2022-2023 学年高三年级第二学期开学摸底测试
数学试卷
一、 选择题 （本题共计 9小题，每题 5 分，共计 45 分，每题只有一个选项符合题意）
2
1．已知集合 A 1,1,2,4 ， B x x 2x 0 ，则 A B （ ）
A． 1,2 B． 1,2 C． 1,4 D． 1,4
2．数列 a 2 1n 的通项公式为an kn n 1，则“ k ”是“ an 为递增数列”的（ ）3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
3．函数 f x 2 x 1
sin x
1 e 的部分图像大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
1.2
a 3 4．已知 ，b log510， c log714，则 a，b，c的大小关系是（ ）
2
A． a b c B． a c b C．b c a D． c b a
5．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁~18 岁的
男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这 100 名学生中体重在
56.5,64.5 的学生人数是（ ）
高三数学试卷 第 1页 共 4页
今天所做的一切相加，就等于未来！
A．20 B．30 C．40 D．50
6．从 7 个人中选 4 人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排 2人，第二天和第三
天均安排 1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为（ ）
A．C47A
3
3 B．C
1A37 6 C．C
2
7C
2
5 D．C
2
7A
2
5
x2 y2
7．双曲线C : 1 a 0,b 0 2 2 的左、右顶点分别为A， B， P为C上一点，若点 P的纵坐a b
标为 1， PA 13， PB 2，则C的离心率为（ ）
30 42 53 17
A． B． C． D．
5 6 7 4
8．将函数 f x cos x 0,
π
π 的图象向左平移 个单位长度得到如图所示的奇函
2 3
数 g x π的图象，且 g x 的图象关于直线 x 4对称，则下列选项不正确的是（ ）
2π π 3
A． f x 在区间 , π 上为增函数 B． f 3 2 2
1
C． f f 0 D． f 1 f 0 0
2
x 1, x 1 1
9．已知函数 f x ，若存在实数 t（ t 0 t 1k ln x,0 x 1 且 ），使得 f f t t 成立，则实
数 k的取值范围是（ ）
A． ,0 B． , 0 C． , 1 D． , 1
高三数学试卷 第 2页 共 4 页
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分，共计 30分 ）
10．已知复数 z满足 z 2z 6 i，则 z 的虚部为______.
11． 2x 2 5的第三项的系数为____________．
12．已知正数 a、b 满足：直线ax by 1与圆 x2 y2 1相切，则 a b的最大值是______.
13．棱长为 a的正方体 ABCD A1B1C1D1的 8个顶点都在球O的表面上， E， F分别是棱 AA1，
DD1的中点，则直线 EF 被球O截得的线段长为__．
14．一个盒子里有 5个相同的球，其中 2 个红球，2 个黄球，1 个绿球，每次从盒中随机取
出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为______；若红球全部被取出视为取球结
束，记在此过程中取到黄球的个数为 ，则E ______.
BAD 2π15．已知平行四边形 ABCD的面积为9 3， ， E为线段 BC的中点．若 F为线段DE3
上的一点，且 AF AB
5
AD，则 AF 的最小值为___________．
6
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，共计 75 分 ）
16．在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 c cos B b 2a cosC 0．
(1)求角 C；
(2)若b 3a，求 cosB．
17．如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为直角梯形， AD∥BC，AB⊥AD，四边形
ADEF 为正方形，平面 ADEF⊥平面 ABCD．BC＝3AB＝3AD，M 为线段 BD 的中点．
(1)求证：BD⊥平面 AFM；
(2)求平面 AFM 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值．
高三数学试卷 第 3页 共 4页
今天所做的一切相加，就等于未来！
18．已知公比的绝对值大于 1 的无穷等比数列 an 中的前三项恰为－32，－2，3，8 中的三
个数， Sn为数列 2n 1 an 的前 n 项和．
(1)求 Sn；
10 4 n 1 10 30
(2)设数列 a 1 a 1 的前 n 项和为
T ，求证： T
n 9 n
．
n n 1 31
x2 y2 2
19．已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的离心率为 ，短轴长为2 2 .a b 2
（1）求C的方程；
（2）经过椭圆左顶点 A且斜率为 ( > )的直线 l与C交于 A,B两点，交 y轴于点E，点 P
为线段 AB的中点，若点E关于 x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的
直线交直线 AH于点M ，且 APM 面积为 ，求 k的值.
