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第十七章 勾股定理
17.1勾股定理
第3课时 勾股定理的应用(2)
典型例题
知识点1：
勾股定理在特殊直角三角形中的应用
【例1】 如图17-12-1，在等腰三角形ABC中，∠C=90°.
(1)若AC=2，则AB=______________；
(2)若AB=2，求AC和BC的长.
2
解：（2）依题意，得AC=BC.在Rt△ABC中，
由勾股定理，得AC2+BC2=AB2.
∴2AC2=22.
∴AC=
∴BC=AC=
变式训练
1. 如图17-12-2，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°.
(1)若AB=1，则BC=______________，AC=_____________；
(2)若AC= 求AB和BC的长度.
2
解：(2)设AB=x,
则BC=2AB=2x.
根据勾股定理，得
AB2+AC2=BC2,
即x2+( )2=(2x)2.
解得x=
∴AB= BC=2x=2
知识点2：
已知一边及另两边的数量关系
【例2】 如图17-12-3，在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB＝6，BC∶AC＝4∶5，求AC的长度.
解:设BC=4x,则AC=5x.
由勾股定理，得AB2+BC2=AC2,
即36+16x2=25x2.
解得x=2.
∴AC=5x=10.
∴AC的长度为10.
变式训练
2. 如图17-12-4，在Rt△ABC中，∠C=90°. 若AB=3AC，BC=
求AC 的长度.
解：设AC=x,则AB=3x.
由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，
即x2+6=9x2.解得x=
∴AC的长度为
知识点3：
利用勾股定理建立方程解决实际问题
【例3】 如图17-12-5，一根竹子高10 m，折断后竹子顶端C落在距离竹子底端A的4 m处，折断处B离地面的高度AB是多少？
解：设竹子折断处B离地面高度AB为x m，
则斜边BC为(10-x)m.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2，
即x2+42=(10-x)2.
解得x=4.2.
答：折断处B离地面的高度AB是4.2 m.
变式训练
3. 如图17-12-6，小明想知道学校旗杆(垂直地面)的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5 m，且下端刚好接触地面，求旗杆的高.
解：设旗杆的高AB为x m，则绳子AC的长为(x+1)m.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AB2+BC2=AC2，
即x2+52=(x+1)2.
解得x=12.
∴AB=12 m.
答：旗杆的高是12 m.
分层训练
A组
4. 如图17-12-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，则AC等于______________.
5. 如图17-12-8，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，BD=2 cm，则AB的长度是______________.
8 cm
6. 如图17-12-9，在△ABC中，∠B=45°，∠C=90°，AB=1，则
AC=______________，BC=______________.
7. 如图17-12-10，x的值为______________.
B组
8. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图17-12-11，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长. 请你计算出AC的长度.
解：设AC=x.
∵AC+AB=10，
∴AB=10-x.
在Rt△ABC中，
由勾股定理,得AC2+BC2=AB2，
即x2+32=(10-x)2.
解得x=4.55，即AC=4.55.
9.（原创题） 如图17-12-12，在荡秋千时，绳子最低点E离地面1 m，荡到最高点D时离地面4 m，此时水平位移BC是6 m，求绳子的长．
解：如答图17-12-1，过点D作DF⊥AB于点F.
∴DF=BC=6 m，BF=CD=4 m.
设绳子长x m，则AB=(x+1)m.
∴AF=AB-BF=(x-3)m.
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2+DF2=AD2,
即（x-3）2+62=x2.
解得x=7.5.
答：绳子长7.5 m．
C组
10. 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺(如图17-12-13).如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面. 问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺.
根据勾股定理,得x2+ =(x+1)2.
解得x=12.
则x+1=13.
答:水的深度为12尺,这根芦苇的长度为13尺.
11. 如图17-12-14，在笔直的高速路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离AC=8 km，B村庄到公路的距离BD=14 km，测得C，D两点的距离为20 km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长.
解：设CE=x km，
则DE=(20-x)km.
在Rt△ACE中，
AE2=AC2+CE2=82+x2.
