安徽省安庆市宿松县中2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

宿松县中2022-2023学年高二下学期开学考试
数学
1．圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，与共线，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．3
4．已知，则直线与直线相交的充要条件是（ ）
A． B． C． D．且
5．若数列是等差数列，公差为1，数列满足，则数列的前90项和为（ ）
A．0 B．30 C．45 D．90
6．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为-1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的准线为，O为坐标原点，A、B都在此抛物线上若直线AB过
，则（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
8．若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．方程表示的曲线可以是（ ）
A．圆
B．点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
IL．下列说法正确的是（ ）
A已知数列是等差数列，则数列是等比数列
B已知数列是等比数列，则数列是等差数列
C已知数列是等差数列且，数列是等比数列，则数列是等比数列
D．已知数列是等比数列且，数列是等差数列，则数列是等差数列
12．如图，在正方体中，E、F分别是、的中点，G为线段BC上的动点(含端点)，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在点G使得直线平面EFG
B．存在点G使得直线AB与EG所成角为45°
C．G为BC的中点时和G、C重合时的三棱锥的外接球体积相等
D．当G与B重合时三棱锥的外接球体积最大
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线被圆所截得的弦长为______．
14．已知等比数列的前n项和，则______．
15．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．根据上述知识解决问题：现有一三脚架(三条脚架可看为三条边，它们的交点为顶点)放于桌面，建立合适空间直角坐标系，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面的方程为，若三脚架顶点P的坐标为，则点P到平面的距离为____________．
16．双曲线的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，点P是双曲线右支上的一点，满足且的面积为，则双曲线C的离心率为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．(10分)
已知直线与交点为P，直线．
(1)求过点P且倾斜角为135°的直线方程；
(2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值
18．(12分)
如图，四棱锥中，平面ABCD，，，，M是PD中点．
(1)证明：平面PAB；
(2)求平面PCD与平面PBC夹角的余弦值．
19．(12分)
安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
(1)求黄金椭圆C的离心率；
(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
20．(12分)；
如图，在三棱柱中，，平面ABC，．
(1)求证：；
(2)若平面与平面ABC的交线为l，点N在l上已知直线BN与平面所成角的正弦值为，求BN的长度．
21．(12分)
已知正项数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为．且，若恒成立，求实数的取值范围．
22．(12分)
已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为、，三角形的周长为
6，面积为。
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形面积的最大值．
高二数学参考答案
1．【答案】D
【解析】配方得，所以圆心坐标为，选D．
2．【答案】C
【解析】由已知得，∴，可得焦点坐标为，选C．
3．【答案】1
【解析】，共线，则，，，∴，，，∴，选A．
4．【答案】D
【解析】
由已知两直线相交，则由可得-，，D．
5．【答案】C
【解析】∵，，，
∴，∴．
6．【答案】A
【解析】设，，则，由点差法得．
∵，∴，，∴，又，
∴，∴渐近线方程为，故选A．
7．【答案】C
【解析】法一：，可取直线AB为代人抛物线方程计算得，，
；
法二：设，，，，∴，
∴，，，故选C．
注：这里有一个相关二级结论．
8．【答案】B
【解析】设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，P为直线上一个动点，
所以，当PM，PN为两切线时取等号；
又∠，显然是锐角．
，又，
，∴，∴．故选B．
9．【答案】AB
【解析】，，∴，，A，B正确．
，，C错误．
不存在实数，使得，D错误．
10．【答案】ABC
若，即方程为，A正确．
由，B正确．
由，C正确．
由无解，D错误
11．【答案】AC
【解析】设，，A正确．
中，，但中可能，不成立，B错误．
设，且，，则，，C正确．
设，，，则，．
当时，不恒为定值，D错误．
12．【答案】BCD
【解析】设棱长为，如图，以底面中心，为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
，
A选项；显然，，若平面EFG，则，
，A错误．
B选项；显然G为BC中点时，结论成立，B正确．
对于C、D选项；球心O必在过EF中点，且与平面，垂直的直线上，
设，G在BC上运动时，，
，
由可得，，
，∴，
∴时，取最大值，此时，即当G与B重合，故D正确
当G为BC中点时，，；当G与C重合时，，．
故外接球是同一个外接球，C正确．
13．【答案】
【解析】可得，则圆心到直线的距离，
∴．
14．【答案】1
【解析】法一；，
，∴；
法二：，
，，
，，
．
15．【答案】
【解析】由已知的平面的法向量为，在平面上取点，，
所以距离
16．【答案】
【解析】连接，∵O是中点，．
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．又，
∴，①
由双曲线定义可知，②
由①②可解得，．记，
在中有，解得，
∴双曲线C的离心率．
17．【解析】（1）联立，解得，，
∴，∴由点斜式得，
即直线方程为；
（2）由题意，可设点P的对称点，
由此可列方程组，
消去m，得．解得．
18．【解析】（1）取PA中点N，连接BN、MN，
∵M、N分别是PD、PA的中点，
∴，．又∵，，
∴．∴四边形BCMN是平行四边形．
∴．又∵平面PAB，平面PAB．∴平面PAB．
（2）如图，以A点为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，，
设是平面PBC的法向量，
由，得，令得；
设是平面PCD的法向量，
由，得，
令得
注：法向量对一个2分，全对3分．
设平面PCD与平面PBC夹角为，∴
∴平面PCD与平面PBC夹角的余弦值为
19．【解析】（1）由题意，设椭圆C的焦距为2c，则，
又，得，即，
，所以．
（2）正确．理由如下；
设椭圆中心为O，由
所以，即，
所以是直角三角形．
20．【解析】（1）∵平面，
∴三棱柱为直三棱柱．∴平面平面，
又∵平面平面，，平面，
∴平面
又∵平面，∴，又∵，∴，
∵四边形为正方形，∴，
又，∴平面，又平面，∴．
（2）以B为坐标原点，BC、BA、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由面面，平面，
可得l是过C与AB平行的直线，
故可设，故，由（1）证得平面，
所以平面的一个法向量，
设BN与平面所成角为，由此，
解得，得，
．
所以BN的长度为．
21．【解析】（1）∵，，
∴．又∴，
∴．
（2）∵，
∴，①
，②
得
，
∴；
可化简为，
∵在上单点递减，在上单调递增，又∵，
∴时，；
时，，且．∴．
22．【解析】（1）由题意，可列方程，
解方程组得，，所以椭圆C的方程为；
（2）当两条切线中有一条斜率不存在时，即切点为椭圆的顶点，此时，
当两切线都有斜率时，设过的切线方程为，
联立，得，
由得，
化简得，
设两切线的斜率分别为，，则，
化简得，由此，M的轨迹方程为，
又因为满足此方程，所以M的轨迹为圆，
M在圆上运动，当M与A、不共线时，构成，其中，
直线的方程为，此时，点M到直线的距离为，
故此三角形面积的最大值为M离最远时，由此它的面积最大值为．