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第一章 三角形的证明
1.4角 平 分 线（二）
1. （2022春·六盘水期末）如图1－10－1，BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（ A ）
图1－10－1
A
A. 5
B. 7
C. 7.5
D. 10
2. （2022春·娄星区期末）如图1－10－2，BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，DE＝6，∠A＝30°，则AD的长为（ C ）
图1－10－2
C
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
A. 三角形的三条角平分线 相交于一点 ，并且这一点到三条边的距离 相等 .
相交于一点
相等
3. 有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ A ）
A. 三角形三条角平分线的交点
B. 三角形三边的垂直平分线的交点
C. 三角形三条中线的交点
D. 三角形三条高线的交点
A
B. 角平分线的应用.
4. △ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6 cm，4 cm，4 cm，P为三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（ D ）
A. 1 ∶1 ∶1 B. 2 ∶2 ∶3
C. 2 ∶3 ∶2 D. 3 ∶2 ∶2
D
知识点1
：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等
【例1】（课本P32第2题）已知：如图1－10－3，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.
图1－10－3
思路点拨：作FM⊥AD，FN⊥BC，FG⊥AE，根据角平分线的性质定理得到FM＝FN，同理得到FG＝FN，再根据角平分线的判定定理证明即可.
证明：如答图1－10－1，分别作FM⊥AD于点M，FN⊥BC于点N，FG⊥AE于点G.
∵BF平分∠CBD，FM⊥AD，FN⊥BC，
∴FM＝FN.
同理，FG＝FN，∴FM＝FG.
又∵FM⊥AD，FG⊥AE，
∴点F在∠DAE的平分线上.
答图1－10－1
5. 如图1－10－4，△ABC中，∠ABC，∠ACB的外角平分线交于点P，PE⊥AB交AB的延长线于点E，PF⊥AC交AC的延长线于点F. 求证：BC＝BE＋CF.
图1－10－4 答图1－10－4
证明：如答图1－10－4，过点P作PH⊥BC于点H.
∵CP是∠FCB的平分线，PF⊥AC，
PH⊥BC，
∴PF＝PH.
又∵PC＝PC，
∴Rt△FPC≌Rt△HPC（HL）.
∴CF＝CH.同理，BH＝BE.
∴BC＝BH＋CH＝BE＋CF.
答图1－10－4
知识点2
：角平分线的应用
【例2】（课本P31随堂练习）已知：如图1－10－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N. 求证：FE＝FD.
思路点拨：根据角平分线的性质结合三角形全等来证明.
图1－10－5
证明：如答图1－10－2，连接BF.
∵点F是△ABC的角平分线的交点，
∴BF也是角平分线.
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴MF＝NF，∠DNF＝∠EMF＝90°.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°.
∴∠DAC＝∠BAC＝15°.∴∠CDA＝75°.
由题意知∠NFC＝45°，∠MFN＝120°，
∴∠MFE＝15°. ∴∠MEF＝75°＝∠NDF.
答图1－10－2
在△DNF和△EMF中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）. ∴FE＝FD.
6. 如图1－10－6，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D. 求证：PC＝PD.
图1－10－6
证明：如答图1－10－5，过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，
答图1－10－5
∴△PCE≌△PDF（AAS）. ∴PC＝PD.
知识点3
：创新题
【例3】如图1－10－7①，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线A－C－B向点B运动，设运动时间为t s.
（2）如图1－10－7②，若点P运动至BC边上恰好AP平分∠BAC，请求出此时t的值，说明理由.
图1－10－7
（1）点P在AC上运动时，使得PA＝PB，相应t的值为 _______；
思路点拨：（1）先根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列式计算即可求出t值；
（2）作PH⊥AB于点H，根据角平分线的性质得到PH＝PC，AH＝AC＝4，再求出BH，根据勾股定理列式计算即可求出t值.
解：（2）如答图1－10－3，作PH⊥AB于点H.
∵AP平分∠BAC，
∠ACB＝90°，PH⊥AB，
∴PH＝PC，AH＝AC＝＝4.