在Rt△BDE中，
BE2=BD2+DE2=142+(20-x)2.
由题意可知,AE=BE，
∴82+x2=142+(20-x)2. 解得x=13.3.
∴CE=13.3 km.
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第十七章 勾股定理
17.1勾股定理
第一节勾股定理的证明与简单运用
本章知识结构图
核心内容
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别是a,b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方
原命题与逆命题 两个命题的题设和结论正好相反，它们叫做互逆命题；其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题；如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 需要注意的是命题有真有假，而定理都是正确的，所以一个命题一定有逆命题，而一个定理就不一定有逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
知识点
勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．(如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.)
1.如图17-10-1，写出勾股定理的几何语言：
∵______________，
∴__________________________________.
∠C=90°
a2+b2=c2或BC2+AC2=AB2
典型例题
知识点1：
勾股定理的探索与验证
【例1】 剪4个与图17-10-2①完全相同的直角三角形，再将它们拼成如图17-10-2②所示的图形.
大正方形的面积可以表示为______________,又可以表示为______________.
∵两种方法都是表示同一个图形的面积，
∴______________=______________.
∴________+________=________. (用字母表示)
(a+b)2
2ab+c2
(a+b)2
2ab+c2
a2
b2
c2
变式训练
2. 将左边图17-10-2②沿中间正方形的对角线剪开，得到如图17-10-3所示的梯形.
直角梯形的面积可以表示为________;
三个直角三角形的面积和可以表示为____________.
利用“直角梯形的面积”与“三个直角三角形的面积和”相等的关系，可以得到：
______________=______________,
∴_______+_______=_______. (用字母表示)
ab+
a2
b2
c2
知识点2：
已知两直角边,求斜边
【例2】如图17-10-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，求c的值.
解：c= =13.
变式训练
3. 如图17-10-5，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=3，求BC的长和△ABC的周长.
解：BC=
△ABC 的周长为AB+AC+BC=2+3+ =5+ .
知识点3：
已知一直角边和斜边，求另一直角边
【例3】图17-10-6如图17-10-6，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，AB=25，求AC的长.
解：AC= =20.
变式训练
4. 如图17-10-7，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，AB=3，求AC的长和△ABC的面积.
解：AC=
S△ABC = AC·AB= ×
分层训练
A组
5. 直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. 若b=1，c=2，则a的值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
6. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则斜边长为( )
A. 1 B. C. D. 3
D
C
7. 如图17-10-8，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是( )
A. 8
B. 10
C. 64
D. 136
C
B组
8. 图17-10-9①中的阴影部分面积为______________，图17-10-9②中的阴影部分面积为______________.
25
9. 填空:
(1)等腰直角三角形的直角边长是1，斜边长为______________；
(2)等边三角形的边长是1，则高为______________.
10. 如图17-10-10，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知正方形A,B,C,D的面积分别为12,16,9,12，那么图中正方形E的面积为( )
A. 144
B. 147
C. 49
D. 148
C
11. 一个直角三角形的两边长分别为3 cm和5 cm，则这个三角形的第三边长为______________.
4 cm或 cm
12. （原创题） 已知直角三角形的两直角边长分别为2+ 和2- ．
(1)求这个直角三角形的斜边长；
(2)这个直角三角形的周长为______________，面积为_________.
4+
解：（1）∵直角三角形的两直角边长分别为2+ 和2- ，
∴斜边长为
C组
13. 如图17-10-11，已知∠ACB=90°，BC=8，AB=10，CD是边AB上的高.
(1)求△ABC的面积；
(2)求CD的长.
解：(1)∵∠ACB=90°，BC=8，AB=10，
∴AC= =6.
∴S△ABC= ·AC·BC= ×6×8=24.
(2)∵S△ABC= ·AC·BC= ·AB·CD，
∴CD=
14. （创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解得CD=6.
∴AD= =8.
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第十七章 勾股定理
勾股定理单元复习
典型例题
知识点1：
勾股定理的简单计算
【例1】在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c.
(1)若∠C=90°，a=3，b=3 则c=______________；
(2)若∠B=90°，a=9，b=41，则c=______________.
