高二数学试卷参考答案及评分标准
一. 单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A B C A
二. 多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对
的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2 分.
题号 9 10 11 12
答案 AC BD ACD BCD
三. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把正确答案写在答题卡相应题的横线上.
13 8 14 ( 1 , 3、 、 2 2 )
15、12π 16、 7、8、9、10、11 任意一个数均可
四. 解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
17.（10 分）
解：选择条件①和条件②
= 1
（1）设等差数列 1 的公差为 ，∴ + = 2 + 4 = 10 .........................（2 分）2 4 1
解得： 1 = 1， = 2.∴ = 1 + 1 × 2 = 2 1； ...............................（5 分）
（2）设等比数列 的公比为 ， > 0，
2 = 1 = 1 1
∴ 解得 = ， = 2. ..............................................（8 分）
2 4 =
2 4 = 4 11 2
1 1 2 1
设数列 的前 项和为 ，∴ = 2 1 1 2 = 2 2. ................................（10 分）
选择条件①和条件③：
（1）设等差数列 1
= 1
的公差为 ，∴ 2 + 4 = 2 1 + 4 = 10
...........................（2 分）
解得： 1 = 1， = 2.∴ = 1 + 1 × 2 = 2 1； ................................（5 分）
（2） 4 = 5 = 9，设等比数列 的公比为 ， > 0.
2 = 1 = 1 1
∴ = 3 = 9，解得 1 = 3， = 3. ...............................................（8 分）4 1
1
3 1 3
3
设数列 1 的前 项和为 ，∴ = 1 3 = 6 . ...................................（10 分）
选择条件②和条件③：
（1）设等比数列 的公比为 ， > 0，
高二数学试卷参考答案及评分标准 第 1 页（共 5页）
2 = 1 = 1 = 1 1∴ 2 4 ，解得 1 2， = 2， 5 =
3
4 = 2 × 2 = 4 .......................（4 分） 2 4 = 1 = 4
3
设等差数列 的公差为 ，∴ 5 = 1 + 4 = 4，又 1 = 1，故 = 4
∴ 3 = 1 + 1 × 4 =
3
4 +
1
4；...................................................（7 分）
（2）设数列 的前 项和为 ，
1 1 2
由（1）可知 = 2 = 2 1 1 2
1
2................................................（10 分）
18.（12 分）
解：（1）以{ , , 1 }为基底，因为∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60°， = 1 = = 1，
所以 1 = 1 cos∠ 1 = 1 × 1 ×
1
2 =
1
2，
同理可得 1 =
1
， 2
= 12，
则 1 = + 1 ， 1 = + 1 ，
= ( + )2 = 21 1 + 2 1 +
2
1 = 3，
1 = ( + )21
= B 2
2
+ D 2 + 1 + 2 2 1 2 1 = 2 ...............（3 分）
1 1 = + 1 + 1
= B 2 + 1 + 1 + 1
2
1 = 1
所以 1 , =
1 1 1 6
1
= = 6 .1 1 3× 2
6
∴直线 1与 1 夹角的余弦值是 ； .................................................（6 分）6
（2）因为 = + + 3 1 ，
2
所以 2 = B 2 + D 2 + 9 1 + 2 + 6 1 + 6 1 = 18， ...............（8 分）
所以 = = + + 3 1 =
2 + + 3 1 = 3， ...（10 分）
2
则点 到直线 的距离 = 2 = 18 9 = 3. ..........................（12 分）
高二数学试卷参考答案及评分标准 第 2 页（共 5页）
19.（12分）
= 3 = 2
解： （1）由题意得 2 = 2 + 2 ，解得 2 = 8， 2 = 2，
4
2 +
1
2 = 1
2 2
所以椭圆 的标准方程为: 8 + 2 = 1；..............................................（4 分）
1
（2）设直线 的方程为 = 2 + （ ≠ 0）， 1, 1 ， 2, 2
2 2+ = 1
联立方程 8 21 得：
2 + 2 + 2 2 4 = 0，
= 2 +
由Δ = 2 2 4 2 2 4 > 0 ,得 2 < < 2且 ≠ 0，
1 + 2 = 2
且 = 2 2 4 所以， .......................................................（6 分）1 2
弦长 = 1+ 14 1 +
2
2 4 =
5
1 2 2 2
2 4 2 2 4 = 5 4 2 .......（8 分）
又 2 到直线 的距离为 = ，
5
= 1
4 2 + 2
所以 △ 2 =
1
2 5 4
2 2 = 4 2 2 ≤ = 2
5 2
当且仅当 =± 2时取等号，所以△ 面积的最大值为 2. ............................（12 分）
20.（12 分）
解：(1)由题意知： = ( ≥ 2), 1
1 3
∴ + = 1，∴
1 = 3( ≥ 2)，
∴数列 是公差为 3 的等差数列； .................................................（6 分）
1 3 1 3
(2)∵ 1 = 1, + = 1，∴ + = 1，解得 1 = 4. 1 1 1 1
1 1 1 1 1
∴ = 4 + 3 1 = 3 + 1，∴ = = ( ) +1 （3 +1）（3 +4） 3 3 +1 3 +4 ,
∴ = 1 1 3 4
1
7 +
1
7
1 1 1 1 1 1 1 1
10 + + ( 3 +1 3 +4 ) = 3 4 3 +4 = 12 9 +12,........（10分)
∴ <
1
12，
1 1
又∵ = > 0，∴ 单调递增，∴
1
的最小值为 1 = 28， +1 （3 +1）（3 +4）
1 1
∴ ≤ < ..................................................................（12 分）28 12
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21.（12 分）
解：（1）取 的中点 ，连接 、 ，取 的中点 ，连接 .