则BH＝AB－AH＝1.
由题意，得CP＝2t－4，则PB＝3－（2t－4）＝7－2t.
在Rt△BPH中，PH2＋HB2＝PB2，即（2t－4）2＋12＝（7－2t）2.
答图1－10－3
解得t＝.
∴当t＝时，点P运动至BC边上恰好AP平分∠BAC.
7. 如图1－10－8，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝4 cm，若点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线A－B－C－A运动，设运动时间为t（t＞0）s.
（1）AC＝ 3 cm；
3
（2）若点P恰好在∠ABC的平分线上，求此时t的值.
图1－10－8
解：（2）①当点P在AC上时，如答图1－10－6，过点P作PD⊥AB于点D.
答图1－10－6
∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，
∴PD＝PC，BC＝BD＝4.
∴AD＝5－4＝1.
设PD＝PC＝y，则AP＝3－y.
在Rt△ADP中，AD2＋PD2＝AP2，
∴12＋y2＝（3－y）2.
解得y＝.∴CP＝.
∴t＝＝＝.
②当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的平分线上.
此时，t＝＝.
综上所述，点P恰好在∠ABC的平分线上时，t的值为或.
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第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形（一）
1. 下列说法不正确的是（ C ）
A.三边相等的三角形是等边三角形
B.三个角相等的三角形是等边三角形
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
C
2. 如图1－5－1，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（ B ）
图1－5－1
B
A.1
B.2
C.3
D.4
A. 定理
（1）直角三角形的两个锐角 互余 ；
（2）有两个角 互余 的三角形是直角三角形.
互余
互余
3. 给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ C ）
A. ∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3
B. ∠A－∠C＝∠B
C. ∠A＝∠B＝2∠C
D. ∠A＝∠B＝∠C
C
B. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方 .
斜边的平方
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
4. 如图1－5－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝（ B ）
图1－5－2
B
C. 定理：如果三角形两边的 平方和等于第三边的平方 ，那么这个三角形是直角三角形.
平方和等于第三边的
平方
5. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是
（ B ）
A. 8，15，17 B. 7，12，15
C. 5，12，13 D. 7，24，25
B
D. （1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为 互逆命题 ；
（2）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为 互逆定理 .
互逆命题
互逆定理
6. （1）命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是 三边对应相等的三角形全等 ；
（2）“等腰三角形两底角相等”的逆定理为 有两个角相等的三角形是等腰三角形 .
三边对应相等的三角形全等
有两个
角相等的三角形是等腰三角形
知识点1
：直角三角形的性质与判定
【例1】（课本P17第1题改编）如图1－5－3，四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，且∠BAE＝25°，∠CDE＝65°. 求证：△ADE是直角三角形.
思路点拨：根据题意画出图形，作EF∥AB，由AB∥CD可知EF∥AB∥CD，进而可判断出△ADE是直角三角形.
图1－5－3
证明：如答图1－5－1，过点E作EF∥AB交AD于点F.
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.
∴∠BAE＝∠AEF＝25°，
∠DEF＝∠CDE＝65°.
∴∠AED＝∠AEF＋∠DEF
＝25°＋65°＝90°.
∴△ADE是直角三角形.
答图1－5－1
7. 如图1－5－4，AB，ED分别垂直于BD，点B，D是垂足，且∠ACB＝∠CED. 求证：△ACE是直角三角形.
图1－5－4
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°.
∴∠CED＋∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝∠CED，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°.
∴∠ACE＝180°－（∠ACB＋∠DCE）＝90°.
∴△ACE是直角三角形.
知识点2
：勾股定理
【例2】（课本P16随堂练习第1题改编）如图1－5－5，在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.
图1－5－5
思路点拨：先根据已知条件判定△ABC为直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB的长.
解：∵∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC＝3，∠C＝90°.
∴△ABC是直角三角形.
∴AB＝＝3.
8. 如图1－5－6，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9， 求AB与BC的长.
