射洪中学高级高三下学期入学考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1-5． BABDC 6-10． ABCDB
11． 【答案】C
【分析】由为真命题，为假命题，确定，一真一假，再结合命题内容，进行辨析即可.
【详解】∵为真命题，为假命题，
∴命题与命题中，恰有一个为真命题，另一个为假命题；
（1）若命题：“甲得第一”为真命题，命题：“乙得第二”为假命题，
则甲得第一，乙未得第二，∴乙得第三，∴命题：“丙得第三”为假命题，
此时为假命题满足题意，前三名的顺序为：甲得第一，丙得第二，乙得第三；
（2）若命题：“甲得第一”为假命题，命题：“乙得第二”为真命题，
则乙得第二，甲未得第一，∴甲得第三，∴命题：“丙得第三”为假命题，
此时为假命题满足题意，前三名的顺序为：丙得第一，乙得第二，甲得第三.
对于A，第（1）种情况中，甲得第一，满足题意，故选项A说法不正确；
对于B，第（2）种情况中，乙得第二，满足题意，故选项B说法不正确；
对于C，（1）、（2）两种情况中，丙均不是第三，故选项C说法正确；
对于D，（1）、（2）两种情况中，存在两种不同顺序，故根据题设不能确定甲、乙、丙的顺序，故选项D说法不正确.故选：C.
12． 【答案】A【分析】根据最小正周期求出，根据函数图像过点求出的值，再根据复合函数画出外层函数的图像，求出右端点的范围.
【详解】的最小正周期为2
又函数过点， 即，又
又，
若在区间内有4个零点，如图，则满足 所以
故选：A
二、填空题
13． 14． 15．【答案】－4
【分析】由向量的线性运算得，，然后计算数量积可得．
【详解】由已知，，
．
故答案为：．
16. 【答案】①③④
【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，进而根据抛物线的定义判断①；根据判断②；设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，根据解方程即可得判断③；根据直线与曲线的位置关系得过点，分别与抛物线相切的直线方程为，，进而联立方程解得可判断④.
【详解】解：由题知，，准线方程为，
对于①选项，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，故，故正确；
对于②选项，设，故，故错误；
对于③选项，当直线的斜率不存在时，，不成立；
故直线的斜率存在，设方程为，与抛物线方程联立得， 所以，
因为，
所以，即，解得，故正确；
对于④选项，设过点与抛物线相切的直线方程为，
与抛物线方程联立得，
所以，整理得，
所以，故即为，整理得
同理得过点与抛物线相切的直线方程为，
所以，联立方程，解方程得，
因为，所以
所以，即点的横坐标为，故正确. 故选：①③④
三、解答题
17.解：（1）因为，，
所以该产品这一质量指数的中位数在内，
设该产品这一质量指数的中位数为，则， 解得；
（2）由频率分布直方图可得，
即在和的产品分别由件，
采用分层抽样的方法抽取的6件产品中这一质量指数在内的有4件，记为，这一质量指数在内的有2件，记为，
从这6件产品中随机抽取2件的情况有，
共15种；其中符合条件的情况有，共8种， 故所求概率.
18．解：（1）设等比数列的公比为，
由得：，，解得：（舍）或，.
（2）由（1）得：，，
，，
， .
19. 解：（1）因为为的中点，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，所以，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为平面，所以平面.
（2）因为，
所以，
由平面为中点，所以点到平面的距离等于，
所以.
20．【分析】（1）求导得，再根据分类结论即可；
（2）分离参数得，令，借助的图象单调性分析即得的范围.
解:（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，故函数在上单调递减；当时，令，得，令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）函数在上有两个不同的零点，
等价于方程在上有两个不等实根， 即有两个解，
令，，则， 令，得，令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
时，，当时，，所以函数的图象大致如下：
， 的范围是.
【点睛】导数的几何意义；导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.
（1）根据导数的计算公式，结合导数的几何意义，以及直线的方程求解即可；
（2）利用导数研究函数的极值与单调性求解即可；
（3）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.
21．【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数a、b即可；
（2）由分析得，即，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可解得k；
（3）直接由斜率公式化简求值即可.
【详解】（1）短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为.