= 1 = 1 = 2∵ 5 4 2 ，∴ = = 2 2,
∵ = = 2,∴ 2 + 2 = 2
∴ ⊥ , ⊥ , = 12 = 2.
由题意知 ⊥平面 ，∴ ⊥
1
∵ 为 中点，且 = = 2，∴ = 2 = 1,
∴ = 3.........................................................................（4 分）
V = 1 S × = 1 × 1 × ( 2 5 3∴ 四棱锥 3 四边形 3 2 2 + 2 2) × 2 × 3 = 6 ； .............（6 分）
（2）延长 到点 , 以 为原点， 、 的方向分别为 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系，则 0,0,0 ， 2,0,0 ， 0, 1, 3 ，.........................................（7 分）
= 2, 1, 3 ， = 0, 1, 3 ，
∵ = ，且 // ,
z
∴四边形 为平行四边形， S
∴∠ = ∠ = 90°,
∴ 2,2,0 P， E y
∴ = 0,2,0 ， = 2,3, 3 ．
B
设
C
= ， ∈ 0,1 O
D F M A
则 = + = + = 0, 1, 3 + 2,3, 3 x
= 2 , 3 1, 3 3 ．
设平面 的一个法向量 = , , ，直线 与平面 所成的角为 .
= 0 2 = 0由 得 ，故可取 = 3, 0,2 ． ...........................（9 分） = 0 2 + 3 = 0
∴sin = cos ,
= = 2 3 = 3
7 16 2 12 +4 2
7 4 38 +
7
16
3 4 3
∴当 = 8时，sin 取得最大值 ．7
4 3
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值 ．................................（12 分）
7
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22.（12 分）
解：（1）连结 ，
线段 的垂直平分线 与直线 交于点 ,所以| | = | |,
因为| | = | | + | |或者| | = | | | |，即| | | | =± | | =± 4，
所以，| | | | =± | | =± 4,即 | | | | = 4，而| | = 8 > 4， ...............（3分）
由双曲线的定义知，点 的轨迹 是以 , 为焦点的双曲线，
且2 = 4,2 = 8，即 = 2, = 4，所以 2 = 2 2 = 12，
2 2
所以 的标准方程为 = 1；.................................................（5分）
4 12
（2）假设存在点 ( , 0)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，设直线 的方程为 = + 4( ≠ 0)，
= + 4
联立 2 2 ，得(3
2 1) 2 + 24 + 36 = 0，
4 12=1
3 2 1 ≠ 0
Δ = (24 )2则 4 × 36 × (3
2 1) = 144( 2 + 1) > 0，
1 2 =
36
3 2 1 < 0
所以 ∈ ( 33 , 0) ∪ (0,
3
3 )
24 且 1 + 2 = 3 2 1， 1 2 =
36
3 2 1，..............................................（7 分）
因为点 到直线 ， 的距离相等，所以 是∠ 的平分线，
所以直线 与直线 的斜率互为相反数，即 + = 1 2 + = 0，1 2
则 1( 2 ) + 2( 1 ) = 0，
因为 1 = 1 + 4， 2 = 2 + 4，所以 1( 2 + 4 ) + 2( 1 + 4 ) = 0，
2 + (4 )( + ) = 0 2 36 + (4 )( 24 即 1 2 1 2 ，所以 3 2 1 3 2 1 ) = 0，
即 ( 1) = 0.因为 ≠ 0，所以 = 1，
故 轴上存在点 (1,0)可使点 到直线 、 的距离相等. ..............................（12 分）
(注：本试卷中各解答题若有其他解法，可根据实际情况酌情给分.)
高二数学试卷参考答案及评分标准 第 5 页（共 5页）高二数学试卷
本试卷分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分
全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答
题无效
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码
区域内，
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚，
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题卷上答题无效
4.作图可先使用2B铅笔填涂：非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷
一，单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，
1.命题“x>0,，x2-x≤0”的否定是
A.3x>0,x2-x≤0
B.3x>0,x2-x>0
C.x>0,x2-x>0
D.x≤0，x2-x>0
2.已知集合A={x-31},则AnB=
A.{x|x>2}
B.{xx>3}c.{x-3高二数学试卷第1页共8页
3.已知z(1-)=3+i(i是虚数单位)，z的共轭复数为艺，则z的虚部为
A.2
B.-2
c.1
D.-1
4某中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人的
比赛成绩依次为：83,85,87,87,88,88,91,93,97（单位：分），则这9人成绩
的第80百分位数是
A.87
B.91
C.93
D.95
5.已知等比数列{an}的公比为q,则“g=2”是“4a,4,2a2成等差数列”的
A,充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6已知双曲线C:
京京=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方向向量为a=(4,-2),则此
双曲线的离心率是
A.5
8.5
2
c.3
D.5
7.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICE一7）的会徽图案，其主体图案是由图乙
的一连串直角三角形演化而成的.已知OA,=A1A2=A2A=AA4=A4A=AA=
AA,=AA。=…=2,A,A2,A,…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大
组成的数列为{a,令b,=2
二之Sn为数列{，}的前n项和，则So
ICME-7
图甲
图乙
A.6
B.7
C.8
D.9
高二数学试卷第2页共8页
