沪科版七年级数学下册8.3《完全平方公式》

8.3《完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2》
一、教学目标
1、经历提出问题、探索方法、解决问题等数学活动的过程，掌握公式（a+b）2=a2+2ab+b2。
2、通过拼图法证明公式，体会代数与几何之间的联系，感受数学的整体性，渗透数形结的思想。
3、通过对公式的推广，激发学生的学习兴趣，获得一些研究数学问题的经验和方法，培养实践能力、探究能力与创新精神。
二、教学重点
1、公式及其推广。
2、研究问题的一些基本方法（转化、数形结合）。
三、教学难点
公式推广的证明。
四、教学过程
(一)提出问题
问题1（a+b）2与a2+b2是否相等?
分析：学生受2（a+b）=2a+2b,(ab)2=a2b2的影响，很容易产生（a+b）2=a2+b2的错误结论，心理学上称“负迁移”。问题情境的创设，使学生认知产生冲突，激发求知欲。
问题2 要使等式(a+b)2=a2+( )+b2成立，括号内应加上什么样的代数式?你是如何得到的？
分析：把思维的空间留给学生，让学生通过自主探究，合作交流，找到解决问题的途径。教学中发现学生在解决这个问题时，有的用具体数代入进行试验；有的从形的方面进行说明等等。这样做的目的一方面培养了学生分析问题、解决问题的能力；另一方面暴露了学生的思维过程，为后面教学的展开创造了条件。
(二)探索方法
(充分让学生发表自己的见解，教师归纳总结)
(三)解决问题
证法一：由乘法法则证明
（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2。
(由学生自己完成)
证法二：拼图法证明
（导入：我们知道，边长为a的正方形的面积为a2,那么(a+b)2表示什么呢？画图、分割，引出拼图法）
边长为a+b的正方形的面积等于两个正方形与两个矩形面积的和。
即（a+b）2=a2+2ab+b2
分析：在解决问题1、2的基础上，解决上列问题已是水到渠成，
多数学生对解决上述问题积极性很高，初步体验到解决数学问
题的乐趣，三维目标初显端倪。
(四)公式推广
（启发学生能否变换问题形式，猜想、探索新的结论，培养推广意识）
推广一：（符号推广）
1、(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2+2ab+b2。
（化未知为已知，渗透转化思想；亦可请学生说出它的几何意义，渗透数形结合思想）
推广二：（项数推广）
2、探索(a+b+c)2=?。
(结论由学生探索、讨论、交流得出)
探索一：从乘法法则出发探索
(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=
a2
ab
ac
ab
b2
bc
ac
bc
c2
探索二：从已证公式出发探索
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=
探索三：利用拼图法探索
(以上三法由教师引导，学生探索、讨论、交流完成)
3、猜想：(a1+a2+a3+﹍an)2=?
(n为正整数)
(结论由学生观察、猜想得出)
证法一：可由乘法法则出发证明
证法二：可由拼图法证明。
学生讨论得出表述：多项式的平方，等于它各项的平方和加上每两项乘积的2倍。
(向学生说明a1、a2、﹍an、可为正也可为负)
分析：项数从两项到三项再到N项，问题从特殊到一般，层层推进，但结论的形式是统一的，解决问题的方法是一致的，体现了整体的数学思想链条。
推广三：（次数推广）
在以上基础上研究(a+b)3、(a+b)4、(a+b)5…的展开式。
首先研究(a+b)3的展开式从中探索规律。
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3。
(学生探索，教师补充：展开式中的指数由3降到0，的指数由0升到3，展开式的项数是3+1=4项，各项系数是1，3，3，1且每一项次数都是3。)
在以上基础上学生探索、讨论、交流(a+b)4、(a+b)5…的展开式有什么规律？
如将展开式系数列成如下一个表，又能发现哪些规律?
1 (a+b)0
1 1 (a+b)1
l 2 l (a+b)2
1 3 3 1 (a+b)3
1 4 6 4 l (a+b)4
1 5 10 10 5 1 (a+b)5
…………
（引导学生深入思考产生悬念，唤起学习数学的好奇心和兴趣，继续探索数学的奥秘，同时也使学生感受到数学美。通过杨辉三角的介绍，对学生进行爱国主义教育。）
分析：1、数学知识形成教学，是探究数学知识发生、发展、形成过程的教学，目的是提供学生感受、体验数学发展的机会，让学生学会自行获取数学知识的能力，生成较为完整的知识链，并由此帮助学生逐步生成知识发展的一般模块。本节教学引导学生从三个方向进行推广，由特殊到一般形成知识链。数学思想的渗透，让学生感受到形式变了，问题复杂了，但基本方法不变，模块思想在学生脑海中逐步形成。
2、推广意识是科学发现的重要源泉，让学生自己提出问题，进行推广是培养学生创新精神和创造能力的具体体现，对学生今后的成长将有无可估量的作用。
3、数学美的渗透，杨辉三角的介绍，使“情感态度和价值观”的目标得以落实，实现了学科文化的育人功能。
(五)课堂练习
1、请写出(a+b)6的展开式；
2、请写出(a-b)6展开式中a3b3的系数。
(六)课堂小结
本节课通过经历提出问题、探索方法、解决问题等数学活动的过程，学习了完全平方公式及其它的推广，同学们获得了一些研究数学问题的方法，体会到了数形结合的思想在解决问题中的作用，感受到了数学的和谐美、对称美。
设计说明：
新课程理念要求课堂教学要体现“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度和价值观”三维目标，本节课的设计试图围绕这三个目标展开。
首先提出问题，创设情境，给学生留下思考问题的空间，让学生在相互交流，互相倾听中学习知识，掌握技能。
突出“过程与方法”是本节课的一个重心。数学教学是数学活动的教学，围绕“提出问题—探索方法—解决问题—推广问题”几个版块，引导学生通过观察、讨论、猜想、验证等思维活动，主动获取知识，理解知识间的联系，获得一些研究数学问题的方法。
通过启发学生把问题层层推广，目的是体现课堂教学的实践性、探索性，实现通过再创造培养学生的创新精神和创造能力。在整个教学过程中，学生体验到了发现规律的快乐，体会到了数学思想在解决问题中的作用。问题的不断变式，使得模块思想逐步凸现，数学美的呈现和爱国主义素材的引入，让学生的情感态度和价值观得以升华。