图1－5－6
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
在Rt△CDB中，由勾股定理，得
BC＝＝＝15.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
AD＝＝＝16.
∴AB＝AD＋DB＝16＋9＝25.
知识点3
：勾股定理的逆定理
【例3】（课本P16随堂练习第2题改编）已知：如图1－5－7，在△ABC中，AB＝13 cm，BC＝10 cm，BC边上的中线AD＝12 cm. 求证：AB＝AC.
图1－5－7
思路点拨：根据已知条件可求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理判定△ABD的形状，然后利用三角形全等判定AB＝AC.
证明：∵BC＝10 cm，点D为BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝5（cm）.
在△ABD中，AB＝13 cm，
AD＝12 cm，BD＝5 cm，
∵52＋122＝132，即BD2＋AD2＝AB2，
∴△ABD为直角三角形.
∴∠ADB＝90°.
∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
∴AB＝AC.
9. 如图1－5－8，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，垂足为B. 求证：AC⊥CD.
图1－5－8
证明：在△ABC中，AB⊥BC，
根据勾股定理，得
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
∵在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9，AD2＝9，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD为直角三角形.
∴AC⊥CD.
知识点4
：逆命题
【例4】（课本P16随堂练习第3题）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.
思路点拨：根据定义求出逆命题，再判断真假即可.
（2）两直线平行，同旁内角互补为真命题；其逆命题为同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题.
（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0为假命题；其逆命题为如果a＝0，b＝0，则ab＝0，此逆命题为真命题.
解：（1）四边形是多边形为真命题；其逆命题为多边形是四边形，此逆命题为假命题.
10. 写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假：
（1）不是对顶角的两个角不相等；
（2）内错角相等；
（3）互为相反数的两个数的和为零.
（2）内错角相等，此命题为假命题；它的逆命题为相等的角为内错角，此逆命题为假命题.
（3）互为相反数的两个数的和为零，此命题为真命题；它的逆命题为和为零的两个数互为相反数，此逆命题为真命题.
解：（1）不是对顶角的两个角不相等，此命题为假命题；它的逆命题为不相等的两个角不是对顶角，此逆命题为真命题.
知识点5
：创新题
【例5】（中考热点）已知：如图1－5－9①，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠C＝∠C'＝90°.
求证：Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等.
（1）请你用“如果……那么……”的形式叙述上述命题；
（2）如图1－5－9②，将△ABC和△A'B'C'拼在一起（即：点A与点B'重合，点B与点A'重合），BC和B'C'相交于点O，请用此图证明上述命题.
图1－5－9
思路点拨：（1）把已知的条件用语言叙述是一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，结论是两个三角形全等，据此即可写出；
（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.
（1）解：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等.
（2）证明：在△ACO和△A'C'O'中，
∴△ACO≌△A'C'O（AAS）.
∴OC＝OC'，AO＝A'O.∴BC＝B'C'.
在△ABC与△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
11. （中考热点）已知：如图1－5－10①，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠C＝∠C'＝90°.
求证：Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等.
（1）将△ABC和△A'B'C'拼在一起，请你画出两种拼接图形，例如图1－5－10②（即使点A与点A'重合，点C与点C'重合）；
（2）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题.
图1－5－10
解：（1）如答图1－5－2.
答图1－5－2
答图1－5－2①使点A与点A'重合，点B与点B'重合；
答图1－5－2②使点A与B'重合，点B与点A'重合.
（2）在答图1－5－2①中，点A和A'重合，点B和B'重合，连接CC'.
证明：∵AC＝A'C'，∴∠ACC'＝∠AC'C.
∵∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，
∴∠ACB－∠ACC'＝∠A'C'B'－∠AC'C，
即∠BCC'＝∠B'C'C.∴BC＝B'C'.
