初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.
2．（2022八下·顺平期末）平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线相等 D．内角和为360°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A、平行四边形的两组对边分别平行，故此选项不符合题意；
B、平行四边形的两组对角分别相等，故此选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故此选项符合题意；
D、平行四边形内角和为360°，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对讲线互相平分，内角和等于360°，据此逐一判断即可.
3．（2022八下·威县期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质，结合求解即可。
4．（2022八下·巴彦期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AC＝6，BD＝10，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴AO＝OC＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝5，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝＝＝4，
故答案为：B．
【分析】先求出∠BAC＝90°，再利用勾股定理计算求解即可。
5．（2022八下·顺平期末）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角相等可求出，由平行四边形的对边平行可得，根据平行线的性质即可求解.
6．（2022八下·任丘期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0， 2），（-1，-1）（2， -1），则顶点D的坐标是（ ）
A．（-3， 2） B．（3， -2） C．（3， 2） D．（2， 2）
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：的顶点A，B，C的坐标分别是，，，
，
∵轴，，
轴，
，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】由B、C的坐标可求出轴，BC=3，利用平行四边形的性质可推出AD∥x轴，AD=BC=3，结合C的坐标即可求出D的坐标.
7．（2022八下·涿州期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点B在线段BC的延长的，若∠DCE=130°，则∠A=（ ）
A．40° B．50° C．130° D．都不对
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据邻补角的定义求出，再根据平行四边形的对角相等即可求解.
8．（2022八下·虎林期末）如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，如图：
在中，有，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，AF=BF，
∴，
∴，
∴AF=BF=，
故答案为：A．
【分析】
四边形内角和求得∠A，根据平行四边形性质对顶角相等即可求得△ABF和△BCE是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求得。
9．（2022八下·曹妃甸期末）平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数与另一个角的度数之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得
x+y=180°
即
故答案为：C．
【分析】平行四边形的邻角互补，据此解答即可.
10．（2021八下·萧山期中）已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF.中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x＋180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据中点的概念可得BF＝FC，根据平行四边形的性质以及AD＝2AB可得BF＝FC＝AB，由等腰三角形的性质可得∠AFB＝∠BAF，根据平行线的性质可得∠AFB＝∠DAF，推出∠BAF＝∠FAD，据此判断①；延长EF，交AB延长线于M，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠MBF＝∠C，证明△MBF≌△ECF，得到FE＝MF，∠CEF＝∠M，据此判断②；易得S△AEF＝S△AFM，据此判断③；设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，∠BAF＝90°﹣x，∠EFA＝180°﹣2x，∠EFB＝270°﹣3x，据此判断④.
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·涿州期末）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是 ．
【答案】3
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图：
∵AB、CD为小正方形的边所在直线，
∴AB∥CD，
∴AC⊥AB，AC⊥CD，
∵AC的长为3个小正方形的边长，
∴AC=3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．
故答案为3．
【分析】由网格知AB∥CD，即得AC⊥AB，AC⊥CD，从而得出两平行直线AB、CD之间的距离为AC的长，即得结论.
