银川市西夏区2022-2023学年高三下学期开学考试
数学（理科）试卷答案
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查了集合的运算，属于基础题．
先化简集合，再计算，最后计算．
【解答】
解：，，
，
．
故选C．
2. 已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题．
求出，即得解．
【解答】
解：因为，
所以，
所以．
故选：．
3. 对于直线和平面，的一个充分条件是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查空间面面垂直的判断及充要条件，属于基础题．
对所给选项一一判断即可．
【解答】
解：，，，
则也可能，故A错误；
B.，，，
则，所成的角不一定是，其他角度也可以，故B错误；
．，，，
由面面垂直的判定定理可以证明，
故C正确．
，因为，，所以，而，所以得到，所以D错误，
故选C．
4. 已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查了分式不等式的解法、基本不等式的性质，属于中档题由不等式，解得，可得，，由于点在直线上，可得，再利用“乘法”和基本不等式即可得出．
【解答】
解：不等式，
解得，
不等式的解集为，
，，
点在直线上，
，
化为，，
，
当且仅当时取等号，
则的最小值为．
故选C．
5. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的两项积的对数值求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
推导出是以为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值．
【解答】
解：现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每上层的数量是下层的倍，总共有个“浮雕像”，
这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，
则是以为公比的等比数列，
，，
解得，
．
故选：．
6. 函数的定义域为，对任意的，有，且函数为偶函数，则( )
A. B.
C. D.
【答案】
B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查函数的基本性质，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，再比较大小，即可得到结论．
【解答】
解：由题意得：
对任意，，，
在上为减函数，
，
又函数为偶函数，
，
即，
，
．
故选B ．
7. 若点在不等式组内，点在曲线上，那么的最小值为
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示圆上的点到可行域的距离，只需求出圆心到可行域的距离的最小值即可．
【解答】
解：根据约束条件画出可行域：
表示圆上的点到可行域的距离，
当在点处时，求出圆心到可行域的距离内的点的最小距离，
当在点处最小，最小值为，
故选D．
8. 函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的作法，函数图象的应用，对数函数及其性质，函数的奇偶性，属于中档题．
先由是偶函数排除，，当时，，，，，可得结论．
【解答】
解：函数的定义域关于原点对称，
，为偶函数，排除，，
当时，，，，，B错误，A正确．
故选A．
9. 如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点设则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理、点到直线的距离，属于中档题．
本题首先可根据得出，然后根据、得出，最后利点到直线的距离求得的最小值．
【解答】
解：因为，所以，
因为，，所以，
因为、、三点共线，所以，，
则表示点到原点距离的平方，点在直线上，
而原点到直线的距离为：
，．
故选A．
10. 如图为函数的部分图象，则( )
A. 函数的周期为
B. 函数是偶函数
C. 函数在区间上恰好有三个零点
D. 对任意的，都有
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象与性质，属于中档题．
由图象上两点关于原点对称得到周期求出再由求得，确定解析式，再由函数的图象与性质逐个判断．
【解答】
解：因为，所以．
因为在处附近单调递增，所以，故
因为，即，
又在处附近单调递减，且在时在处第一次取值为，
所以，可得，所以
对于，的最小正周期，错；
对于，是奇函数，错；
对于，当时，，
令可得，即，则在上恰好有三个零点，C正确；
对于，，故不是的最大值，错．
11. 设函数在上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性以及函数单调性的应用，属于中档题．
解题关键在于新函数的构造，根据题意可求得为偶函数，且在上单调递减，对不等式变形利用函数单调性即可求解．
【解答】
解：设，
，
，即为偶函数，
，
为偶函数，
时，，
，
在上单调递减，
，
，
，
，
，解得．
12. 椭圆的左右焦点分别为、，直线与交于、两点，若，，当时，的离心率的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象与性质，椭圆的标准方程和椭圆的性质，属于较难题．
利用椭圆的对称性，结合平面几何知识得，从而得，，利用椭圆的定义得，再利用椭圆的离心率得，再利用函数的最值，计算得结论．
【解答】
解：如图：
因为直线与椭圆交于、两点，所以点、关于原点对称．
因为、关于原点对称，所以四边形是平行四边形，
又因为，所以，
因此，所以由，得，．
又因为，
所以，
即．
又因为，所以，
因此，
所以，即椭圆的离心率的最小值为．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在中，，，分别是角，，的对边．若，，成等比数列，且，则的大小是______．
【答案】
【解析】解：由已知，，成等比数列，
所以，
由，得，
所以，得，
由余弦定理得，
因为，
所以．
故答案为：．
由题知，根据余弦定理即可解决．
本题主要考查了等比数列的性质及余弦定理的应用，属于基础题．
14. 在平面直角坐标系中，角的始边落在轴的非负半轴，终边上有一点是，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查任意角三角函数，考查微积分定理的应用，依题意，得，，即可求得结果．
