麓山国际实验学校2022-2023学年高二下学期入学考试
数学 参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B C D B A
二、多项选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ACD ACD CD AC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．60° 14．180
15． 16．66；
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．【分析】
（1）利用平均数公式求解即可．
（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率．
（3）利用条件概率公式计算即可．
【解析】
解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的频率为：
，
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间，为事件，此人患这种疾病为事件，
则．
18．【分析】
（1）根据已知条件，设出圆的方程，再结合两点之间的距离公式，以及直线垂直的性质，即可求解．
（2）先求出直线的定点，再判断定点在圆内，再结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．
【解析】
解：（1）圆心在轴上，
可设圆的方程为，
圆与直线相切于点，
，解得，，
故圆的方程为．
（2）直线，
，令，解得，
直线过定点，
圆的方程为．
则圆心，半径，
，故定点在圆的内部，
当直线与直线垂直时，弦取得最小值，
，，
，
弦的最短长度为．
19．【分析】
（1）利用条件列出方程，求出公差与公比，得到通项公式．
（2）解法一：利用；．项数是奇数项与偶数项分别求解数列的和．
解法二：通过，偶数项转化为两个等比数列求和；奇数项借助偶数项的和求解数列的和．
【解析】
解：（1）由题意，得
由①，得．代入②中，可得．
解得，或．因为公比，所以舍去，从而．
所以．
所以，．
（2）．
解法一：由题意，；．
当时，
．
当时，．综上，
解法二：
当时，
．
当时，．
综上，
20．【分析】
（1）过在平面内作直线，推得为平面和平面的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设，0，，运用向量法，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，以及基本不等式可得所求最大值．
【解析】
解：（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
设平面中有任一直线，则直线，
，直线，
由线面垂直的定义得平面；
（2）如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系
则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，
设，0，，，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，
可得，0，，
，，
与平面所成角的正弦值为
，当且仅当取等号，
与平面所成角的正弦值的最大值为．
21．【分析】
（1）建立适当的平面直角坐标系，由题意设抛物线的方程，可得焦点的坐标，设的坐标，求导可得在点的切线的斜率，再求在点的法线的斜率，设过点法线的方程可得法线在轴的交点的斜率，由向量的关系求出余弦值，进而求出正切值的平方恰好为法线的斜率，可证得结论；
（2）由反射角等于入射角，可得相似三角形，进而可得对应边的比相等，由勾股定理可得的值．
【解析】
解：（1）证明：以抛物线的的顶点为坐标原点，对称轴为轴，开口方向为轴正方向建立平面直角坐标系，
则曲线的方程为：，则焦点，，
设，为轴上方抛物线上任意一点，
当时，，，
所以在点处的切线的斜率，
在点处的法线的斜率为，
所以在点处法线的方程为：，与轴的交点，，
所以，
所以，
由对称性可知，当光源位于时，此时发出的一束不与重合的光线经反射后与平行；
（2）设分别有，发出的两束不与重合的关系均经上点反射，反射后的光线分别为，，则由（1）可知轴，
所以，
又由光线反射后的反射角等于入射角，，
所以，所以△△，
所以，
当时，，，
所以轴，△为直角三角形，
由，
由勾股定理可知：．
22．【分析】
（1）对函数求导研究其在定义域内单调性，由于函数在恒大于等于0，故（1），解出的范围即可．
（2）首先将原不等式转化为证明，再利用函数在单调递增，即转化为证明，继而构造函数证明其在恒小于0即可．
【解析】
解：（1）的定义域为，，
令，解得，故函数在单调递减，单调递增，
故（1），要使得恒成立，仅需，
故，故的取值范围是，；
（2）证明：由已知有函数要有两个零点，故（1），即，
不妨设，要证明，即证明，
，，
即证明：，又因为在单调递增，
即证明：，
构造函数，，
，
构造函数，
，因为，所以，
故在恒成立，故在单调递增，
故（1）
又因为，故在恒成立，故在单调递增，
又因为（1），故（1），
故，即．得证．麓山国际实验学校2022-2023学年高二下学期入学考试
数 学
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
2.如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过)时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.位于坐标原点的一个支点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动次后位于点的概率为( )
A. B.
C. D.
5.袋子中有大小形状完全相同的个黑球，个白球，现从袋子中有放回地随机取球次，取到白球记分，黑球记分，记次取球的总分数为，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列是递增数列，且，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在的展开式中，下列说法正确的有( )
A.展开式中所有奇数项的二项式系数和为
B.展开式中所有项的系数和为
C.展开式中二项式系数的最大项为第五项
D.展开式中含项的系数为
10.已知曲线( )
A.若，则是椭圆，其焦点在轴上
B.若，则是圆，其半径为
C.若，则是双曲线，其渐近线方程为
D.若，，则是两条直线
11.如图，四边形为正方形，平面，，.记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A.
B.
C.
D.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，，…，，且，，定义的信息熵( )
A.若，则
B.若，则随着的增大而增大
C.若，则随着的增大而增大
D.若，随机变量所有可能的取值为，，…，，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为________.
14.如图，用种不同颜色给图中的、、、四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种.
15.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则的离心率为________.
16.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是颗珠宝，第二件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第四件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第五件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第件首饰上应有________颗珠宝；则第件首饰所用珠宝总数为________颗.(结果用表示)
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患者的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到).
18.已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆交于，两点，求弦的最短长度.
19.已知公差为的等差数列和公比的等比数列，其中，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，抽去数列的第项、第项、第项、…、第项、…，余下的项的顺序不变，构成一个新的数列.求数列的前项和.
20.如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为.
(1)证明：平面；
(2)已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
21.汽车前照灯主要由光源、反射镜、配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线，已知的焦点为，焦距为，对称轴为.
(1)证明：当光源位于时，此时发出的一束不与重合的光线经反射后与平行；
(2)设，当光源位于上由向的开口方向平移个焦距长度的点时，此时发出的一束不与重合的光线经上点反射后又经过上的点，若，求.
22.已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则.