（2）直线l交y轴于，因为，则，所以，
联立直线方程与椭圆方程得，由得或，
由韦达定理得，把代入上式得①，②，得，解得，符合或，所以.
（3）证明：由韦达定理得
22．解:（1）由得，，将，，代入得.
当时，，消去t，得.
∴曲线C的直角坐标方程为，直线l的普通方程为.
（2）设A，B对应的参数分别为，，将代入得，
， ∴，，∴，异号，
∴， ∴，
解得或. ∵，∴或， ∴直线l的倾斜角为或.
23．解:（1）由题知：， ，
， ，
综上：所求不等式解集为.
（2）存在实数，使得不等式，
即存在实数，使得不等式有解，
因为时取等号，所以，解得，即.【考试时间:年月】
射洪高级高三下期入学考试
文科数学试题
(考试时间:分钟 试卷满分:分)
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题(本题共小题共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知集合,,若,则( ▲ )
A. B. C. D.
已知等比数列,则( ▲ )
A. B. C. D.
若满足,则的最大值为( ▲ )
A. B. C. D.
已知函数,则( ▲ )
A. B.为奇函数
C.在上单调递增 D.的图象关于点对称
榫卯,是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.春秋时期著名的工匠鲁班运用榫卯结构制作出了鲁班锁，且鲁班锁可拆解，但是要将它们拼接起来则需要较高的空间思维能力和足够的耐心.如图（1）,六通鲁班锁是由六块长度大小一样，中间各有着不同镂空的长条形木块组装而成.其主视图如图（2）所示,则其侧视图为( ▲ )
A. B.
C. D.
已知双曲线（，）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为( ▲ )
A． B． C． D．
若，且，那么是( ▲ )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
为响应“健康中国”的全民健身号召,某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲 乙两位同学在场比赛中的得分茎叶图如图所示,下列结论正确的是( ▲ )
A.甲得分的极差比乙得分的极差小 B.甲得分的平均数比乙得分的平均数小
C.甲得分的方差比乙得分的方差大 D.甲得分的分位数比乙得分的分位数大
若函数在处有极大值,则实数的值为( ▲ )
A. B.或 C. D.
已知三棱柱的个顶点都在球的球面上,若,则球的表面积为( ▲ )
A. B. C. D.
关于某校运动会米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题；“乙得第二”为命题；“丙得第三”为命题.若为真命题,为假命题,为假命题，则下列说法一定正确的为( ▲ )
A.甲不是第一 B.乙不是第二 C.丙不是第三 D.根据题设能确定甲、乙、丙的顺序
已知函数的最小正周期为,且函数图像过点，若在区间内有个零点,则的取值范围为( ▲ )
A. B. C. D.
二、填空题(本题共小题,每小题分,共分)
复数(其中是虚数单位)则 ▲ 。
.已知直线与圆相切,则实数 ▲ 。
在中,分别为的中点，则 ▲ 。
已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是 ▲ 。
①．若点，则的最小值是3
②．的最小值是2
③．若，则直线的斜率为
④．过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为
三、解答题(本大题共小题,共分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
.(本小题满分分)
某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)估计该产品这一质量指数的中位数；
(Ⅱ)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在和内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率.
.(本小题满分分)
已知数列是公比为正数的等比数列,且,.。
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)若,求数列的前项和。
.(本小题满分分）
如图，在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面底面分别为的中点..
(Ⅰ)求证：直线平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
.(本小题满分分)
已知函数。
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若函数有两个不同的零点,求的范围。
.(本小题满分分)
已知椭圆的短轴顶点为,短轴长是,离心率是,直线与椭圆交于两点,其中.。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若(其中O为坐标原点)，求k；
(Ⅲ)证明:是定值。
请考生在第两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
.(本小题满分分)选修:极坐标和参数方程选讲
在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数,）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为。
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程和当时,直线l的普通力程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于两点,且与x轴交于点F,,求直线l的倾斜角。
.(本小题满分分)选修:不等式选讲
已知函数,
(Ⅰ)当时,解不等式；
(Ⅱ)若存在实数,使得不等式,求实数的取值范围。
(二○二三年二月印制)
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高三文科数学
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