【解答】
解：因为角的始边落在轴的非负半轴，终边上有一点是一，，，
所以，则．
故答案为．
15. 在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查四面体外接球的表面积，属中档题．
由题意可采用割补法．考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可将其补形为一个长方体，进而求解即可．
【解答】
解：由题意可采用割补法．考虑到四面体的四个面为全等的三角形，
所以可将其补形为一个长、宽、高分别为，，的长方体，
如图，且，
则为四面体外接球的半径，
即，所以外接球的表面积．
故答案为．
16. 过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为、，若的最小值为，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆中最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，属于中档题．
求得两圆的圆心和半径，则、是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【解答】
解：由得，，
则、是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，
，当在轴上时， 最小为，
则最小值为，解得．
故答案为：．
故答案为．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列满足，的前项和为．
求及；
记，求．
【答案】
解：设等差数列的公差为，
．
由知：，
．
【解析】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查利用裂项相消法求数列的和．
根据已知可得进而求出数列的通项公式和求和公式；
化简，再根据裂项相消法求和．
18. 本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答．
问题：已知的内角，，的对边分别为，，，，，________，角的平分线交于点，求的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
解：若选条件：由，可得，
因为，，所以．
在中，由，
所以，所以．
法一因为为角平分线，所以，故，
，
在中，，可得．
法二因为为角平分线，所以，
因为，所以，
解得．
若选条件：由 ，可得，
因为，所以，可得，
因为，所以，故，可得．
下同条件
若选条件：由，可得，
在中，由，
所以，所以．
下同条件
【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式以及三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
选，由面积公式得到，由余弦定理可得，因为为角平分线，所以，法一在中，利用正弦定理即可求得，法二由，即可解得
选，由正弦定理化已知为，再利用辅助角公式得到，求得，再同条件即可解答；
选，由，可得，在中，利用余弦定理求出，再利用勾股定理得到，再同条件即可解答．
19. 本小题分
在多面体中，四边形为菱形，，平面平面，，，C.
若是线段的中点，证明：平面平面
求二面角的正弦值．
【答案】
解：证明：连结，
四边形为菱形，，是等边三角形，
是线段的中点，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，平面平面．
解：连结，，，，
平面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则，．
二面角的正弦值为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
连结，推导出，从而平面，由此能证明平面平面．
连结，则，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
20. 本小题分
已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形．
求椭圆的标准方程；
过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长；
过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程．
【答案】
解：
依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：；
由知，，故该直线为：，和椭圆联立：
，整理可得，故，由弦长公式，
显然的斜率存在否则轴，根据对称性，，与题设矛盾，设直线为：，和椭圆方程联立得，，
，则，故，
由韦达定理可得：，，
于是，，故，
即，
化简可得，解得，
故直线为：
【解析】
【分析】根据题干条件求出即可得到椭圆标准方程；
联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解；
联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解．
21. 本小题分
已知函数，．
当时，在上恒成立，求实数的取值范围
当时，若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】
解：由，可得，即，
记 ，则在上恒成立等价于，
求得 ，
当时，；
当时，，
故在处取得极小值，也是最小值，
即，
故，
即实数的取值范围为．
函数在上恰有两个不同的零点等价于方程，在上恰有两个相异实根，
令，则 ，
当时，，
当时，，
在上是单调递减函数，在上是单调递增函数，
故，
又，，
， 只需，
故的取值范围是．
【解析】本题主要考查导数的应用，熟悉导数求函数的单调性是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．
由，我们可以由在上恒成立，得到，即在上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数的取值范围；
当时，我们易求出函数的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为，在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知曲线为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．
