2005年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国卷Ⅰ）河南河北山西安徽
（18）（本大题满分12分）
已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
( 16 ) （本小题共14分）
如图3所示，在四面体中，已知，
．是线段上一点，，点在线段上，且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【答案】
(Ⅰ)证明：在中， ∵
∴
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，
同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，
△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．
在中，∵
∴ ∴
又∵
∴
（II）
解法一：由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，
∴EF⊥EC，
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角，
∵
∴，
∴二面角B—CE—F的大小为．
解法二：如图，以C点的原点，CB、CA为x、y轴，
建立空间直角坐标系C－xyz，则
，，，，
∵为平面ABC的法向量，
为平面ABC的法向量，
∴，
∴二面角B—CE—F的大小为．
2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
18．（本小题满分14分）
如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.
（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
18．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1，）
O1（0，0，）.
从而
所以AC⊥BO1.
（II）解：因为所以BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.
设是0平面O1AC的一个法向量，
由 得.
设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，
所以cos，>=
即二面角O—AC—O1的大小是
解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，
OC是AC在面OBCO1内的射影.
因为 ，
所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1.
（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC
内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC.
所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，
所以，
从而， 又O1E=OO1·sin30°=，
所以 即二面角O—AC—O1的大小是
2005年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
19、（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，，，侧面与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱、的中点。
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明EA∥平面；
（Ⅲ）求经过、A、B、C四点的球的体积。
19、（I）解：过作平面平面，垂足为。连接，并延长交于，连接，于是为与底面所成的角。
因为，所以为的平分线
又因为，所以，且为的中点
因此，由三垂线定理
因为，且，所以，于是为二面角的平面角，即
由于四边形为平行四边形，得
所以，与底面所成的角度为
（II） 证明：设与的交点为，则点P为EG的中点，连结PF。
在平行四边形中，因为F是的中点，所以
而EP平面，平面，所以平面
（III）解：连接。在△和△中，
△△
又因为平面，所以是△的外心
设球心为，则必在上，且
在Rt△中，△
球的体积△.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
16．（本小题共14分）
如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=，
AC⊥BD，垂足为E.
（Ⅰ）求证BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A1—BD—C 1的大小；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小.
【答案】
【详解】
解法一：
（I）在直四棱柱中,
底面,
是在平面上的射影.
（II）连结
与（I）同理可证
为二面角的平面角.
又且
在中,
即二面角的大小为
（III）过B作交于,连结
则就是与所成的角.
在中,
即异面直线与所成角的大小为
解法二：
（I）同解法一.
（II）如图,以D为坐标原点,所
在直线分别为轴,轴,轴,建立空间
直角坐标系.
连结
与（I）同理可证,
为二面角的平面角.
得
二面角的大小为.
（II）如图,由
异面直线与所成角的大小为
解法三：
（I）同解法一.
（II）如图,建立空间直角坐标,坐标原点为E.
连结
与（I）同理可证,
为二面角的平面角.
由
得
二面角的大小为
（III）如图,由
得
异面直线与所成角的大小为
【名师指津】
三垂线定理,二面角的平面角、线面角、两条异面直线所成的角作法及求法,线线、线面、面面平
行与直线的判断与性质,构成了立体几何的主要内容,平时学习时应将之落实.
2005年上海高考数学试卷（理工农医类）
17．（本题满分12分）
已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
[解]
17．[解法一]由题意AB//CD，是异面直线BC1与DC所成的角.
连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得，
又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.
在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，
得
又在中，可得，
在
∴异而直线BC1与DC所成角的大小为
[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直
角坐标系.
则C1（0，1，2），B（2，4，0）
所成的角为，
则
∴异面直线BC1与DC所成角的大小为
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
18．（文）如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；
(Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小．
解：解法一
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA与平面PBC所成角为arcsin
解法二：
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).
B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).
浙江省2005年高考试题
数学(理工类)
18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；
(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
解：解法一
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA与平面PBC所成角为arcsin
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.
解法二：
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).
B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).
(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量
∴cos.
设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos()|=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
(Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().
∵OG⊥平面PBC,∴又∴,
∴h=,∴PA=,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.
∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心.