3
40
变式训练
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a∶b=3∶4，c=25，求a的值.
解：设a=3x，则b=4x.
∵在Rt△ABC中，a2+b2=c2，
∴(3x)2+(4x)2=252.
解得x=5.则a=3x=15.
知识点2：
勾股定理的逆定理
【例2】下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是( )
A. 3，4，5 B. 1， 2
C. 6，8，10 D. 1.5，2.5，3
D
变式训练
2. 以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是______________. (填序号)
① 3 cm, 4 cm, 5 cm；② 1 cm,2 cm,3 cm；
③ 1 cm，1 cm， cm；④ 1 cm，2 cm， cm.
①③④
知识点3：
勾股定理的应用
【例3】如图17-16-1，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5 m，则小巷的宽为( )
A. 2.5 m B. 2.6 m
C. 2.7 m D. 2.8 m
C
变式训练
3. 如图17-16-2，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高两丈五尺（一丈为十尺），折后竹尖恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为( )
A．5尺
B．25尺
C．13尺
D．12尺
D
知识点4：
勾股定理的逆定理的应用
【例4】已知某校有一块四边形空地ABCD（如图17-16-3），现计划在该空地上种草皮，经测量∠A=90°，AB=6 m，BC=24 m，CD=26 m，DA=8 m. 若每平方米草皮需150元，则需投入的总资金为多少？
解：∵∠A=90°，AB=6 m，DA=8 m，
∴BD= 10(m).
∵BC=24 m，CD=26 m，
∴BD2+BC2=676=CD2.
∴△DBC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC= AB·DA+ BD·BC= ×6×8+
×10×24=144(m2).
∴需投入的总资金为150×144=21 600(元).
变式训练
4. 小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图17-16-4)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度. 小锤经测量得知AB=AD=5 m，∠A=60°，DC=13 m，∠ABC=150°. 豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB的长度. 你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB的长度；若不同意，请说明理由.
解：同意豆花的说法. 理由如下：
连接BD（作图略）.
∵AB=AD=5 m，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=5 m，∠ABD=60°.
∵∠ABC=150°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°.
∵DC=13 m，BD=5 m，
∴CB= =12(m).
∴CB的长度为12 m.
分层训练
A组
5. 直角三角形的一直角边长是12，斜边长是15，则另一直角边长是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6. 若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可以为( )
A. 2∶3∶4 B. 3∶4∶5
C. 5∶12∶14 D. 4∶6∶10
B
B
若a＞b，则a2＞b2
假
7. 命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题是__________________，该逆命题是______________(填“真”或“假”)命题.
8. 如图17-16-5，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的周长为______________.
2 +2
B组
9. 如图17-16-6，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC=6，BC=8，则CD等于( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4.8
D
10.如图17-16-7，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6．则∠ACD=______________°．
45
11. 如图17-16-8，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=
(1)求AC,CE的长；
(2)求证：∠ACE=90°．
（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2，
∴AC=
∵在Rt△EDC中，∠D=90°，CD=6，DE=4，
∴CE=
（2）证明：∵AC= CE=2 AE=
∴AE2=AC2+CE2.
∴∠ACE=90°．
C组
12. 如图17-16-9,在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？
解：公路AB需要暂时封锁. 理由如下:
如答图17-16-1，过点C作CD⊥AB于点D.
∵BC=400 m，AC=300 m，∠ACB=90°，
∴AB= =500(m).
∵S△ABC= AB·CD= BC·AC,
∴CD= =240(m).
由于240 m＜250 m，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁.
13.（创新题） 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
解：如答图17-16-2，作△ABC的中线AE，BD，CF.
①当BD=AC时，
BD=AC=4 CD= AC=2
在Rt△BCD中，
BC= =6；
②当AE=BC时，
CE= BC= AE.
在Rt△AEC中，
AE2-CE2=AC2，即BC2- =（4 ）2.
解得BC=8;
③∵∠C=90°,∴CF≠AB.
∴不存在这种情况.