求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
设射线与相交于，两点，与相交于点异于，若，求．
【答案】
解：由曲线：为参数，消参得，
则曲线的极坐标方程为：，
曲线：两边同时乘以得，
，即，
则曲线的直角坐标方程为：．
将代入，得，
即，解得，，所以．
又，而，所以．
【解析】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题．
直接利用公式可得曲线的极坐标方程，利用公式可得曲线的直角坐标方程．
将代入，得，解得，，所以又，而，得出结果．
23. 本小题分
设函数．
当，时，求不等式的解集
已知，，函数的最小值为，求证：．
【答案】
解：当，时，，
所以或或，解得或．
因此不等式的解集的或；
证明：，当且仅当时等号成立，
，
则，
当且仅当时．等式成立．
【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想，考查运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．
将，代入函数，并把函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；
利用绝对值不等式的性质结合题意可得，再利用基本不等式即可得证．银川市西夏区2022-2023学年高三下学期开学考试
数学（理科） 试卷
(试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟)
审核人：
单选题（共12题，每题5分，共60分）
1. 已知全集U=R，集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知复数z满足，则( )
A. B. 4 C. D. 32
3. 对于直线m,n和平面，的一个充分条件是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4. 已知不等式的解集为，点A(a,b)在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则的最小值为( )
A. B. 8 C. 9 D. 12
5. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为( )
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
6. 函数f(x)的定义域为R，对任意的，有，且函数f(x+1)为偶函数，则( )
A. B.
C. D.
7. 若点P在不等式组内，点Q在曲线上，那么的最小值为
A. B. C. D.
8. 函数的图像大致为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，点o满足，过点o的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N设则的最小值是( )
A. B. 2 C. D.
10. 如图为函数的部分图象，则( )
A. 函数f(x)的周期为
B. 函数是偶函数
C. 函数f(x)在区间上恰好有三个零点
D. 对任意的，都有
11. 设函数f(x)在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
12. 椭圆的左右焦点分别为F1,F2，直线L:y=kx与C交于A、B两点，若，，当时，C的离心率的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在中，a,b,c分别是角A,B,C的对边a,b,c成等比数列，且a2-c2=(a-b)c，则A的大小是______．
14. 在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴的非负半轴，终边上有一点是，若，则___________．
15. 在四面体ABCD中，若，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ．
16. 过双曲线的右支上一点P，分别向圆C1：和圆C2：作切线，切点分别为M,N,，若的最小值为58，则r= ________．
三、解答题（本大题共7小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题12分)
已知等差数列满足a3=7，a5+a7=26的前n项和为Sn．
（1）求an及sn；
(2)记，求Tn．
18.(本小题12分)
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答．
问题：已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,，c=1，________，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
19.( 本小题12分)
在多面体ABCC1A1B1中，四边形ABB1A1为菱形，，平面平面ABC，，，C.
(1)若o是线段AB的中点，证明：平面平面B1OC
(2)求二面角的正弦值．
20. ( 本小题12分)
已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、,F2，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1，斜率为的直线与椭圆相交M,N两点,求MN的长；
(3)过点F1的直线与椭圆相交于A,B两点，，求直线AB的方程．
21.(本小题12分)
已知函数，．
（1）当a=0时，在上恒成立，求实数m的取值范围
(2)当m=2时，若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
22.( 本小题10分)
在平面直角坐标系xoy中，已知曲线为参数)，以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．
（1））求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)设射线与C1相交于A,B两点，与C2相交于M点(异于O),若，求a
23.( 本小题10分)
设函数．
(1)当a=1,b=2时，求不等式 的解集
(2)已知a>0,b>0时函数f(x)的最小值为1,求证：