12．（2022八下·巴彦期末）在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：5，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 ．
【答案】30°或30度
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：不妨设∠A：∠B＝5：1，即∠A＝5∠B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴6∠B＝180°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝150°，
∴ ABCD中较小内角为30°，
故答案是：30°．
【分析】先求出AD∥BC，再求出∠A＝150°，最后计算求解即可。
13．（2022八下·巴彦期末）四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE＝2，则BC的长为 ．
【答案】6或10或10或6
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当E点在线段BC上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝8+2＝10，
当E点在线段BC延长线上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝8﹣2＝6，
综上，BC的长为10或6．
故答案为：6或10．
【分析】分类讨论，利用平行四边形的性质计算求解即可。
14．（2022八下·潮安期末）如图，在 ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长 ．
【答案】4cm
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠3=∠1，
∴∠2=∠3，
∴BE=AB=8（cm），
∴CE=BC-BE=4（cm）．
故答案为：4cm．
【分析】先利用平行四边形和角平分线的定义可得∠2=∠3，从而得到BE=AB=8，最后利用线段的和差求出CE的长即可。
15．（2022八下·昌图期末）如图，平行四边形ABCD的面积是20，E为AB的中点，连接OE和DE，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC、BD的中点，
∴ ABO， ADO， CDO， CBO的面积相等，均为5，
由图可得 OBE与 ODE等底同高，故两个三角形面积相等，
∵E为AB的中点，
∴ OBE的面积为 ABO面积的一半即：，
∴ ODE的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据 OBE与 ODE等底同高，可得两个三角形面积相等，所以 OBE的面积为 ABO面积的一半，再求解即可。
16．（2022八下·紫金期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
【答案】．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
【分析】先求出EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可。
17．（2022八下·辽阳期末）如图，中，对角线，相交于点O，交于点E，连接，若的周长为15，则的周长为 ．
【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴EB=ED，
∵ ABE的周长为15，
∴的周长．
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=30
故答案为：30．
【分析】先证明是线段的垂直平分线，可得EB=ED，再利用三角形的周长公式和等量代换可得的周长，最后求出的周长即可。
18．（2022八下·西山期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴上，点A坐标为，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，再分别以点D，点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵点A坐标为，
∴
∵，
由作图可得：平分
故答案为：
【分析】先利用勾股定理求出OA的长，再利用平行四边形的性质和角平分线的性质求出，可得，从而可得点P的坐标。
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2022八下·槐荫期末）如图，在中，对角线AC和BD相交于点O，，，．求OB的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∵
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用平行四边形的性质可得。
20．（2022八下·临西期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，AB＝11，求△OCD的周长．
【答案】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝11，，，
∵AC＋BD＝36，
∴，
∴△OCD的周长＝OC＋OD＋CD＝18＋11＝29．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，再利用三角形的周长公式计算即可。
21．（2022八下·曹妃甸期末）如图，在中，点、在对角线上，且，连接、．求证：，．
【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴，.
∴.
又∵，
∴（SAS），
∴，.
∴.
∴.
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质可得，根据SAS证明，可得，，即得，根据平行线的判定即证结论.
22．（2022八下·深圳期末）如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接．
（1）尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点G恰好是线段的中点，求证：．
【答案】（1）解：如图，DF即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠F=∠CDG，∠FHG=∠DCG，
∵G是CH的中点，
∴HG=CG，
∴△FGH≌△DGC，
∴FH=CD=AB，
∴FB+BH=AH+BH，
∴BF=AH．
【知识点】平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作角平分线的方法作图即可；
（2）先求出 ∠F=∠CDG，∠FHG=∠DCG， 再求出 △FGH≌△DGC， 最后证明即可。
23．（2022八下·薛城期末）如图，平行四边形ABCD中，AE平分交BC于E，DF平分交BC于F．
（1）求证：；
（2）若E为BC的三等分点（靠近C点），，，求直线AB与CD之间的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD，∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠DAE=∠BAE，∠CDF=∠ADF，∴∠BAE=∠BEA，∠CDF=∠CFD，∴AB=BE，CD=CF，又AB=CD，∴BE=CF，∴BE－EF=CF－EF，∴BF=EC；
（2）解：如图，过点B作BG⊥AE于G，过点C作 CH⊥DF于H，
则∠BGE=∠FHC=90°，又∵AB=BE，FC=CD，∴GE=AE=，FH=DF=1，．∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠EAD=∠BAD，∠FDA=∠ADC，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠EAD+∠FDA=90°，∴AE⊥DF，又CH⊥DF，∴CH∥AE，∴∠BEG=∠FCH，又 ∠BGE=∠FHC，BE=FC，∴ΔBGE≌ΔFHC （AAS），∴BG=FH=1，∴在Rt△BGE中，，∵E为BC的三等分点，∴S平行四边形ABCD=3S△ABE=3×××1=，设直线AB与CD的距离为h，∵AB=BE=2，AB∥CD，∴2h=，解得：h= ，即直线AB与CD的距离为．
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质和角平分线的定义可得AB=DC=BE=CF，再利用线段的和差可得BE－EF=CF－EF，即BF=EC； （2）过点B作BG⊥AE于G，过点C作 CH⊥DF于H，先求出S平行四边形ABCD=3S△ABE=3×××1=，设直线AB与CD的距离为h，可得2h=，求出h的值即可。
