2023年中考数学一轮复习--特殊的平行四边形2（菱形）（知识点梳理+配套精练）（含解析）

2023年数学中考一轮复习--特殊的平行四边形2（菱形）
知识点梳理：
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例
1.性质 （具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等） 矩 形 菱 形 正方形 (1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题. （2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角. （3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边.
（1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互相平分.即 AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽 =2S△ABD=4S△AOB. （1）四边相等 （2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高 =对角线_乘积的一半 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长 =2S△ABD =4S△AOB
2.判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、平分 例：判断正误. 邻边相等的四边形为菱形.（ ） 有三个角是直角的四边形式矩形. （ ） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. （ ） 对边相等的矩形是正方形.（ ）
3.联系 包含关系：
知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳
4.中点四边形 （1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.
5.特殊四边形中的解题模型 （1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2. （2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.） 图① 图② 图③ 图④
配套精练：
一、单选题
1．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，AD的中点，下列说法正确的是（　　）
A．当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形
B．当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形
C．当四边形ABCD是平行四边形时，则四边形EFGH是矩形
D．当四边形ABCD是矩形时，则四边形EFGH是菱形
2．若菱形的周长为8，高为1，则该菱形较大内角的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点 从菱形 的顶点 出发，沿 以 的速度匀速运动到点 .右图是点 运动时， 的面积 （ ）随时间 （ ）变化的关系图象，则 的值为（　　）
A． B．3 C． D．5
4．如图，在菱形ABCD中， ，AD=5，BD=4，则DE的值是（　　）
A．3 B． C．4 D．
5．下列命题：①若一个三角形三边的比为，则这是一个等腰直角三角形；②两条对角线相等的平行四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④两个邻角相等的平行四边形是矩形．其中正确命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在菱形 中，点 是 的中点，以 为圆心、 为半径作弧，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
8．如图，菱形OABC，A点的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝ （x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，交AB于F点，连接OF交AC于M，且OB AC＝40．有下列四个结论：①k＝8；②CE＝1；③AC+OB＝6 ；④S△AFM：S△AOM＝1：3．其中正确结论是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
9．要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（　　）
A．度量四个内角是否相等
B．测量两条对角线是否相等
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合
10．已知：如图，在菱形OABC中，OC＝8，∠AOC＝60°，OA落在x轴正半轴上，点D是OC边上的一点（不与端点O，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，若点D，E都在反比例函数y＝ （x＞0）图象上，则k的值为（　　）
A．8 B．9 C．9 D．16
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝　 　．
12．已知一个菱形的两条对角线的长分别为5cm和8cm，该菱形的面积为　 　cm2．
13．如果菱形的一条对角线长是另一条长的 倍，这个菱形的面积等6 ，那么这个菱形的周长等于　 　．
14．四边形ABCD为菱形，该菱形的周长为16，面积为8，则∠ABC为　 　度.
15．如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=　 　°．
16．已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是　 　.
17．如图，在菱形 中， 的中垂线交 于点 ，交 于点 ， ，则 的度数为　 　.
18．小明利用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得 ，接着活动学具成为图2所示的正方形，并测得 ，则图1中对角线 长为　 　 ．
三、解答题
19．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，且 .求证：四边形 是菱形.
20．菱形ABCD中对角线AC和BD相交于O，已知AC=6，BD=8，求菱形ABCD的面积．
21．如图，已知四边形BDFE是菱形， ，且 ，求 的长度。
22．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，求 的值．
23．如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E，判断四边形OCED的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，
当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，
当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故D选项正确，
故答案为：D.
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
2．【答案】D
【解析】【解答】∵菱形的周长为8cm，高为1cm，菱形的边长为2cm，
过点D作BC边上的高，与BC的延长线交于点E，
∵DC=2DE，
∴∠DCE=30°，
∴菱形的较大内角的外角为30°，
∴菱形的较大内角是150°．
故答案为：D．
【分析】根据菱形四条边相等的性质，构造直角三角形DEC，从而利用30°角所对直角边等于斜边一半可求出∠DCE，进而可得出答案．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
由图象可知，点F从点A到B用as，△FDC的面积为2acm2.
∴AB＝a，
∴ AB DE DE＝2a，
∴DE＝4，
当F从B到D时，用 s，
∴BD ，
Rt△DBE中，BE 2，
∵ABCD是菱形，
∴AE＝a﹣2，DC＝a，
Rt△ADE中，
a2＝42+（a﹣2）2，
解得a＝5.
