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6.1.1 算术平方根
夯基训练
知识点1 算术平方根的定义
算术平方根等于它本身的数是_________;_________的算术平方根等于它的相反数.
2.(2016·黄冈)的算术平方根是_________.
3.下列说法正确的是( )
A.因为62=36,所以6是36的算术平方根
B.因为(-6)2=36,所以-6是36的算术平方根
C.因为(±6)2=36,所以6和-6都是36的算术平方根
D.以上说法都不对
知识点2 求算术平方根
4.求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)2；(3)0.36；(4).
5.已知一个表面积为12 dm2的正方体,则这个正方体的棱长为( )
A.1dm B.dm C. dm D.3 dm
知识点3算术平方根的非负性(≥0,a≥0)
6.已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．
解析：算术平方根和完全平方都具有非负性，即≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．
题型总结
题型1 利用平方法求算术平方根
7.求下列各数的算术平方根:
(1)0.04;(2)0.64;(3)(-3)2;(4)|-2.
题型2 利用算术平方根的定义求字母式子的值
8.3＋a的算术平方根是5，求a的值．
9.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.
题型3 利用算术平方根的双重非负性求字母式子的值
10.计算：＋－.
11.(1)已知(a+6)2+=0,则2b2-4b-a的值为________;
(2)若|x-1|+(y+3)2+=0,求x+y+z的算术平方根.
12.已知x,y都是有理数,且y=++3,求2x-y的值.
拓展培优
拓展角度1利用数轴求算术平方根(数形结合思想)
13.(1)通过计算下列各式的值探究问题.
①=_________;=_________;
=_________;=_________.
探究:对于任意非负有理数a,=_________.
②=_________;=_________;
=_________;=_________.
探究:对于任意负有理数a,=_________.
综上,对于任意有理数a,=_________.
(2)应用(1)所得结论解决问题:有理数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,化简--+|a+b|.版权所有
拓展角度2利用已知算术平方根等式探究规律
14.观察下列各式:
①=2;②=3;
③=4;④=5;
(1)写出分数中分母与式子序号n之间的关系;
(2)猜想写出第⑥个等式;
(3)用字母n(n为正整数)表示上述规律.
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6.1.1 算术平方根
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 算术平方根的定义
算术平方根等于它本身的数是_________;_________的算术平方根等于它的相反数.
1.【答案】0和1;0
2.(2016·黄冈)的算术平方根是_________.
2.
3.下列说法正确的是( )
A.因为62=36,所以6是36的算术平方根
B.因为(-6)2=36,所以-6是36的算术平方根
C.因为(±6)2=36,所以6和-6都是36的算术平方根
D.以上说法都不对
3.【答案】A
知识点2 求算术平方根
4.求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)2；(3)0.36；(4).
4.解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．
解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；
(2)∵()2＝＝2，∴2的算术平方根是；
(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；
(4)∵＝，又∵92＝81，∴＝9.而32＝9，∴的算术平方根是3.
方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑；(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
5.已知一个表面积为12 dm2的正方体,则这个正方体的棱长为( )
A.1dm B.dm C. dm D.3 dm
5.【答案】B
解：设正方体的棱长为x dm,由题意得6x2=12,解得x=±.∵x>0,∴x=.
知识点3算术平方根的非负性(≥0,a≥0)
6.已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．
解析：算术平方根和完全平方都具有非负性，即≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．
6.解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.
方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
题型总结
题型1 利用平方法求算术平方根
7.求下列各数的算术平方根:
(1)0.04;(2)0.64;(3)(-3)2;(4)|-2.
7.解:(1)因为0.22=0.04,所以0.04的算术平方根是0.2,即=0.2.
(2)因为0.82=0.64,所以0.64的算术平方根是0.8,即=0.8.
(3)因为32=(-3)2,所以(-3)2的算术平方根是3,即=3.
(4)|-2=.因为()2=,所以|-2的算术平方根是,即=.
题型2 利用算术平方根的定义求字母式子的值
8.3＋a的算术平方根是5，求a的值．
8.解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.
解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.
方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．
9.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.
9.解: 由题意知a==3, b=±4.当b=4时,a-b=3-4=-1;当b=-4时,a-b=3-(-4)=7.
题型3 利用算术平方根的双重非负性求字母式子的值
10.计算：＋－.
10.解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．
解：＋－＝7＋5－15＝－3.
方法总结：解题时容易出现如＝＋的错误．
11.(1)已知(a+6)2+=0,则2b2-4b-a的值为________;
(2)若|x-1|+(y+3)2+=0,求x+y+z的算术平方根.
11.解:(1)12
(2)由题意知x-1=0,y+3=0,x-y-2z=0,解得x=1,y=-3,z=2,∴==0.
12.已知x,y都是有理数,且y=++3,求2x-y的值.
12.解: 由题意得2-x=0,解得x=2,所以y=3.因此2x-y=2×2-3=1.
拓展培优
拓展角度1利用数轴求算术平方根(数形结合思想)
13.(1)通过计算下列各式的值探究问题.
①=_________;=_________;
=_________;=_________.
探究:对于任意非负有理数a,=_________.
②=_________;=_________;
=_________;=_________.
探究:对于任意负有理数a,=_________.
综上,对于任意有理数a,=_________.
(2)应用(1)所得结论解决问题:有理数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,化简--+|a+b|.版权所有
13.解:(1)①4;16;0;;a ②3;5;1;2;-a;|a|
(2)由数轴可知a<0,b>0,a-b<0,a+b<0,
所以|a|=-a,|b|=b,|a-b|=-(a-b),|a+b|=-(a+b).所以原式=|a|-|b|-|a-b|+|a+b|=-a-b+(a-b)-(a+b)=-a-b+a-b-a-b=-a-3b.
解：第(2)问在解题过程中需根据数轴先确定a,b的正负,进而化简式子,此题运用了数形结合思想.
拓展角度2利用已知算术平方根等式探究规律
14.观察下列各式:
①=2;②=3;
③=4;④=5;
(1)写出分数中分母与式子序号n之间的关系;
(2)猜想写出第⑥个等式;
(3)用字母n(n为正整数)表示上述规律.
14.解:(1)(n+1)2-1(或n2+2n).
(2)=7
(3)=(n+1).
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