陕西省安康市2022-2023学年高二下学期开学摸底考试理科数学试题（含解析）

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安康市2022-2023学年高二下学期开学摸底考试
理科数学试题
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线l，m与平面，其中，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A. B. C.1 D.
4.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，90分及以上为优秀，则下列说法中错误的是（ ）
A.估计该省考生数学成绩的中位数为75分
B.若要全省合格考的通过率达到96%，则合格分数线约为44分
405060708090100分
C.从全体考生中随机抽取1000人，其中成绩优秀的考生约有100人
D.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则数学成绩的平均分约为70.5
5.若直线l将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C.或 D.或
6.已知A为抛物线C：（）上一点，点A到C的焦点的距离为6，到y轴的距离为3，O为坐标原点，则
A. B.6 C. D.9
7.已知双曲线C：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为2，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数，则（ ）
A.的最大值为4
B.的图象关于点对称
C.在单调递增
D.将函数的图象向左平移个单位得到一个奇函数
10.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（ ）
A.1∶1 B.2∶1 C.2∶3 D.3∶2
11.已知斜率为的直线l与椭圆E：（）相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.正四面体的顶点都在半径为的球O的球面上，过点A，B，O作平面截该正四面体所得截面面积为（ ）
A.2 B. C.4 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.记知x，y满足约束条件，则的最小值为_____________.
14.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_____________.
15.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍 ”指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个“刍 ”，四边形为等腰梯形，，，，则该“刍 ”的体积为_____________.
16.已知双曲线C：（，）的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线在第一象限的交点为P，直线与另一条渐近线交于点Q，且Q是线段的中点，则双曲线C的离心率为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若的面积为，，求a的值.
18.（12分）
已知数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19.（12分）
如图，在直四棱柱中，，，，与交于点E.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
在直角坐标系中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：
（1）以为直径的圆能否经过点C？说明理由；
（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21.（12分）
已知点在抛物线C：上.
（1）求抛物线C的焦点到其准线的距离；
（2）设直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，且，求面积的最小值.
22.（12分）
已知椭圆C：（，c为椭圆的半焦距）的左，右顶点分别为A，B，左，右焦点分别为，，P为椭圆C上任意一点，且，当取得最大值时，的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线与的斜率之积为，证明：直线l过定点.
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C A D C A B C B D D
1.C 解析：，∴.
2.B 解析：如图1，满足，但，不垂直，充分性不成立，当时，∵，∴，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.
3.C 解析：由已知可得.
4.A 解析：由频率分布直方图知中位数位于，设其为，则，解得，故A错误；要使全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为，则，解得，故B正确；由频率分布直方图可知成绩优秀的频率为0.1，∴人数约为，故C正确；由频率分布直方图估计平均分为，故D正确.
5.D 解析：由题意可得直线过圆心，当过原点时，其方程为；当不过原点时，设：，则，此时方程为.
6.C解析：由已知及抛物线的定义可得，解得，∴抛物线方程为，∴，.
7.A 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴双曲线的渐近线方程为.
8.B 解析：取的中点，连接交于点，连接，则且，∴为异面直线与所成的角或其补角.易求，，∴，∴.
9.C 解析：，其最大值为2，故A错误；，故B错误；∵，∴，由在单调递增可得在单调递增，故C正确；将函数的图象向左平移个单位得到函数，为偶函数，故D错误.
10.B 解析：由题意漏下来的沙子是全部沙子的，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，可以单独研究下方圆锥，∴，∴，∴.
11.D 解析：如图，设，，直线方程为.∵C，D分别是线段的两个三等分点，∴，，中点.由，两式相减得，整理得，∴，∴.
12.D 解析：如图，将正四面体放置在正方体中，则球即为正方体的外接球.设正方体的棱长为，则，∴.取的中点，连接，，则为平面截该正四面体所得截面，其面积为.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.2
13. 解析：可行域是三点，，确定的三角形区域，表示可行域内的点与原点连线的斜率，故的最小值为.
14. 解析：椭圆的上顶点坐标为，左右顶点坐标为，设圆的圆心，则，解得，圆的半径为，故圆的方程为.
15. 解析：在取点M，H，使得，分别过点M，H作的平行线，交于N，L，连接，，则，，∴平面，∴平面平面，同理平面，∴五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，，过点F作，则平面，由已知可求得，，∴，，∴该五面体的体积为.
16.2 解析：如图，是以为直径的圆的弦的中点，∴，∴.∵直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，∴，∴，离心率.（或易得，进而求解）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解析：（1）∵，∴，∴，∴.（4分）
（2）由（1）及已知可得，解得，
由余弦定理得.（10分）
18.解析：（1）由已知令可得，
由得，两式相减得，即，
∴数列是等比数列，.（5分）
（2），∴，（7分）
∴，
∴.（12分）
19.解析：（1）分别取线段，的中点F，G，连接，，，
∵是线段的中点，，，∴，，
∴四边形是平行四边形，.
在中，是线段的中点，是线段的中点，∴，.
∵是线段的中点，∴，，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，∴.
∵平面，平面，∴平面.（5分）
（2）在直棱柱中，平面，，平面，∴，.
∵，，，平面，∴平面，
∵平面，∴.
不妨设，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，.
设平面的一个法向量，则，即，令得.
设直线与平面所成角的大小为，则，
即直线与平面所成角的正弦值是.（12分）
20.解析：（1）以为直径的圆经过点，理由如下：
设，，则，
直线与的斜率之积为，
∴，以为直径的圆经过点.（5分）
（2）设的中点为，则，即，，
由（1）知过，，三点的圆的方程为，
令得，∴圆在轴上截得的弦长为定值2.（12分）
21.解析：（1）将点代入方程，解得，∴抛物线的焦点到其准线的距离为4.（4分）
（2）设，，直线的方程为，联立，消去整理得，
∴，，，
∵，，即，即，
代入可得，即或（不符合题意，舍去）.
∴，
∴当时，面积有最小值64.（12分）
22.解析：（1）由得，∴.
又，当且仅当时等号成立，
∴，.
又，且，∴，，椭圆的标准方程为.（4分）
（2）由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立，化简得，
，∴，.
∵，∴，整理得，
∴，
∵（直线不过点），∴，解得，
∴直线：恒过点.（12分）