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，由图象可知，点F从点A到B用as，△FDC的面积为2acm2，由三角形的面积公式可得DE=4，当F从B到D时，用s，即BD，利用勾股定理求出BE的值，由菱形的性质可得AE＝a-2，DC＝a，然后在Rt△ADE中，应用勾股定理求解即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：设AE＝x，则BE＝AB﹣BE＝5﹣x，
∵DE⊥AB，
∴AD2﹣AE2＝DB2﹣BE2，
即：52﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，
解得： ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】设AE＝x，则BE＝AB﹣BE＝5﹣x，根据DE⊥AB利用勾股定理得到AD2﹣AE2＝DB2﹣BE2，从而求得x，再利用勾股定理求得BD的长即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】①若一个三角形三边的比为，则这是一个等腰直角三角形；符合题意
∵∴三边的比为的三角形是等腰直角三角形
②两条对角线相等的平行四边形是矩形；符合题意
③对角线互相垂直的四边形是菱形；不符合题意
如图，AC⊥BD，但不是菱形，
④两个邻角相等的平行四边形是矩形；符合题意
∵平行四边形邻角互补，∴两个邻角都为90°，有一个角为90°的平行四边形是矩形．
故答案为：C
【分析】根据等腰直角三角形的性质、矩形的判定、菱形的判定分别判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：连接AC.
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=6,
∴BC=6.
∵ ∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD=120°.
∵ E是BC的中点，
∴CE=BE=3，AE⊥BC.
同理可得CF=3，AF⊥CD.
由勾股定理得AE=AF==3.
∴S阴影=S△AEC+S△AFC-S扇形CEF=×6×3+×6×3-=9-3π.
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的判定可求得CE、CF的长，再利用勾股定理求出AE、AF的长，易得△AEC和△AFC是直角三角形，根据S阴影=S△AEC+S△AFC-S扇形CEF结合三角形和扇形面积公式计算.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥x轴于点H，
∵菱形OABC中，AC OB＝40，
∴S菱形OABC＝ AC OB＝20，
∴S△OAD＝ S菱形OABC＝5，
∵S△OAD＝ OA DH，且OA＝5，
∴DH＝2，
∵DH2＝OH AH＝4，OH+AH＝5，
∴OH＝4，AH＝1，
∴点D（4，2），
∴k＝4×2＝8．故①符合题意；
过C作CG⊥x轴于点G，
∴DH∥CG，
∵AD＝CD，
∴CG＝2DH＝4，AG＝2AH＝2，
∴OG＝3，
∴C（3，4），
∴E（2，4），
∴CE＝1，故②符合题意；
∵CG＝4，AG＝2，
∴AC＝ ＝2 ，
∵DH＝2，OH＝4，
∴OD＝2 ，
∴OB＝4 ，
∴AC+OB＝6 ；故③符合题意；
过F作FN⊥x轴于点N，
∵OC∥AB，
∴∠COG＝∠FAN，
∴tan∠COG＝tan∠FAN＝ ＝ ＝ ，
设FN＝4x，AN＝3x，
∴S△OFN＝ （5+3x）×4x＝4，
∴x＝ ，
∴FN＝ ，AN＝1，
∵△OCG∽△AFN，
∴ ＝3，
∵OC∥AF，
∴△AMF∽△CMO，
∴ ＝3，
∴S△AFM：S△AOM＝1：3，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】首先过点D作DH⊥x轴于点H，由菱形OABC中，AC OB=40，可求得菱形OABC的面积，继而求得△AOD的面积，则可求得高DH，然后由射影定理，可得DH2=OH AH，继而求得①符合题意；过C作CG⊥x轴于点G，根据平行线等分线段定理和三角形的中位线的性质得到CG=2DH=4，AG=2AH=2，求得C（3，4），E（2，4），于是得到CE=1，故②符合题意；根据勾股定理得到AC+OB=6 ；故③符合题意；过F作FN⊥x轴于点N，设FN=4x，AN=3x，根据三角形的面积公式得到x= ，根据相似三角形的性质得到 ，于是得到S△AFM：S△AOM=1：3，故④符合题意．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：A、四个内角相等的四边形是矩形或正方形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
B、对角线相等的四边形可能是矩形、正方形，也可能是等腰梯形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
C、两条对角线的交点到四个顶点的距离相等，即对角线互相平分且相等，可以判定四边形是矩形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
D、分别沿两条对角线对折，如果对角线两侧的部分每次都完全重合，说明对角形互相垂直且平分，可以证明四边形是菱形，故此方案可行；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥x轴，EN⊥DM于点N，过点D作DF∥x轴，
∵菱形ABCO，∠AOC=60°，
∴OA∥BC∥DF∥NE，∠B=60°，OC∥AB，OC=BC=8，
∴四边形CBFD是平行四边形，
∴DF=BC=8；
∵DE⊥AB，
∴∠DEF=90°，∠DFE=∠B=60°
∴DE=DFsin60°=；
∵DF∥NE，
∴∠NEF=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠DAN=∠NEF-∠DEF=120°-90°=30°，
在Rt△DEN中，
NE=DEcos30°==6，
DN=
∵ 点D，E都在反比例函数y＝ （x＞0）图象上，
∵在Rt△DOM中，设OM=x，则DM=，
∴点D（），点E
∴k=
解之：x=3
∴DM=
∴点D（3，）
∴k=3×=.
