2.2 基本不等式 课后强化练习（含答案）

2.2 基本不等式 课后强化练习
一、单选题
1. 已知，，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
2. 已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3. 若，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
4. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5. 几何原本卷的几何代数法以几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为( )
A. B.
C. D.
6. 已知正数，满足，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
7. 下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知三个正实数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 设正实数，满足，则( )
A. B.
C. 有最大值 D. 有最小值
10. 已知实数，，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
11. 已知正数，满足，若，则的值可以是( )
A. B. C. D.
12. 设，，给出下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13. 若正数，满足，则的最小值是______ ．
14. 已知实数、满足，则的最小值为 ．
15. 已知正数，满足，则的最大值为______．
16. 已知正实数，满足，则的最小值为______ ．
四、解答题
17. 已知，求函数的最小值．
18. 已知．
19. 已知函数的最小值为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，证明：．
20. 若，求函数的最小值，并求此时的值；
已知，，比较与的大小．
21.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为吨，最大为吨．
年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本；
若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求最大利润．
参考答案
1.【答案】
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13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：，，
，
当且仅当，即时取等号，
．
18.【答案】证明：因为，，所以分
同理可证分
由，结合不等式的性质得分
19.【答案】解：Ⅰ当时，；
当时，；
当时，，
．
证明：Ⅱ由，得，
即，当且仅当时取等号，．
，
当且仅当时取等号，
，
即：．
20.【答案】解：由，得，当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为，且此时．
根据题意，，
由，，得，，
所以当时，，；当时，，．
21.【答案】解：由题意可得，，
，
当且仅当是，即取“”号，符合题意，
年产量为吨时，平均成本最低为万元．
设利润为，则，
又，当时，．
答，年产量为吨时，最大利润为万元．