综上所述，BC的长是6或8．
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第十七章 勾股定理
17.1勾股定理
第2节 勾股定理的应用(1)
典型例题
知识点1：
直接运用勾股定理求长度
【例1】 如图17-11-1，从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长13 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
解: =12(m).
答：这条缆绳在地面的固定点距离
电线杆底部有12 m.
变式训练
1. 如图17-11-2，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8 m，树的顶端离树根6 m，则这棵树在折断之前的高度是多少米？
解：由题意知BC=8 m，
AC=6 m，∠C=90°，
∴AB= =10(m).
∴AB+BC=10+8=18(m).
答：这棵树在折断之前的高度是18 m.
知识点2：
面积问题
【例2】 一个零件的形状如图17-11-3，在这个零件中，∠A和∠DBC都为直角，工人师傅量得这个零件AD=4 cm，AB=3 cm，BC=12 cm，求这个零件CD边的长及这个四边形零件的面积.
解：在Rt△ABD中，
BD= =5(cm).
在Rt△BCD中，
CD= =13(cm).
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×3×4+ ×5×12=36(cm2).
∴这个四边形零件的面积为36 cm2.
变式训练
2.如图17-11-4，阴影部分是草坪， AD=4 m，CD=3 m，∠ADC=90°，AB=13 m，∠ACB=90°，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
解：在Rt△ACD中，
AC= =5(m).
在Rt△ABC中，
BC= =12(m).
∴S阴影=S△ABC-S△ACD= AC·BC- CD·AD= ×5×12-
×3×4=24(m2).
∴花费为24×100=2 400(元).
答：用该草坪铺满这块空地共需花费2 400元.
知识点3：
梯子滑动问题
【例3】 如图17-11-5，一架长5 m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO高为4 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1 m至C点， 求梯子底端B外移距离BD的长度.
解：∵AO⊥OD，AO=4 m，AB=5 m，
∴OB= =3(m).
∵梯子的顶端A沿墙下滑1 m至C点，
∴OC=AO-AC=3(m).
∵CD=AB=5 m，
∴OD= =4(m).
∴BD=OD-OB=4-3=1(m).
答：梯子底部B外移距离BD的长度为1 m.
变式训练
3. 如图17-11-6，一架长2.5 m的梯子AB，斜立在竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端O点0.7 m，如果梯子的底端沿地面远离墙面又滑动了0.8 m，求梯子的顶端沿墙下滑了多少米.
解：由题意知，OB=0.7 m，BC=0.8 m，AB=2.5 m，
在Rt△ABO中，
AO= =2.4(m).
又∵CO=OB+BC=1.5(m)，
DC=AB=2.5 m,
∴在Rt△DOC中,
DO= =2(m).
∴AD=AO-DO=2.4-2=0.4(m).
答：梯子的顶端沿墙下滑了0.4 m.
分层训练
A组
4. 如图17-11-7,沿某江取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50 m，∠B=60°，则江面的宽度为______________.
50 m
5. 如图17-11-8是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少要走( )
A. 140 m
B. 120 m
C. 100 m
D. 90 m
C
B组
6. 如图17-11-9，一棵大树在离地面6 m高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8m处，则大树断裂之前的高度为( )
A. 10 m
B. 16 m
C. 15 m
D. 14 m
B
7. 如图17-11-10，在水塔O的东北方向8 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向6 m处有一建筑物工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为______________.
10 m
8. 如图17-11-11，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20 n mile/h的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口2 h后，两艘轮船相距50 n mile，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
解：∵甲轮船以20 n mile/h的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴∠AOB=45°+45°=90°,OB=20×2=40（n mile）.
∵AB=50 n mile，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AO＝ ＝30（n mile）.
∴乙轮船平均每小时航行30÷2=15（n mile）．
答：乙轮船平均每小时航行15 n mile.
C组
9. 如图17-11-12，某公司举行周年庆典，准备在门口长25 m，高7 m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3 m.