24．（2022八下·宜春期末）如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，连接DE，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点F为DC的延长线上的一点，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，∵E为BC中点，∴BE＝CE，则在△BAE和△CFE中， ，∴△BAE≌△CFE（），∴AB＝CF，∴CF＝CD；
（2）解：由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，∴AE＝EF，DF＝2CD，∵AB＝CD，∴DF＝2AB，∵AD＝2AB，∴AD＝DF，∵AE＝EF，∴DE⊥AF在中，，∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 AE＝EF，DF＝2CD， 再求出 AD＝DF， 最后利用勾股定理计算求解即可。
25．（2022八下·罗定期末）如图，在中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
（1）求证：
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：分别平分和
，
（2）解：
平分
同理可证
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， ，再根据平行四边形的性质证明求解即可；
（2）先求出∠EBC=∠AEB，再求出DE=DC，最后求周长即可。
26．（2022八下·建昌期末）如图，在中，，点在射线上（不与，重合），交直线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请写出，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，，，，，，即，在和中，，，，又，，即．
（2）解：，证明如下：四边形是平行四边形，，，，即，，，在和中，，，，又，，即．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明可得BE=DF，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明可得DE=BF，再利用线段的和差及等量代换可得。
1 / 1初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
2．（2022八下·顺平期末）平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线相等 D．内角和为360°
3．（2022八下·威县期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·巴彦期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AC＝6，BD＝10，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022八下·顺平期末）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八下·任丘期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0， 2），（-1，-1）（2， -1），则顶点D的坐标是（ ）
A．（-3， 2） B．（3， -2） C．（3， 2） D．（2， 2）
7．（2022八下·涿州期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点B在线段BC的延长的，若∠DCE=130°，则∠A=（ ）
A．40° B．50° C．130° D．都不对
8．（2022八下·虎林期末）如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（ ）
A． B． C． D．
9．（2022八下·曹妃甸期末）平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数与另一个角的度数之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八下·萧山期中）已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF.中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·涿州期末）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是 ．
12．（2022八下·巴彦期末）在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：5，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 ．
13．（2022八下·巴彦期末）四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE＝2，则BC的长为 ．
14．（2022八下·潮安期末）如图，在 ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长 ．
15．（2022八下·昌图期末）如图，平行四边形ABCD的面积是20，E为AB的中点，连接OE和DE，则的面积是 ．
16．（2022八下·紫金期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
17．（2022八下·辽阳期末）如图，中，对角线，相交于点O，交于点E，连接，若的周长为15，则的周长为 ．
18．（2022八下·西山期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴上，点A坐标为，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，再分别以点D，点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2022八下·槐荫期末）如图，在中，对角线AC和BD相交于点O，，，．求OB的长．
20．（2022八下·临西期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，AB＝11，求△OCD的周长．
21．（2022八下·曹妃甸期末）如图，在中，点、在对角线上，且，连接、．求证：，．
22．（2022八下·深圳期末）如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接．
（1）尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点G恰好是线段的中点，求证：．
23．（2022八下·薛城期末）如图，平行四边形ABCD中，AE平分交BC于E，DF平分交BC于F．
（1）求证：；
（2）若E为BC的三等分点（靠近C点），，，求直线AB与CD之间的距离．
24．（2022八下·宜春期末）如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，连接DE，求DE的长．
25．（2022八下·罗定期末）如图，在中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
（1）求证：
（2）若，求的周长．
26．（2022八下·建昌期末）如图，在中，，点在射线上（不与，重合），交直线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请写出，，之间的数量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A、平行四边形的两组对边分别平行，故此选项不符合题意；
B、平行四边形的两组对角分别相等，故此选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故此选项符合题意；
D、平行四边形内角和为360°，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对讲线互相平分，内角和等于360°，据此逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质，结合求解即可。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴AO＝OC＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝5，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝＝＝4，
故答案为：B．
【分析】先求出∠BAC＝90°，再利用勾股定理计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角相等可求出，由平行四边形的对边平行可得，根据平行线的性质即可求解.
