，∠ABM＝∠ADC＝90°，
又∵∠C＝60°，
∴∠ADH＝∠MDC＝30°，
∴在Rt△AHD中，AD＝1，∠ADH＝30°，则AH＝ AD＝ ，DH＝ .
∴MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－ ＝ .
∴在Rt△CMD中，CD＝2MC＝4－ ，DM＝ ×CD＝ .
∴AB＝BH－AH＝DM－AH＝ － ＝
【解析】【分析】先求出 ∠ADH＝∠MDC＝30°， 再求出 MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－ ＝ ，最后计算求解即可。
18．【答案】证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B= （180°﹣∠BAC）= （180°﹣120°）=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠B=30°，
在Rt△ABD中，AD= AB，
在Rt△ADE中，AE= AD= × AB= AB，
即AE= AB．
【解析】【分析】连接AD，根据等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B=30°，然后根据同角的余角相等求出∠ADE=∠B=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
19．【答案】解：∵∠ABC＝90°，点M是AC的中点，
∴BM= AC，
同理可证DM= AC，
∴DM＝MB．
【解析】【分析】将MD、MB分别置于直角三角形ADC和直角三角形ABC中，然后根据直角三角形斜边中线的性质进行证明即可.
20．【答案】①证明：如图，连接AM、CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴AM=CM=BM=DM= BD，
∵N是AC的中点，
∴MN⊥AC；
②解：∵∠BCD=90°，BC=12，CD=16，
∴BD= =20，
∴AM= ×20=10，
∵AC=16，N是AC的中点，
∴AN= ×16=8，
∴MN= =6．
【解析】【分析】①连接AM、CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=CM=BM=DM= BD，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；②利用勾股定理类似求出BD，再求出AM、AN，再利用勾股定理列式计算即可得解．