银川市西夏区2022-2023学年高三下学期开学考试
数学（文科）试卷
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17. 解：选择条件，
Ⅰ由余弦定理得，即，
，
，
，
即，
联立，解得，，
故．
Ⅱ在中，，
，
由正弦定理可得，
，
．
选择条件，
Ⅰ在中，，，，
，，
，，
由正弦定理可得，
，
，
，，
故；
Ⅱ在中，，
，
．
18. 解：Ⅰ．
证明：Ⅱ取的中点，连接，，
，是，的中点，
，．
四边形是正方形，是的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
Ⅲ平面，平面，
，又，，平面，，
平面，平面，
，又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，，，
≌，
，是中点，
．
又，平面，平面，，
平面，平面，
平面平面．
19. 解：，
是公比为的等比数列，
又 ，解得，
是以为首项，公比为的等比数列通项公式为．
前项和 ．
20. 解：设椭圆的方程为，由题意，，，，，
椭圆的方程为．
左焦点，右焦点，设，，
则直线的方程为，由
消得，
，，
，
点到直线的距离，
所以
21. 解：当时，，
则，
令，得；令，得，
从而在上单调递减；在上单调递增．
令，
显然，所以，
令，
问题转化为直线与函数的图象有两个交点，
所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的极小值为，
当时，，当时，，
所以当时，与的图象有两个交点，
所以的取值范围为．
22. 解：把，代入极坐标方程，
得，
直线：为参数，
消去得：，
曲线的直角坐标方程和直线的普通方程分别是，．
将为参数代入，
整理得．
，
设，是方程的根，
则，，
，
，
．
【解析】
1. 解：集合，，
．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由复数相等的条件列式求得，的值，则答案可求．
【解答】解：由，得，
，即．
．
故选B．
3. 【分析】
本题考查向量的模，单位向量的定义及向量的数量积，利用，根据向量的平方与它的模的平方相等，且，即可求解．
【解答】
解：，
．
故选A．
4. 【分析】
本题主要考查了诱导公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
由已知结合诱导公式进行化简先求，然后结合和差角及辅助角公式进行化简可求．
【解答】
解：因为，
所以．
故选：．
5. 【分析】
本题考查对数运算的应用，属基础题，
先利用对数的运算性质求得的近似值，得到，然后再利用指数的运算法则计算得到．
【解答】
解：因为，
所以，
则．
故选D．
6. 【分析】
本题考查函数图象的识别，考查函数奇偶性、单调性的判断，属于中档题．
判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的性质，运用排除法进一步得解．
【解答】
解：因为，定义域为，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除、；
当时，设，
，
所以函数在上是减函数，
则，
所以当时，，因此排除，故C正确．
故选C．
7. 【分析】
本题考查等比数列的性质与通项公式，等比数列的性质．
由已知及等比数列的性质可得或，解得 、的值，利用等比数列的通项公式得出．
【解答】
解：为等比数列，，，
解得或，
则或，
当时，；
当时，．
故选D．
8. 【分析】
本题考查正方体的结构特征，线面平行的判定，棱锥的体积，二面角，点到线的距离，考查逻辑推理和空间想象能力，属于中档题．
由线面平行的判定定理判定；由棱锥的体积公式判断；由二面角的定义结合余弦定理判断，由到直线的距离判断．
【解答】
解：对于，由题意，平面即为平面，由正方体可得，平面，平面，平面，故A正确；
对于，三棱锥的底的面积为定值，到面的距离为定值，故其体积为定值，故B正确；
对于，取的中点，连接，，易知，，则为二面角的平面角，
在正中，，则，同理，，
由余弦定理可得，即二面角的余弦值为，故C正确；
对于，当时，则的中点，即为的中点，由选项C可知，，则点到线段的的距离为错误，故D错误．
9. 【分析】
本题考查了三角形的解法与应用问题，也考查了运算求解能力与推理判断能力，是中档题．
由题意结合三角形内角和定理以及正线、余弦定理，逐一分析三个条件即可得出结论．
【解答】
解：在中，已知，，，
由解三角形知识可得，及．
中，给出和，由，
可得，故由可求得；
中，给出和，由，
得，
由和，可得，减去可得，
在中，由余弦定理可得，故由可求得；
中条件已知和，利用三角形内角和定理，可化为与等价问题，也可求得．
所以可求出，间距离的有组．
故选：．
10. 【分析】
本题考查利用导数求函数的单调性，以及构造新的函数求解的方法，属于中档题．
令，求导得到单调递增，可得结果．
【解答】
解：令，
则，
故是上的单调增函数，而，
故不等式的解集为．
故选：．
11. 【分析】
本题考查直线与椭圆位置关系及椭圆的性质，属于中档题．
在中，设，则，，由，得，
，从而，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，
直线与椭圆的一个交点满足，
如图，在中，因为，所以，
则，，
，
，，
，
该椭圆的离心率为．
故选B．
12. 【分析】
本题考查球的表面积公式，棱锥的体积，球的几何特征，属于中档题．
设正四棱锥的底面边长为，高为，由题意列方程组求出和，即可求出正四棱锥的体积．
【解答】
解：设正四棱锥的底面边长为，高为．
因为球的表面积为，所以，解得：．
如图示：在正四棱锥中，侧棱，，则面．
因为，侧棱，所以外接球的球心在的延长线上．
由题意可得：，即，解得： ．
所以该正四棱锥的体积为：．
故选D．
13. 【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了逻辑推理能力、数学运算能力，属于基础题．
根据等差数列通项公式以及求和公式列关于首项与公差的方程组，即可得出结果．
【解答】
解：因为，，
所以，
解得．
故答案为：．
14. 解：实数，满足约束条件，
则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
由已知可得，
由图可知：当直线过点时，取最大值，
则的最大值是，
故答案为：．
先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．