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：的顶点A，B，C的坐标分别是，，，
，
∵轴，，
轴，
，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】由B、C的坐标可求出轴，BC=3，利用平行四边形的性质可推出AD∥x轴，AD=BC=3，结合C的坐标即可求出D的坐标.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据邻补角的定义求出，再根据平行四边形的对角相等即可求解.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，如图：
在中，有，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，AF=BF，
∴，
∴，
∴AF=BF=，
故答案为：A．
【分析】
四边形内角和求得∠A，根据平行四边形性质对顶角相等即可求得△ABF和△BCE是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求得。
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得
x+y=180°
即
故答案为：C．
【分析】平行四边形的邻角互补，据此解答即可.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x＋180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据中点的概念可得BF＝FC，根据平行四边形的性质以及AD＝2AB可得BF＝FC＝AB，由等腰三角形的性质可得∠AFB＝∠BAF，根据平行线的性质可得∠AFB＝∠DAF，推出∠BAF＝∠FAD，据此判断①；延长EF，交AB延长线于M，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠MBF＝∠C，证明△MBF≌△ECF，得到FE＝MF，∠CEF＝∠M，据此判断②；易得S△AEF＝S△AFM，据此判断③；设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，∠BAF＝90°﹣x，∠EFA＝180°﹣2x，∠EFB＝270°﹣3x，据此判断④.
11．【答案】3
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图：
∵AB、CD为小正方形的边所在直线，
∴AB∥CD，
∴AC⊥AB，AC⊥CD，
∵AC的长为3个小正方形的边长，
∴AC=3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．
故答案为3．
【分析】由网格知AB∥CD，即得AC⊥AB，AC⊥CD，从而得出两平行直线AB、CD之间的距离为AC的长，即得结论.
12．【答案】30°或30度
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：不妨设∠A：∠B＝5：1，即∠A＝5∠B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴6∠B＝180°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝150°，
∴ ABCD中较小内角为30°，
故答案是：30°．
【分析】先求出AD∥BC，再求出∠A＝150°，最后计算求解即可。
13．【答案】6或10或10或6
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当E点在线段BC上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝8+2＝10，
当E点在线段BC延长线上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝8﹣2＝6，
综上，BC的长为10或6．
故答案为：6或10．
【分析】分类讨论，利用平行四边形的性质计算求解即可。
14．【答案】4cm
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠3=∠1，
∴∠2=∠3，
∴BE=AB=8（cm），
∴CE=BC-BE=4（cm）．
故答案为：4cm．
【分析】先利用平行四边形和角平分线的定义可得∠2=∠3，从而得到BE=AB=8，最后利用线段的和差求出CE的长即可。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC、BD的中点，
∴ ABO， ADO， CDO， CBO的面积相等，均为5，
由图可得 OBE与 ODE等底同高，故两个三角形面积相等，
∵E为AB的中点，
∴ OBE的面积为 ABO面积的一半即：，
∴ ODE的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据 OBE与 ODE等底同高，可得两个三角形面积相等，所以 OBE的面积为 ABO面积的一半，再求解即可。
16．【答案】．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
【分析】先求出EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可。
17．【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴EB=ED，
∵ ABE的周长为15，
∴的周长．
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=30
故答案为：30．
【分析】先证明是线段的垂直平分线，可得EB=ED，再利用三角形的周长公式和等量代换可得的周长，最后求出的周长即可。
18．【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵点A坐标为，
∴
∵，
由作图可得：平分
故答案为：
【分析】先利用勾股定理求出OA的长，再利用平行四边形的性质和角平分线的性质求出，可得，从而可得点P的坐标。
19．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∵
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用平行四边形的性质可得。
20．【答案】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝11，，，
∵AC＋BD＝36，
∴，
∴△OCD的周长＝OC＋OD＋CD＝18＋11＝29．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，再利用三角形的周长公式计算即可。
21．【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴，.
