5.3.1函数的单调性 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
5．3．1 函数的单调性
第五章
◆ 教学目标
1．通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养．
2．能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养．
◆ 教学重难点
教学重点：理解函数的单调性与导数的正负之间的关系．
教学难点：运用导数判断函数的单调性
新课导入
问题1：阅读课本第84~87页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质．
在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．
问题2：能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？
图1是跳水运动员相对于水面的高度h(米)与起跳后的时间t(秒)存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10
图2是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数
的图象
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
探究新知
知识点1：函数的单调性与导数的符号之间的关系
观察图象可以发现：
1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增．相应地．
2）从最高点到入水，运功员的重心处于下降状态，画水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减．相应地 ．
问题4：从以上观察中发现，函数h(t)的单调性与 的正负有内在联系．那么，我们能否由 的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
问题探究
问题5：观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．
从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系：
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率．
在x=x0, f′(x0)<0
函数的图象是下降的，
函数f(x)在x=x1附近单调递减；
在x=x0, f′(x0)>0
函数的图象是上升的，
函数f(x)在x=x0附近单调递增；
【想一想】
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)
(2) 判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　)
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1）f(x)=x3+3x；
（2）f(x)=sinx-x；
（3）f(x)=
方法总结：
用解不等式法求单调区间的步骤:
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导函数f （x）；
（3）解不等式f （x）＞0或f ′（x）＜0，并写出解集；
（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间．
例2． 已知导函数 f（x） 的下列信息，试画出函数 f（x） 的图象的大致形状．
当1 < x < 4 时, f （x）>0;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f （x）<0;
当 x = 4 , 或 x = 1时,f （x）= 0．
方法总结：研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点：
研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
练习：
教科书P87 练习1、2
课堂总结
总结概括
函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递增
f ′(x)＜0 单调递减
目标检测设计
1．导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)
2．下列函数中，在 上为增函数的是( )
A．y=sinx
B．y=xex
C．y=x3+3x
D．y=lnx-x
3．函数y=lnx-x的单调递减区间为( )
4．已知函数y=x2-5x+2ln(2x)，则的单调递增区间为_____________．