5.3.1函数的单调性(2) 课件（共29张PPT）

5.3.1 函数的单调性（2）
增
减
温故知新
新知探究
定义域
零点
零点
正负
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例3. 求函数????????=13????3?12????2?2x+1的单调区间.
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解：函数 ????????=13????3?12????2?2x+1 的定义域为R，对f(x)求导，得
????′????=????2??????2 =(????+1)(?????2)
令????′????=0,解得：????1=?1,????2=2
????1=?1和????2=2把函数定义域划分成三个区间，
????′????在各区间上的正负，以及????????的单调性如表所示。
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探究1. 形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。
典例解析
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所以，f(x)在在 ?∞,?1和(2,+∞)上单调递增，
在 ?1,2上单调递减。如图所示
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如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？
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6
归纳总结
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跟踪训练
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探究2：研究对数函数y=????????????与幂函数????=????3在区间0,+∞上增长快慢的情况.
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典例解析
。
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分析：研究对数函数y=????????????的导数为????′=1????????∈0,+∞，所以y=????????????在区间0,+∞上单调递增。当????越来越大时，????′=1????越来越小，所以函数y=????????????递增得越来越慢，图像上升得越来越“平缓”.
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分析：幂函数????=????3的导数为????′=3????2>0????∈0,+∞，所以????=????3在区间0,+∞上单调递增。当????越来越大时，????′=3????2越来越大，所以函数????=????3递增得越来越快，图像上升得越来越“陡峭”.
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快
陡峭
慢
平缓
归纳总结
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例4.设????>0,????????=????????????,????????=1?1????,两个函数的图像如图所示。
判断????????,????????的图像与????1,????2之间的对应关系。
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解：因为????????=????????????,????????=1?1????,
所以????′????=1????, ????′????=1????2,
当x=1时，????′????=????′????=1;
当0????′????>1
当x>1时，0所以，f(x),g(x)在0,+∞ 上都是增函数。在区间（0,1）上，
g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间1,+∞上 ，
g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。
?
典例解析
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所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。
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典例解析
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跟踪训练
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题型一 利用导数求不含参数的函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)=cos x+ x,x∈(0,π).

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反思感悟 导数法求单调区间及注意事项
(1)利用导数求函数单调区间的步骤
①确定函数的定义域.
②求导数f'(x).
③在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的单调递增区间,解不等式f'(x)<0得到函数的单调递减区间.
(2)在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,单调区间是定义域的非空子集.
(3)当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,而只能用“,”或“和”连接.
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变3求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=4x- x3; (2)f(x)=ex-x.
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解 (1)函数定义域为R,f'(x)=4-x2.
令f'(x)>0,即4-x2>0,解得-2 令f'(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2.
故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞).
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0;
令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0.故函数的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
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例4讨论函数f(x)= ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性.

题型二 利用导数求含参数的函数的单调区间
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由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0 ∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
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方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法
(1)求解析式中含参数的函数的单调区间一般需要分类讨论:若函数的导函数的零点能够直接求出,则主要是根据导函数零点的大小分类讨论;若导函数的零点不能直接求出,则需要结合导函数是否存在零点分类讨论.
(2)若导数的解析式是一个含参的二次三项式(或可化为二次三项式),如果二次项系数含参数,那么首先按照二次项系数为零、为正、为负分类讨论;如果二次项系数无参数,那么只需讨论导数对应方程的两个根x1,x2的大小.但是求解时要注意函数的定义域对函数的单调区间的限制.
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