本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．
15. 【分析】
本题主要考查函数的周期性及奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题．
由题意可知：，由函数的周期性可知：周期为，则，由为偶函数，则，即可求得答案．
【解答】
解：由，则，
为周期为的周期函数，
，
由是定义在上的偶函数，则，
当时，，
，
，
故答案为．
16. 解：由双曲线定义可知，，
，当且仅当三点共线时等号成立；
，当且仅当三点共线时等号成立；
所以，．
17. 本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
选择条件
Ⅰ由余弦定理求出，再结合，即可求出的值，
Ⅱ由正弦定理可得，再根据三角形的面积公式即可求出，
选择条件
Ⅰ根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得，再结合，即可求出的值，
Ⅱ由两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可求出．
18. 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
Ⅰ，直接计算即可．
Ⅱ取的中点，连接，，则可证四边形是平行四边形，得出，故AE平面；
Ⅲ由平面得出，又推出平面，故AB，于是四边形是矩形，得出，由≌得，故而，于是平面，从而得出平面平面．
19. 本题考查等比数列和数列求和，属于中档题．
由题意知公比为，把等比数列的求和公式代入即可求解；
采用裂项相消求和．
20. 【分析】根据条件，直接求，求得椭圆方程；直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，，代入弦长公式，最后代入面积公式．
21. 本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，属于中档题．
先求导，根据导函数的正负可得出函数的单调性；
先分离参数得，再构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值，即可得出的取值范围．
22. 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，属于中档题．
利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程进行转换；
利用参数方程的几何意义，一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．银川市西夏区2022-2023学年高三下学期开学考试
数学（文科）试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知，是虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是，则等于( )
A. B. C. D.
4. 已知在中，，那么等于( )
A. B. C. D.
5. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为则下列各数中与最接近的是参考数据：( )
A. B. C. D.
6. 函数的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
7. 已知为等比数列，，，则
A. B. C. D.
8. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是( )
A. 平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 二面角的余弦值为
D. 当时，点到的距离为
9. “湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长某同学为了测量澜飞湖两侧，两点间的距离，除了观测点，外，他又选了两个观测点，，且，已经测得两个角，，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出，间距离的有组( )
和；和；和
A. B. C. D.
10. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中为自然对数的底数的解集为( )
A. B. C. D.
11. 已知椭圆的左右焦点分别是，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足 ，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
12. 已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为，则该正四棱锥的体积为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设等差数列的前项为，若，，则公差________．
14. 已知实数，满足约束条件，则的最大值是______．
15. 已知是定义在上的偶函数，且若当时，，则 ．
16. 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：
Ⅰ的值；
Ⅱ和的面积．
条件：，；
条件：，．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面正方形，为侧棱的中点，为的中点，．
Ⅰ求四棱锥体积；
Ⅱ证明：平面；
Ⅲ证明：平面平面．
19. 本小题分
设数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和
20. 本小题分
设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为．
求这个椭圆的方程；
若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，求的长及的面积．
21. 本小题分
已知函数
当时，讨论的单调性
若有两个零点，求的取值范围．
22. 本小题10.0分
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线．
求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
若直线与曲线相交于，两点，计算弦长及的值．
第2页，共2页