(1)共需购买多大面积的红地毯？
(2)若红地毯的价格为120元/m2，
则购买红地毯需花费多少元？
解：（1）依题意，图中直角三角形一直角边为7 m，斜边为25 m，
根据勾股定理，得
另一直角边长为 =24（m）.
∴红地毯的长为24+7=31（m）.
∵红地毯的宽则是台阶的宽3 m，
∴红地毯的面积为31×3=93（m2）．
答：共需购买93 m2的红地毯.
（2）购买地毯需花费120×93=11 160(元).
答：购买红地毯的花费是11 160元.
10. （创新题）在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一处（点C）需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800 m，与公路上另一停靠点B的距离为600 m，且CA⊥CB，如图17-11-13，为了安全起见，爆破点C周围半径450 m范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：
如答图17-11-1，过点C作CD⊥AB于点D．
∵CA⊥CB，∴∠ACB=90°.
∵BC=800 m，AC=600 m，
根据勾股定理，得AB= =1 000（m）．
∵S△ABC= AB·CD= BC·AC,
∴CD= =480（m）．
∵400 m＜480 m，故没有危险.
答：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁．
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数 学
课时导学案
教与学·课时导学案·数学·八年级·下册·配人教版(内文)
第一部分 新课内容
第十七章 勾股定理
第15课时 勾股定理的逆定理(2)——综合应用
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
两个命题的题设和结论正好相反，它们叫做互逆命题；其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题；如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
1.命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是______________,______________，它是______________(填“真”或“假”)命题.
内错角相等
两直线平行
真
典型例题
知识点1：
原命题与逆命题
【例1】写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立.
(1)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等，逆命题是：_________________________________________________.逆命题是否成立？______________;
(2)全等三角形的对应角相等，逆命题是：
___________________________________________________.逆命题是否成立？______________.
如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等
不成立
如果两个三角形的角对应相等,那么这两个三角形全等
不成立
变式训练
2. 下列命题中的逆命题是假命题的是( )
A．对顶角相等
B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．同位角相等，两直线平行
A
知识点2：
运用勾股定理逆定理判断方向
【例2】已知A，B，C三地的两两距离如图17-15-1，A地在B地的正东方向，那么C地在B地的什么方向？
解：根据题意，得AB=12 km，BC=5 km，AC=13 km.
∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，
∴BC2+AB2=AC2.
∴∠CBA=90°.
∵A地在B地的正东方向，
∴C地在B地的正北方向.
变式训练
3. 如图17-15-2，BO=24，AO=18，AB=30，点A在点O的南偏西30°方向，求点B在点O的什么方向.
解：依题意，得
AO2+BO2=182+242=900，
AB2=302=900.
∴AO2+BO2=AB2.
∴∠BOA=90°.
∵∠AOD=30°，
∴∠DOB=∠BOA-∠AOD=60°.
∴点B在点O的南偏东60°方向.
知识点3：
勾股定理的逆定理的综合应用
【例3】 如图17-15-3，三个村庄A，B，C之间的距离分别为AB=5 km，BC=12 km，AC=13 km，要从B村修一条公路BD直达AC，已知公路的造价为26 000元/ km，修这条公路的最低造价是多少？
解：∵BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169，
∴BC2+AB2=AC2.
∴∠ABC=90°.
当BD⊥AC时,BD最短，造价最低.
∵S△ABC= AB·BC= AC·BD，
∴BD= (km).
∴最低造价为 ×26 000=120 000(元).
变式训练
4. 如图17-15-4是一个广告牌支架的示意图，其中AB=13 m，AD=12 m，BD=5 m，AC=15 m，求图中△ABC的周长和面积.
解：在△ABD中，AB=13 m，AD=12 m，BD=5 m，
∴AB2=AD2+BD2. ∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，
∵AD=12 m，AC=15 m，
∴DC= =9(m).
∴BC=BD+DC=14(m).
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=13+15+14=42(m),
△ABC的面积为 BC·AD= ×14×12=84(m2).
分层训练
A组
5. 写出下面定理的逆命题，并判断其逆命题是否成立：两直线平行，同旁内角互补.
逆命题为：____________________________________;
逆命题是否成立？______________.