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
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北师大版八年级数学下册
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（二）
1. （2022春·威宁县期末）如图1－8－1，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD，则下列结论正确的是（ A ）
图1－8－1
A
A. AD＝CD
B. ∠A＝∠C
C. ∠B＝∠ADC
D. DE＝DF
2. （2022春·温江区校级期末）如图1－8－2，△ABC中，AB＋AC＝6 cm，直线MN为BC的中垂线，交AC于点D，连接BD，则△ABD的周长为（ C ）
图1－8－2
C
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 3 cm
三角形三条边的 垂直平分线 相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离 相等 .
垂直平分线
相等
3. 如图1－8－3所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ B ）
图1－8－3
B
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点
D. △ABC三条高所在直线的交点
知识点1
：三角形三条边的垂直平分线的应用
【例1】（课本P26随堂练习）如图1－8－4，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F. 请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.
思路点拨：根据线段的垂直平分线的性质，得到EA＝EB，FA＝FC，再根据三角形的周长公式计算即可.
图1－8－4
解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB.
∵AC的垂直平分线交BC于点F，
∴FA＝FC.
∴△AEF的周长为AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝2.
4. （2022春·洋县期末）如图1－8－5，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.若∠BAC＝50°，求∠BPC的度数.
图1－8－5
解：如答图1－8－2，延长BP交AC于点D.
∴∠BPC＝∠PDC＋∠ACP＝
∠BAC＋∠ABP＋∠ACP.
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
答图1－8－2
∴PA＝PB＝PC.
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP.
∴∠BPC＝∠BAC＋∠BAP＋∠CAP
＝∠BAC＋∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°.
知识点2
：垂直平分线的作图应用
【例2】（课本P26第1题改编）尺规作图：如图1－8－6，已知线段a，求作一个底边长度为a，底边上的高也为a的等腰三角形（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹）.
图1－8－6
思路点拨：首先要确定出三角形的底边（BC＝a），然后作底边的垂直平分线，再在底边的垂直平分线上，以底边中点为端点截取长为a的线段，即可确定等腰三角形的顶角顶点，由此可得求作的三角形.
答图1－8－1
解：已知线段a.
求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝a.
如答图1－8－1，△ABC即为所求.
5. 如图1－8－7，已知△ABC，求作：
（1）AC边上的高；
（2）BC边上的高.
图1－8－7 答图1－8－3
解：（1）如答图1－8－3，线段BH即为所求.
（2）如答图1－8－3，线段AD即为所求.
答图1－8－3
知识点3
：创新题
【例3】如图1－8－8，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AO，AE，BO，CO，△ADE的周长为6，△OBC的周长为16，求OA的长.
思路点拨：根据线段垂直平分线的性质证明DA＝DB，EA＝EC，OA＝OB，OA＝OC，再根据三角形的周长公式计算得到答案.
图1－8－8
解：∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，
∴DA＝DB，EA＝EC，OA＝OB，OA＝OC.
∵△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝DB＋DE＋EC＝6，∴BC＝6.
∵△OBC的周长为OB＋BC＋OC＝16，
∴OB＋OC＝10.∴OA＝OB＝OC＝5.
6. （2022春·吉州区期末）如图1－8－9，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.若∠NCM＝50°，求∠F的度数.
图1－8－9
解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA＝MC，BN＝CN.
∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠NCB＋∠NCM＋∠MCA＝180°，
∴2∠A＋2∠B＋∠NCM＝180°，
即2∠A＋2∠B＋50°＝180°.∴∠A＋∠B＝65°.
∵DM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠A＋∠AMD＝90°，∠B＋∠BNE＝90°.
∴∠AMD＋∠BNE＝90°＋90°－65°＝115°.
∵∠NMF＝∠AMD，∠MNF＝∠BNE，
∴∠NMF＋∠MNF＝115°.
∴∠F＝180°－（∠NMF＋∠MNF）＝180°－
115°＝65°.