1
20．已知函数 f (x) ex ax2 (a R).
2
（I）若曲线 y f (x)在 (0, )上单调递增，求 a 的取值范围；
（II）若 f (x)
a
在区间 (0, )上存在极大值 M，证明：M .
2
高三数学试卷 第 4页 共 4 页2022-2023 学年高三第二学期开学摸底测试答案
1-5.BBCDC 6-9.DBDC
10． 1 11．320 12． 2 13． 2a
7 4
14． ； 15．
30 3 5
16．
【详解】（1）由 c cos B b 2a cosC 0，
得 sinC cos B sin B cosC 2sin AcosC 0，
则sin B C 2sin AcosC 0，即 sin A 2sin AcosC 0．
∵sin A 0，∴ cosC
1
，
2
π
又0 C π，∴C ．
3
π
（2）在 ABC中，C ，
3
由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab，
∵b 3a，∴ c a2 b2 ab 7a，
2 2 2
∴ cos B
a c b 1 7 9 7
．
2ac 2 7 14
17．
【详解】（1）因为四边形 ADEF为正方形，所以 AF⊥AD．
又因为平面 ADEF⊥平面 ABCD，且平面 ADEF 平面 ABCD＝AD， AF 平面 ADEF ，
所以 AF⊥平面 ABCD，而 BD 平面 ABCD，所以 AF⊥BD，因为 AB＝AD，M线段 BD的
中点，
所以 BD⊥AM，且 AM∩AF＝A， AM , AF 平面 AFM ，所以 BD⊥平面 AFM
（2）由（1）知 AF⊥平面 ABCD，所以 AF⊥AB，AF⊥AD，
又 AB⊥AD，所以 AB，AD，AF两两垂直．
分别以 AB, AD, AF为 x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 A－xyz（如图）．
答案第 1页，共 6页
设 AB＝1，则 A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,3,0)，D (0,1,0)，E (0,1,1)，
所以 BD 1,1,0 ， AE 0,1,1 ， AC 1,3,0 ，
设平面 ACE的一个法向量为 n x, y, z ，
AC n
0, x 3y 0
则 即 ，
AE n
0 y z 0
令 y＝1，则 x 3, z 1，则 n 3,1, 1 ．
由（1）知， BD 1,1,0 为平面 AFM的一个法向量．
设平面 AFM与平面 ACE所成的锐二面角为 ，
BD n 3 1 1 1 1 0
则 cos cos BD, n
2 22
BD n 3 2 12 1 2 1 2 12 02 11
．
所以平面 AFM与平面 ACE 2 22所成的锐二面角的余弦值为 ．
11
18．
2
【详解】（1）由已知 an 中的前三项满足a2 a1 a3，进计算只有（ 32， 2,8）满足题意，
a 2 a 8 n 1故 1 ， 2 ，a3 32解得 q 4 .则 an 2 4 , n N
Sn 2 1 1 a1 2 2 1 a2 2 n 1 an
= 2 3 4
0 5 4 1 2n 1 4 n 1 ①
4Sn 2 0 3 4
1 5 4 1 2n 1 4 n 1 2n 1 4 n ②
两式相减得：5S n= 2 3 4
0 2 4 1 2 4 n 1 2n 1 4 n
= 6 16 1 4 n 1 4n 2 4
n 14 4n 15 4 n
5 5
答案第 2页，共 6页
S 14 4则 n n
14
4
n ,n N *
25 5 25
（2）由题意得：
10 4 n 1 10 4 n 1 10 4 n 1= =
a 1 a 1 2 4 n 1 1 2 4 n 1 2 4 n 1 1 8 4 n 1n n 1 1
= 1 1n 1 ,n N
*
2 4 1 8 4 n 1 1
T 1 1 1 1 1 1n 2 1 8 1 2 4 1 8 4 1 2 4 2 1 8 4 2 1
1 1 = 1 1 *
2 4 n 1 1 8 4 n 1 1 8 4 n 1
，n N
1
1 n 1
故Tn的最大值即 8 4 n 1 1的最小值，即8 4 1 0时的最大值，易知
n 2 n 1
1 1
当 时，8 4 1= 31最大且小于 0，则 8 4 n 1 1最小值为 31
1 30
则Tn最大值为 1 =
31 31
1 10
同理：当 n 1时，Tn最小值为 1 = 9 9
10 T 30综上可知：
9 n
31
19．
c 2
e
a 2
【详解】（1）由题意，知 2b 2 2 .
a
2 b2 c2
a 2
解得 b 2 .
c 2
2 2
x y椭圆C的方程为 1 .
