5.2.3简单复合函数的导数 课件（共26张PPT）

5.2.3 简单复合函数的导数
问题探究
探究1. 如何求????=(1+????)3导数呢？
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解析：方法一：????=(1+????)3=????3+3????2+3????+1
????′=(????3)′+(3????2)′+(3????)′+(1?)′=3????2+6????+3
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若求????=(1+????)6的导数呢？还有其它求导方法吗？
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新知探究
探究2. 如何求????=ln?(2?????1)?导数呢？
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分析：函数????=ln?(2?????1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，
所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点
若设????=2?????1????>12,则????=????????????，
从而????=ln2?????1可以看成是由????=????????????和????=2?????1????>12,
经过“复合”得到的，即????可以通过中间变量????表示为自变量????的函数。
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新知探究
如果把????与????的关系记作????=????????，????和????的关系记作????=????????，
那么这个“复合”过程可表示为
若设????=????????=????????????=ln2?????1
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新知探究
y＝f (g(x))
概念解析
新知探究
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新知探究
探究3： 求函数????=????????????2????的导数
分析：令????=2????,得????=????????????????
以????????′表示????对????的导数，????????′表示????对????的导数，一方面，
????????′ =(????????????2?????)’=(2????????????????cosx?)’=2(?????????????????)’?????????????????+?????????????????(?????????????????)’
=?2?????????????????????????????????+?????????????????(?????????????????) =2(????????????2?????????????????2????) = 2????????????2????
另一方面????????′ =(????????????u?)’= ?????????????????，????????′ =(2x?)’=2
可以发现????????′= 2????????????2????
=?????????????????2=?????????′ ?????????′
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问题探究
新知探究
y对u的导数与u对x的导数的
乘积
求导法则
新知探究
小试牛刀
辨析
新知探究
例6.求下列函数的导数
（1）????=（3????+5）3;? （2）????=?????0.05????+1;???????(3) ????=ln?(2?????1)?
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解：（1）函数????=（3????+5）3可以看作函数????=????3和????=3????+5?的复合函数，根据复合函数求导法则，有
????????′=????????′ ?????????′=(????3)’ ?(3????+5)’=3????3 ×3=9（3????+5）3
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典例解析
例析
（2）函数????=?????0.05????+1可以看作函数????=????????和????=?0.05????+1?的复合函数，根据复合函数求导法则，有
????????′=????????′ ?????????′=(????????)’ ?(?0.05????+1)’=?0.05????????=?0.05?????0.05????+1
（3）函数????=ln2?????1可以看成是由????=????????????和????=2?????1的复合函数，根据复合函数求导法则，有
????????′=????????′ ?????????′=(????????????)’ ?(2?????1)’=2×1????=22?????1
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12
新知探究
跟踪训练
新知探究
例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移????(单位:mm),关于时间????(单位:s)的函数满足关系式????=18sin?(2????3?????????2) .
求函数在时的导数，并解释它的实际意义。
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典例解析
新知探究
解：函数????=18sin?(2????3?????????2) 可以看作函数????=18????????????????和????=2????3?????????2的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
????????′=????????′ ?????????′=(18????????????????)’ ?(2????3?????????2)’
=18????????????????×2????3= 12????cos?(2????3?????????2)
当????=3时，????????′=12????cos?(3????2)=0?
它表示当????=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s
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新知探究
题型一 求复合函数的导数
例1求下列函数的导数:
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x- );
(3)y=ln(4x-1);(4)y=e????2.

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练习巩固
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反思感悟 复合函数求导的步骤
练习巩固
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解 (1)令u=3x-2,则y=10u,
所以yx'=yu'·ux'=10uln 10·(3x-2)'
=3×103x-2ln 10.
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题型二 复合函数求导与导数的运算法则的综合应用
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易错警示 此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.
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变 2求下列函数的导数:
(1)y=sin 2x+cos 2x;
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