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北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（一）
1. （2021秋·江陵县期末）如图1－7－1，已知点A，D，C，F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE.若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ D ）
图1－7－1
D
A. BC＝EF B. ∠BCA＝∠F
C. AB∥DE D. AD＝CF
A. 定理：线段 垂直平分线 上的点到这条线段两个端点的距离 相等 .
垂直平分线
相等
2. 如图1－7－2，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点. 已知△PAB的周长为14，PA＝4，则线段AB的长度为（ A ）
图1－7－2
A
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
B. 定理：到一条线段两个端点距离 相等 的点，在这条线段的 垂直平分线 上.
相等
垂直平分线
3. 如图1－7－3，AC＝AD，BC＝BD，则有（ B ）
图1－7－3
B
A. CD垂直平分AB
B. AB垂直平分CD
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ACB
知识点1
：线段垂直平分线的性质
【例1】（课本P23第1题）如图1－7－4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求∠AFC的度数.
图1－7－4
思路点拨：先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF＝∠B，然后由三角形内角与外角的关系即可解答.
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝（180°－120°）÷2＝30°.
∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF.
∴∠BAF＝∠B＝30°.
∴∠AFC＝∠BAF＋∠B＝60°.
4. 如图1－7－5，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长.
图1－7－5
解：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC.
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC.∴AB＝AC＝CE＝5 cm.
∵BD＝CD＝3 cm，
∴BE＝BD＋CD＋CE＝3＋3＋5＝11（cm）.
知识点2
：线段垂直平分线的判定
【例2】（课本P22例题改编）已知：如图1－7－6，P是∠AOB平分线上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 求证：OP是DE的垂直平分线.
图1－7－6
思路点拨：由“AAS”可证△ODP≌△OEP，可得OD＝OE，PD＝PE，即可证得OP是DE的垂直平分线.
证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠AOP＝∠BOP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△ODP和△OEP中，
∴△ODP≌△OEP（AAS）.∴OD＝OE，PD＝PE.
∴OP是DE的垂直平分线.
5. 如图1－7－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，连接CD，过点D作AB的垂线，交AC于点E，连接BE，交CD于点F. 求证：BE垂直平分CD.
图1－7－7
证明：∵BD＝BC，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，∠BCD＝∠BDC.
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠EDB＝90°.
∴∠ACB－∠BCD＝∠EDB－∠BDC，
即∠ECD＝∠EDC.∴EC＝ED.
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
∴BE垂直平分CD.
知识点3
：创新题
6. 如图1－7－8，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线EF交BC于点E，连接DE.
图1－7－8
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求线段DE的长.
解：（1）DE⊥DP.
理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA.
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED. ∴∠B＝∠EDB.
∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∴∠PDA＋∠EDB＝90°.
∴∠PDE＝180°－90°＝90°. ∴DE⊥DP.
（2）连接PE，如答图1－7－1.
答图1－7－1
设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝7－x.
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2＋CE2＝PE2＝PD2＋DE2.
∴32＋（7－x）2＝22＋x2.
解得x＝，则DE＝.
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第一章 三角形的证明
1.4 角 平 分 线（一）
1. （2022春·振兴区校级期末）如图1－9－1，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC的长为（ D ）
图1－9－1
D
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
2. （2022春·昭通期末）如图1－9－2，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（ A ）
图1－9－2
A
A. 48°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
A. 定理：角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等 .
两边的距
离相等
3. 如图1－9－3，在△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的平分线. 若BD＝4，则点D到AC的距离为
（ B ）
图1－9－3
B
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
B. 定理：在一个角的内部，到角的 两边距离相等 的点在这个角的 平分线 上.
两边距离相等
平分线
4. 已知如图1－9－4，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 下列条件：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，其中能判定OC是∠AOB的平分线的有（ D ）
D
图1－9－4
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
知识点1
：角平分线的性质
【例1】（课本P30第2题）如图1－9－5，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：EB＝FC.
思路点拨：首先由角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，利用“HL”证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可得出EB＝FC.
图1－9－5
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.
∴EB＝FC.
5. 已知：如图1－9－6，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF. 求证：DF＝EF.
图1－9－6
证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）. ∴OD＝OE.
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF.
在△ODF和△OEF中，
∴△ODF≌△OEF（SAS）. ∴DF＝EF.