4 2
（2）易知，椭圆的左顶点 A 2,0 ，
答案第 3页，共 6页
设直线 l的方程为 y k x 2 ，则 E 0,2k ,H 0, 2k .
y k x 2
2 2 2 2
由 x2 y2 消去 y并整理，得 2k 1 x 8k x 8k 4 0 .
1
4 2
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,P x0 , y0 ，
64k 4 4 2k 2 1 8k 2 4 16 .
x x 8k
2 8k 2 4
1 2 ， x x2k 2 1 1 2
.
2k 2 1
1 4k 2 4k 2 2k
x0 x1 x2 ， y0 k x0 2 k 2 ，2 2k 2 1 2k 2 1 2 2k 1
k y 0 1 1OP k 2kx0 2k
， 直线 EM 的斜率为 EM k .OP
直线 EM 方程为 y 2kx 2k ，直线 AH 的方程为 y k x 2 .
4 2
点M , k .
3 3
4
k 2 k 4 2k k
点M 到直线 l : kx y 2k 0的距离为 d 3 3 3 .
k 2 1 k 2 1
2
AB 1 k 2 x x 1 k 21 2 x1 x2
2
4x1x
4 1 k
.2 2k 2 1
1 2AP AB 2 1 k .
2 2k 2 1
4 k 4
S 1 1 2 1 k
2
3
k
3 .
APM AP d 2 2 2 2k 1 k 2 2 1 2k 1
∵ S 4 1 AOM = ，解得 k = 或 1.9 2
20．
I f x e x【详解】（ ）由题意得 ax 0在区间 0, 内恒成立，
答案第 4页，共 6页
ex
即a 在区间 0, 内恒成立，
x
x x x x
令 g x e g x xe e x 1 e，则 .
x x2 x2
当0 x 1时， g x 0， g x 在区间 0,1 内单调递减；
当 x 1时， g x 0， g x 在区间 1, 内单调递增，故 g x g 1 emin ，
所以 a e，所以 a的取值范围为 ,e ；
（II）由（1）知当 a e时， f x 在区间 0, 内单调递增，则不存在极大值.
当a e时，1 ln a .
f x ex ax，令 h x f x ，则 h x ex a .
令h x 0，则 x ln a，
则易知函数 f x 在区间 0, ln a 内单调递减，
在区间 ln a, 内单调递增.
又 f 0 1 0， f 1 e a 0，
f ln a elna a ln a a 1 ln a 0（易知1 lna 0），
f 2ln a e2lna 2a ln a a2 2a ln a a a 2ln a ，
令 a a 2ln a， a 1 2 a 2 0，
a a
所以 a 在 a, 上单调递增，
所以 a a 2ln a e e 2 0，
所以 f 2ln a a a 2ln a 0
故存在 x1 0,1 x，使得 f x 11 e ax1 0，
存在 x2 lna, 2ln a ，使得 f x2 0，
则当 x 0, x1 时， f (x) > 0；
当 x x1, x2 时 f x 0；
答案第 5页，共 6页
当 x x2 , 时， f (x) > 0，
故 f x 在区间 0, x1 内单调递增，
在区间 x1, x2 内单调递减，
在区间 x2 , 内单调递增，
所以当 x x x
1 2
1时， f x 取得极大值，即M e 1 ax2 1 .
由0 x 1 1
x x x
1 ，得
1 0， 1 1 1 ，
2 2 2
由 ex1 ax1 0，得 e
x1 ax1，
x 2 1 x1
M e x 1 1 x x
1
故 1 ax 2 ax ax 2 2a 1 1 1 2a 2 2
a
1 1 1 ，2 2 2 2
2 2
a
所以M .
2
答案第 6页，共 6页