∴.
又∵，
∴（SAS），
∴，.
∴.
∴.
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质可得，根据SAS证明，可得，，即得，根据平行线的判定即证结论.
22．【答案】（1）解：如图，DF即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠F=∠CDG，∠FHG=∠DCG，
∵G是CH的中点，
∴HG=CG，
∴△FGH≌△DGC，
∴FH=CD=AB，
∴FB+BH=AH+BH，
∴BF=AH．
【知识点】平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作角平分线的方法作图即可；
（2）先求出 ∠F=∠CDG，∠FHG=∠DCG， 再求出 △FGH≌△DGC， 最后证明即可。
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD，∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠DAE=∠BAE，∠CDF=∠ADF，∴∠BAE=∠BEA，∠CDF=∠CFD，∴AB=BE，CD=CF，又AB=CD，∴BE=CF，∴BE－EF=CF－EF，∴BF=EC；
（2）解：如图，过点B作BG⊥AE于G，过点C作 CH⊥DF于H，
则∠BGE=∠FHC=90°，又∵AB=BE，FC=CD，∴GE=AE=，FH=DF=1，．∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠EAD=∠BAD，∠FDA=∠ADC，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠EAD+∠FDA=90°，∴AE⊥DF，又CH⊥DF，∴CH∥AE，∴∠BEG=∠FCH，又 ∠BGE=∠FHC，BE=FC，∴ΔBGE≌ΔFHC （AAS），∴BG=FH=1，∴在Rt△BGE中，，∵E为BC的三等分点，∴S平行四边形ABCD=3S△ABE=3×××1=，设直线AB与CD的距离为h，∵AB=BE=2，AB∥CD，∴2h=，解得：h= ，即直线AB与CD的距离为．
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质和角平分线的定义可得AB=DC=BE=CF，再利用线段的和差可得BE－EF=CF－EF，即BF=EC； （2）过点B作BG⊥AE于G，过点C作 CH⊥DF于H，先求出S平行四边形ABCD=3S△ABE=3×××1=，设直线AB与CD的距离为h，可得2h=，求出h的值即可。
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点F为DC的延长线上的一点，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，∵E为BC中点，∴BE＝CE，则在△BAE和△CFE中， ，∴△BAE≌△CFE（），∴AB＝CF，∴CF＝CD；
（2）解：由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，∴AE＝EF，DF＝2CD，∵AB＝CD，∴DF＝2AB，∵AD＝2AB，∴AD＝DF，∵AE＝EF，∴DE⊥AF在中，，∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 AE＝EF，DF＝2CD， 再求出 AD＝DF， 最后利用勾股定理计算求解即可。
25．【答案】（1）证明：分别平分和
，
（2）解：
平分
同理可证
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， ，再根据平行四边形的性质证明求解即可；
（2）先求出∠EBC=∠AEB，再求出DE=DC，最后求周长即可。
26．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，，，，，，即，在和中，，，，又，，即．
（2）解：，证明如下：四边形是平行四边形，，，，即，，，在和中，，，，又，，即．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明可得BE=DF，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明可得DE=BF，再利用线段的和差及等量代换可得。
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