同旁内角互补，两直线平行
成立
6. 下列命题中，其逆命题是假命题的是( )
A. 等腰三角形的两个底角相等
B. 若两个数的差为正数，则这两个数都为正数
C. 若ab=1，则a与b互为倒数
D. 如果|a|=|b|，那么a2=b2
B
7. 如图17-15-5，明明散步从A到B走了41 m，从B到C走了40 m，从C到A走了9 m，则∠A+∠B的度数是______________.
90°
8.操场上A，B，O三人的两两距离如图17-15-6，若B在O的北偏东52°方向，则A在O的______________方向．
北偏西38°
B组
9.如图17-15-7，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路，经测量BC=6 km，AB=8 km，AC=10 km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为( )
A．4.8 km
B．9.6 km
C．2.4 km
D．5 km
A
10. 已知△ABC中，AB=k，AC=k-1，BC=3，当k=______________时，∠C=90°．
5
11. 如图17-15-8，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12 n mile，“海天”号每小时航行9 n mile，它们离开港口2 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______________的方向航行．
北偏西40°
12. 如图17-15-9，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12，△ABE的面积为60，△ABC是否为直角三角形？说明理由．
解：△ABC是直角三角形.
理由如下：
∵S△ABE= AB·DE=60，
∴AB= =10.
∴AB2=102=100.
又∵AC2+BC2=82+62=100，
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形．
C组
13. 如图17-15-10，正方形ABCD的边长是4，BE=CE，DF=3CF．求证：∠AEF=90°．
证明：如答图17-15-1，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°.
∵正方形ABCD的边长是4，BE=CE，DF=3CF,
∴BE=CE=2，CF=1，DF=3.
由勾股定理，得
AE2=AB2+BE2=42+22=20，
EF2=CE2+CF2=22+12=5，
AF2=AD2+DF2=42+32=25.
∴AE2+EF2=AF2.
∴△AEF是直角三角形.
∴∠AEF=90°．
14. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A,B,其中AB=AC.由于某种原因，由点C到点A的路现在已经不通，为方便游客决定，在河边新建一个漂流点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC=5 km，CH=4 km，BH=3 km.
(1)问CH是否为从旅游地C到河的最
近的路线？请通过计算加以说明；
(2)求原来路线AC的长.
解：(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线.
理由如下：
在△CHB中，
∵CH2+BH2=42+32=25，BC2=25，
∴CH2+BH2=BC2.
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°.
∴CH⊥AB，即CH是从旅游地C到河的最近的路线.
(2)设AC=AB=x km，则AH=(x-3) km.
在Rt△ACH中，由勾股定理，得
AC2=AH2+CH2，
即x2=(x-3)2+42.
解得x=
∴原来的路线AC的长为 km.
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数 学
课时导学案
教与学·课时导学案·数学·八年级·下册·配人教版(内文)
第一部分 新课内容
第十七章 勾股定理
第14课时 勾股定理的逆定理(1)——计算、判别
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，c所对的角是直角.
1. 判断由线段a=12，b=5，c=13为边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由.
解：∵122＋52=______________，132=______________，
∴122＋52______________132.
∴这个三角形______________(“是”或“不是”)直角三角形,边______________所对的角为直角.
169
169
=
是
c
典型例题
知识点1：
用勾股定理的逆定理判定直角三角形
解：∵a2+b2≠c2,
∴该三角形不是直角三角形.
【例1】 判断下列以a，b，c为三边的三角形是不是直角三角形.
(1)a=3，b=5， c=6；
(2)a=3, b=2 c=
解：∵a2+b2=c2，
∴该三角形是直角三角形.
变式训练
解：∵a2+b2≠c2，
∴该三角形不是直角三角形.
2. 试判断下列以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形，并指出哪条边所对的角是直角.
(1)a=5，b=7，c=9；
(2)a=5，b=2 c=1.
解：∵a2=b2+c2,
∴该三角形是直角三角形，
边a所对的角是直角.
知识点2：
在网格中判定直角三角形
【例2】 如图17-14-1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，点A，B，C均在格点上(每个小正方形的顶点叫格点).