故答案为：C
【分析】过点D作DM⊥x轴，EN⊥DM于点N，过点D作DF∥x轴，利用菱形的性质，可知OA∥BC∥DF∥NE，∠B=60°，OC∥AB，OC=BC=8，同时可证得四边形CBFD是平行四边形，利用平行四边形的性质，可求出DF的长，再利用解直角三角形求出DE，DN的长，在Rt△DEN中，设OM=x，可表示出DM的长，即可得到点D，M的坐标，再根据点D，E都在反比例函数图象上，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到点D的坐标；然后利用待定系数法求出k的值。
11．【答案】20°
【解析】【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，
∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BCA＝35°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，
∴∠FAB＝55°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20°．
【分析】根据菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题。
12．【答案】20
【解析】【解答】由已知得,菱形面积= ×5×8=20cm2.
故答案为20.
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．
13．【答案】
【解析】【解答】解：设较短对角线长 ，则较长的对角线为 ，根据题意可得：
，
解得： ，
故较长的对角线为： ，
则菱形的边长为： ，
故这个菱形的周长等于： ．
故答案为： ．
【分析】设较短对角线长 ，则较长的对角线为 ，根据题意列出式子，解得x的值，即可得出较长的对角线的长度，由菱形的边长即可得到菱形的周长。
14．【答案】30或150
【解析】【解答】解：如图1所示：当∠A为钝角,过A作AE⊥BC,
∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=4，∵面积为8，∴AE=2，∴∠ABE=30°，
∴∠ABC=30°，
当∠A为锐角时，如图2，过D作DE⊥AB，
∵菱形ABCD的周长为16，∴AD=4，
∵面积为8，
∴DE=2，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=150°，
故答案为：30或150.
【分析】分情况讨论：当∠A为钝角,过A作AE⊥BC，过A作AE⊥BC，由菱形的四边相等，可求出菱形的边长，再利用三角形的面积公式求出AE的长，然后可求出∠ABC的度数；当∠A为锐角时，过D作DE⊥AB，同理可求出DE的长，利用直角三角形的性质求出∠A的度数，然后求出∠ABC的度数。
15．【答案】70．
【解析】【解答】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD= =55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
【分析】先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．
16．【答案】AB＝BC（答案不唯一）
【解析】【解答】∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AB＝BC；
故答案为：AB＝BC.（答案不唯一）
【分析】利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以添加符合题意的条件。
17．【答案】36°
【解析】【解答】解：如图所示，
垂直平分 .
.
.
.
.
在菱形 中， 是对角线，
.
.
.
.
.
.
故答案为：36°.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AF=DF，由等腰三角形的性质可得∠FAD=∠FDA，结合外角的性质可得∠FDC=2∠FAD，根据菱形的性质可得∠BAD=2∠FAD，则∠BAD=∠DFC，结合已知条件可得∠ABC=4∠BAD，由菱形的性质可得∠BAD+∠ABC=180°，据此求解.
18．【答案】
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中AB=BC，AC=40，
∴2AB2=402，
∴AB=，
在菱形ABCD中AB=BC，∠B=60°，
∴ ABC是等边三角形，
∴AC=AB=.
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质及勾股定理求出AB的长，再根据菱形的性质及等边三角形的判定得出 ABC是等边三角形，即可求出AC的长.
19．【答案】解：∵ ，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形.
【解析】【分析】由题意根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形，由矩形的对角线相等且平分可得OC=OD，然后根据有一组对边相等的平行四边形是菱形可求解.
20．【答案】解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD= = ×6×8=24.
【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半进行计算即可.
21．【答案】如图，∵DC BD，且DC=4，∴BD=8，BC=12．
∵四边形BDEF是菱形，∴BE=EF=BD=FD=8，EF∥BD，∴△AEF∽△ABC，∴ ，即 ，∴AE=16，即AE的长度是16．
【解析】【分析】由菱形的性质可以推知EF=BD，且EF∥BD，则易证△AEF∽△ABC，所以根据相似三角形的对应边成比例来求AE的长度．
22．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD
∴ ＝
∵CD∥AB
∴ ＝
∴ ＝ ＝1
又∵AB＝AD＝1，
∴
＝1．
答： 的值为1．
【解析】【分析】根据四边形ABCD是菱形得到BC∥AD，从而得到 ， ， ，代入菱形的边长为1即可求得结论.
23．【答案】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝8．
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32，
∵BO＝ ＝4 ，
∴BD＝2BO＝8 ，
∴菱形ABCD的面积＝ ×8× ＝32 ．
【解析】【分析】由在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，又由对角线AC＝8，即可求得此菱形的边长，进而可求出菱形的周长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的的一半即可求出其面积．
24．【答案】解：平行四边形OCED是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【解析】【分析】证明四边形OCED是矩形，首先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明有一内角为90度即可．