知识点2
：角平分线的判定
【例2】如图1－9－7，PA，PC分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，并交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F. 求证：BP是∠MBN的平分线.
图1－9－7
思路点拨：过点P作PE⊥AC于点E，已知AP平分∠MAC，PD⊥BM，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PD＝PE，同理可得PE＝PF，从而可推出PD＝PF，则点P在∠MBN的平分线上，即BP平分∠MBN.
证明：如答图1－9－1，过点P作PE⊥AC于点E.
∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，PE⊥AC，
∴PD＝PE.
同理PE＝PF，∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM，PF⊥BN，
∴点P在∠MBN的平分线上.
∴BP是∠MBN的平分线.
答图1－9－1
6. 如图1－9－8，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE相交于点F，CF＝BF. 求证：点F在∠A的平分线上.
图1－9－8
证明：∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠FDC＝∠FEB＝90°.
在△CDF和△BEF中，
∴△CDF≌△BEF（AAS）.∴FD＝FE.
又∵FD⊥AM，FE⊥AN，∴点F在∠A的平分线上.
知识点3
：创新题
【例3】 如图1－9－9，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）写出AB＋AC与AE之间的等量关系，并证明你的结论.
图1－9－9
思路点拨：（1）根据“HL”定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中Rt△BDE≌Rt△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，进而可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°.
∴△BDE与△CDF均为直角三角形.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
证明如下：∵由（1）知AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD.
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS）.
∴AE＝AF.
∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.
（2）解：AB＋AC＝2AE.
7. 如图1－9－10，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，AE＝2BF.
（1）求证：DE＝DF；
（2）若BF＝2，求AB的长.
图1－9－10
（1）证明：如答图1－9－2，过点D作DG⊥AB于点G.
答图1－9－2
∵AD平分∠CAB，DE⊥AC，
∴DE＝DG.
∵BF∥AC，
∴∠F＝∠CED＝90°，即DF⊥BF.
∵BD平分∠ABF，∴DF＝DG.
∴DE＝DF.
（2）解：在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF（ASA）.
∴CE＝BF，∠C＝∠FBD.
∵AE＝2BF，∴AE＋CE＝2BF＋BF＝3BF，
即AC＝3BF＝6.∵∠ABC＝∠FBD，∠C＝∠FBD，
∴∠C＝∠ABC.∴AB＝AC＝6.
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第一章 三角形的证明
等腰三角形（一）
1.（2022春·沙坪坝区期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 9
C
（限时3分钟）
2.（2022春·盐湖区期末）如图1－1－1，∠1＝∠2，添加下列条件，不能使△ABC≌△BAD的是（ B ）
图1－1－1
B
A.∠CAB＝∠DBA
B.AC＝BD
C.∠C＝∠D
D.AD＝BC
A. 定理： 两角分别相等 且其中一组等角的 对边相等 的两个三角形全等（AAS）.
两角分别相等
对边相等
3. 如图1－1－2，∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，要证明△ABC≌△BAD，可使用全等三角形的判定定理
（ C ）
图1－1－2
C
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. HL
B. 全等三角形的 对应边 相等， 对应角 相等.
对应边
对应角
4. 如图1－1－3，△ABC ≌△ADE，如果AB＝5 cm，BC＝7 cm，AC＝6 cm，那么DE的长是（ C ）
图1－1－3
C
A. 6 cm
B. 5 cm
C. 7 cm
D. 8 cm
C. 定理：等腰三角形的两底角 相等 ，简述为 等边对等角 .
相等
等边对等角
5. 如图1－1－4，等腰三角形ABC中，若∠A＝140°，则∠B＝ 20° .
图1－1－4
20°
D. 推论：等腰三角形 顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合.
顶角的平分线、底边上的中
线及底边上的高线
6. 如图1－1－5，在△ABC中，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACD＝23°，则∠A＝ 67° .
图1－1－5
67°
知识点1
：全等三角形的性质与判定
【例1】（课本P4第2题改编）如图1－1－6，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
图1－1－6
思路点拨：根据ASA证明两三角形全等即可.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF.
∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，
∠ACB＝∠F.
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
7. 如图1－1－7，∠A＝∠D，∠1＝∠2，BC＝EC. 求证：AB＝DE.
图1－1－7
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ACE＝∠2＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE.
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（AAS）.
∴AB＝DE.
知识点2
：等腰三角形的性质定理
【例2】（课本P4随堂练习第1题）在△ABC中，AB＝AC.
（1）若∠A＝40°，则∠C等于多少度？
（2）若∠B＝72°，则∠A等于多少度？
思路点拨：根据等腰三角形的性质即可得到结论.
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠A＝40°，
∴∠C＝∠B＝70°.
（2）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝72°.
∴∠A＝180°－（72°＋72°）＝36°.
8.（中考热点）如图1－1－8，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E.
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数.
图1－1－8
（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
∴BC＝DC.
∴△BCD是等腰三角形.
（2）解：∵BC＝DC，∠BCD＝130°，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°－∠BCD）＝×（180°－130°）＝25°.
∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝50°＋25°＝75°.
知识点3
：等腰三角形的性质定理推论
【例3】如图1－1－9，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D. 若∠BAC＝108°，求∠BAD的度数.
图1－1－9
思路点拨：由等腰三角形的“三线合一”的性质可知AD平分∠BAC，可求得∠BAD的度数.
解：∵AB＝AC，
AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC.
∴∠BAD＝∠BAC＝54°.
9. 如图1－1－10，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. 若AB＝5，BD＝4，求△ABC的周长.
图1－1－10
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴DC＝BD＝4.
∴BC＝8.
∴△ABC的周长为AB＋
AC＋BC＝5＋5＋8＝18.
【例4】如图1－1－11，在△ABC中， AB＝AC，BD＝CD. 若∠BAD＝40°，且AD＝AE， 求∠CDE的度数.
图1－1－11
思路点拨：在等腰三角形中，只要已知线段是“三线”的其中之一，那么就必然具备“三线”的所有性质.
解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD为等腰三角形ABC的边BC上的中线.
∴AD平分∠BAC，
AD⊥BC.
又∵∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°.
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°.
∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝20°.
10. 如图1－1－12，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连接AN交BC于点M. 求证：BM＝CM.
图1－1－12
证明：∵CN＝AC，∴∠N＝∠CAN.
∵AB∥CN， ∴∠BAM＝∠N.
∴∠BAM＝∠CAM. ∴AM为∠BAC的平分线.
又∵AB＝AC，∴AM为△ABC的边BC上的中线.
∴BM＝CM.
知识点4
：创新题
【例5】（跨学科融合与创新）如图1－1－13，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝30°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线（入射光线）经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角），求∠DEB的度数.
图1－1－13
思路点拨：过点D作DF⊥AO交OB于点F.根据题意知，DF是∠CDE的平分线，故∠1＝∠3；然后又由两直线CD∥OB推出内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数.
解：如答图1－1－1，过点D作DF⊥AO交OB于点F.
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3.
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2.
答图1－1－1
∴∠2＝∠3.
在Rt△DOF中，
∠ODF＝90°，
∠AOB＝30°，
∴∠2＝90°－30°＝60°.
∴∠3＝60°.
在△DEF中，∠DEB＝180°－∠2－∠3＝60°.
11. （实践探究）如图1－1－14所示是“人”字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成.其中A，B，C，D为焊接点，且AB＝AC，D是BC的中点，焊接所需的四根钢条早已截好，且已标出BC的中点D.在焊接时，他每次都是先取钢条AD和BC，并且先焊接的点始终是D.在这一过程中，焊接师傅只用了有直角的直尺，他为什么要这样做呢？难道这就是师傅准确、快速的原因？小光陷入了思考.
同学们，你能解释其中的道理吗？
图1－1－14
解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴在焊接时，焊接师傅只用了有直角的直尺，并且每次都是先取钢条AD和BC，先焊接的点始终是D.
谢 谢！