(1)AB=______________，BC=______________，AC=______________；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由.
2
5
解：（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2=5，BC2=20，AC2=25，
∴AB2+BC2=AC2.
∴△ABC为直角三角形.
变式训练
3. 如图17-14-2，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上.
(1)计算边AB,BC,AC的长;
(2)判断△ABC的形状，并说明理由.
解：(1)∵每个小正方形的边长都是1，
∴AB= BC=
AC=
(2)△ABC是等腰直角三角形，理由如下:
∵AB2+BC2=13+13=26，AC2=26，
∴AB2+BC2=AC2.
∴△ABC是直角三角形.
又∵AB=BC=
∴△ABC是等腰直角三角形.
知识点3：
勾股定理的逆定理的简单计算和证明
【例3】 如图17-14-3.
(1)求证：CD⊥BD；
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)证明：∵∠A=90°，
∴BD2=AD2+AB2=400.
∵CD2=225，BC2=625，
∴BD2+CD2=BC2.
∴△BCD为直角三角形.
∴CD⊥BD.
(2)解：∵BD2=400，
∴BD=20.
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
= AD·AB+ CD·BD
= ×12×16+ ×15×20
=246.
变式训练
4. 如图17-14-4，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=CD=1，AD= 试求四边形ABCD的面积.
解：如答图17-14-1，连接AC．
∵∠B=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=
∴AC2=5．
又∵CD2=1，AD2=6，
∴AC2＋CD2=AD2．
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°．
∴S四边形ABCD =S△ABC＋S△ACD
= AB·BC＋ CD·AC
= ×2×1＋ ×1×
=1＋
分层训练
A组
5. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 1， B. 6，8，10
C. 4，5，9 D. 5，12，18
6. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的面积是______________.
B
6
B组
7. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A. 三条边的比为1∶2∶3
B. 三条边满足a2=b2-c2
C. 三条边的比为1∶1∶
D. 三条边的比为1∶ ∶2
A
8. 如图17-14-5是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则∠ABC的度数为______________.
45°
9. 如图17-14-6，在△ABC中，CD是高，AD=4，CD=2，BD=1，求证：∠ACB=90°．
证明：∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵AD=4，CD=2，BD=1，
∴AC2=AD2+CD2=42+22=20，
BC2=BD2+CD2=12+22=5，
AB2=（BO+AD）2=（1+4）2=25．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形.
∴∠ACB=90°．
10. 如图17-14-7，在△ABC中，AB=4，BC=2，DB=1，CD=，求AC的长度.
解：∵BC=2，DB=1，CD=
∴DB2+CD2=1+3=4，BC2=22=4.
∴DB2+CD2=BC2.
∴△CDB是直角三角形，∠CDB=90°.
∴∠CDA=90°.
∵AB=4，BD=1，
∴AD=AB-BD=3.
∴AC=
C组
11. 如图17-14-8，一块铁皮(图中阴影部分)，测得AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°. 求阴影部分的面积.
解：如答图17-14-2，连接AC.
∵△ABC中，∠B=90°，
AB=3，BC=4，
∴AC= =5.
∴AC2=25.
又∵CD2=144，AD2=169，
∴AC2+CD2=AD2.
∴△ACD是直角三角形.
∴S阴影=S△ACD-S△ABC
= AC·CD- AB·BC
= ×5×12- ×3×4
=30-6
=24.
12. （创新题）如图17-14-9，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t s，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
(1)当t=2 s时，则AD=______________；
(2)在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．
21
解：（2）△CBD能为直角三角形.理由如下：
∵∠ABC=90°,
AB=20,BC=15,
∴AC= =25.
①如答图17-14-3，当∠BDC=90°时，
∵S△ABC= BC·AB＝ AC·BD，
∴BD= = =12.
在Rt△BCD中，由勾股定理,得
CD= =9.∴t=
②如答图17-14-4，当∠CBD=90°时，此时点D和点A重合，
∴t=
综上所述，t的值是 或
谢 谢