(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量
∴cos.
设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos()|=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
2005年普通高等学校招生全国统一考试
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D;
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC－D的大小为.
【正确解答】解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，
，设平面ACD1的法向量为，则
也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量
，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.
【解后反思】立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修II）
(20)(本小题满分12分)
如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.
（I）求异面直线与所成的角；
（II）求平面与平面所成的二面角；
（III）求点到平面的距离.
20．(考查知识点：立体几何)
解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得，
又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得
（I）因为所以=
易知异面直线所成的角为
（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由
即
∴
即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为
（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，
∴距离=所以点到平面的距离为
解法二：(I)连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K
∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直
∴
又
因此FK∥AE
∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角
连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK
从而△BKF为Rt△
在Rt△B1KF和Rt△B1D1中，由得
又BF=
∴∠BFK=
∴异面直线所成的角为
(II)由于DA⊥面AA1B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG
∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角。且∠DAG=90°
在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S
∵F为A1B1的中点，A1F
∴A1、F分别为SA、SB的中点，即SA=2A1A=2=AB
∴Rt△BAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即G、F重合。
易得AG=AF=SB=
在Rt△BAS中，AD=
∴∠AGD=
即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小为。
(III)由(II)知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角所成的平面。
∴面AFD⊥平面BDF
在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离
由AH·DF=AD·得
AH=
所以点到平面的距离为
2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
（17）（本小题共12分）。
已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
(Ⅰ)证明PC⊥平面PAB；
(Ⅱ)求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值；
(Ⅲ)若点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ在一个表面积为12π的球面上，
求△ABC的边长．
(17)本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.
（Ⅰ）证明：连结CF.
，
∴
，
∴平面，
，
∴
∴平面 ……4分
（Ⅱ）解法一：
∴为所求二面角的平面角.
设AB=a，则，
∴． ……8分
解法二：设P在平面ABC内的射影为O.
≌，∴≌
得. 于是O是△ABC的中心.
∴为所求二面角的平面角.
设AB=a，则
∴ ……8分
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.，
∴，
，
∴，得，
∴. ……12分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形.
设AB=x，球半径为R.
，
∴
，，
∴,
，
∴. ……12分
2005年普通高等学校招生全国统一考试
数学（江苏卷）
（21）（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二、第三小问满分各4分）
如图，在五棱锥S－ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE=,
∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.
（Ⅰ）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）证明BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小（本小问不必写出解答过程）
.
[分析]：本题是一道立体几何题,第一问转化在中,由余弦定理求出线线角;第二问证BC和平面SAB中两条相交线垂直;第三问求二面角,可利用空间向量法求解更方便.
[解答]：（1）连结BE，延长BC、ED交于点F，则，
又BC=DE， ，因此，为正三角形，
，∥CD
所以（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角
底面ABCDE，且SA =AB=AE=2，
同理，
又所以BE=2，从而在中由余弦定理得：
，
所以异面直线CD与SB所成的角为：
（2）由题意，是等腰三角形，，
所以又,
,所以,
,
(3)二面角B-SC-D的大小为:
另解法---向量解法:
(1) 连结BE，延长BC、ED交于点F，则，
又BC=DE， ，因此，为正三角形，
因为是等腰三角形,且
以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、z轴，以平面ABC内垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系（如图），则
A（0，0，0）， B（2，0，0） S（0，0，2），且C（2，，0）
D(,于是
则
所以异面直线CD与SB所成的角为：
(2),
(3)二面角B-SC-D的大小为.
[评析]:本小题主要考查了异面直线所成的角,线面垂直,二面角等相关基础知识;以及空间线面位置关系的证明,角和距离的计算,考查空间想象能力,逻辑推理能力和运算能力;同时设计了一道既可以利用传统的方法求解,又可以利用向量求解的立体几何题.
A
C
B
P
F
E
图3
A
C
B
P
F
E
图1 图2
A
B
O
C
O1
D
x
y
z
图3
F
E
A
B
O
C
O1
D
图4
H
S
A
C
B
P
F
E
P
C
A
E
D
O
F
E
F
D
C
B
A
S
E
F
D
C
B
A
S
z
y
x
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