北山高级中学校2022-2023学年高一下学期入学考试
数学参考答案
1.【答案】C
【解析】因为，
所以，，
所以，
因为全集，
所以．故本题选C．
2.【答案】D
【解析】对于，，与的定义域不同，不是同一函数；
对于，，与或的定义域不同，不是同一函数；
对于，，与的对应关系不同，不是同一函数；
对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选．
3.【答案】B
【解析】对于．为对数函数，定义域为，定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数又不是偶函数，故A不满足条件；
对于令，的定义域为，定义域关于原点对称，
，所以是奇函数，即是奇函数，
由于，则，所以在上单调递增，符合题意，故B选项正确．
对于．为指数函数，，则不为奇函数，故C不满足条件；
对于．为反比例函数，定义域为，，则为奇函数，且在和均为增函数，故D不满足条件．故选：．
4.【答案】A
【解析】利用指数运算及性质得到
利用对数运算及性质得到，
所以．故选：A．
5.【答案】B
【解析】易知在上单调递增，
由表格得，且，
函数零点在，
一个近似值为．故选B．
6.【答案】C
【解析】点在直线上，
，．
．故选：C
7.【答案】B
【解析】设
则
，
等式在上有解，
则，，所以，
则实数的最小值为，故选B．
8.【答案】D
【解析】根据题意，设，
若函数是定义在上的奇函数，即，
则，
则为上的偶函数，
若，则，
又由对任意，，且时，都有成立，
即，即函数在上为减函数，
则在上，，
在上，，
又由，则在上，，
在，，
又由为奇函数，在在，，
综合可得：的解集为，故选：．
9.【答案】ABD
【解析】对于，当时，，故A是真命题；
对于，当时，则，当时，
则，则是的必要不充分条件，故B是真命题；
对于，集合与集合不表示同一集合，
前者为点集，后者为数集，故C是假命题；
对于，根据子集定义，时，集合中元素，全都在集合中，
不在集合中的元素一定不会在集合中，
当时，就是在集合内，不在集合中，
故一定不在集合中，
不在集合中就一定在集合的补集内，故，则，故D是真命题．
故选ABD．
10.【答案】ABD
【解析】函数，可得函数定义域为，故A正确；
设
由指数函数的单调性得到，函数值域为，故B正确；
在上是单调递增的，
而在定义域内是单调递减的，
根据复合函数单调性法则，得到函数在上单调递减，
故C错误；D正确．故选ABD．
11.【答案】AC
【解析】，
因为，A正确
当时，，所以函数在区间上单调递减，B错误
函数图象和轴交点为对称中心，
，
故函数的图象关于点对称，故C正确
对称轴必然过图象最高或最低点，
，
由此可知并不经过函数图象的最高或最低点，
故的图象不关于直线对称，D错误．故选AC．
12.【答案】ACD
【解析】作出函数的图象如图所示所以．
对于：任取，都有故A正确；
对于：因为，所以故B错误；
对于：由，得到，即故C正确；
对于：函数的定义域为作出和的图象如图所示：
当时，
当时，函数与函数的图象有一个交点
当时，因为，，所以函数与函数的图象有一个交点，所以函数有个零点故D正确．故选：．
13.【答案】
【解析】函数的定义域是，
函数的取值满足：
，解得，
故函数的定义域是．故答案为．
14.【答案】
【解析】由，，得．
．
15.【答案】
解析】如下图所示，
连接，设，
则，，
所以由基本不等式可得：
矩形的面积为，
当且仅当，即当时，等号成立，故答案为．
16. 【答案】
【解析】函数在上单调递增，
即实数的取值范围是．故答案为．
17.解：由得，，
所以，，或．
由得，，，
是的必要条件，，
，得，故的取值范围．
18.解：
，
所以的最小正周期，
由题意，解得，
所以的对称中心为
，，，
当，即，；
当时，，．
19.解：函数，
因为，所以，解得．
由知函数，定义域为，关于原点对称，
又，所以是奇函数．
函数在上单调递增，
证明如下：设，
则，
因为，所以，，所以，
故函数在上单调递增．
20.解：由题意，知当时，
；
当时，
，
所以．
当时，，
所以当时，；
当时，，
所以当时，．
因为，
所以当时，．
故当精加工蔬菜时，总利润最大，最大利润为万元．
21.解：因为，
所以，即．
当时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为．
由题意，关于的方程有两个不等的正根，
由韦达定理知解得．
则，
，
因为，，所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
此时，符合条件，则．
综上，当且仅当时，取得最小值．
22.解：由函数在上为增函数，
得到，解得，
又因为，所以或，
又因为函数是偶函数，
当时，，不满足为偶函数；
当时，，满足为偶函数；
所以；
，令，
由得：，
在上有定义，且，
在上为增函数，
当时，，
，解得，
因为，所以；
当时，，
，解得，
，此种情况不存在，
综上，存在实数，使在区间上的最大值为． 北山高级中学校2022-2023学年高一下学期入学考试
数学试题卷
单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
4.设，则，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值精确度为为( )
A. B.
C. D.
6.若点在直线上，则的值等于( )
A. B. C. D.
7.若不等式 在上有解，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.函数是定义在上的奇函数，且，若对任意，且，都有成立，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9.下列命题为真命题的是( )
A.
B. 是的必要不充分条件
C. 集合与集合表示同一集合
D. 设全集为，若，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 定义域 B. 值域为
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
11.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 存在，，当时，成立
B. 在区间上单调递增
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象关于直线对称
12.对于函数，下列结论中正确的是( )
A. 任取，，都有
B. ，其中
C. 对一切恒成立
D. 函数有个零点
填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数的定义域是，则函数的定义域是
14.设，，则___
15.如图，在半径为的半圆形为圆心铁皮上截取一块矩形材料，其顶点，在直径上，顶点，在圆周上，则矩形面积的最大值为 ．
16.已知函数是定义在上的增函数，
则实数的取值范围是__________。
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （满分10分）已知集合，集合，．
求，；
若是的必要条件，求的取值范围．
18.（满分12分）已知函数．
求的最小正周期和对称中心；
求在区间上的最大值和最小值．
19.（满分12分）已知函数，且．
求的值；
判定的奇偶性；
判断在上的单调性，并给予证明．
20.（满分12分）某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费万元与精加工的蔬菜量吨有如下关系：设该农业合作社将吨蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润扣除加工费为万元．
写出关于的函数表达式；
当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．
21.（满分12分）已知函数．
解关于的不等式；
若关于的不等式的解集为，，，求的最小值．
22.（满分12分）已知幂函数在上是增函数，也是偶函数．
求的值，并确定的解析式；
若且，是否存在实数使在区间上的最大值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
