数学人教A版（2019）必修第二册6.2.3向量的数乘运算（共19张ppt）

(共19张PPT)
§6.2.3向量的数乘运算
及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，由头指尾
特点:共起点
B
A
O
特点：起点相同连终点，被减向量定方向
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
讲授新课
思考题1:已知向量 如何作出 和
O
A
B
C
N
M
Q
P
记:
即:
同理可得:
思考题2: 向量 与向量 有什么关系 向量
与向量 有什么关系
(1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即
(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即
1、实数与向量的积的定义：
数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反
方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方
向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍.
当 ,沿 的反方向放大了 倍.当
沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
2、数乘向量的几何意义：
思考:(1) 3
(2)
(3)
2(a+b)=
2a+2b=
3.数乘向量的运算律:
设 为实数,那么
2a+2b
2(a+b) =
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意的向量 以及任意实数 恒有
注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.
例1：计算题
向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？
不可以．向量与实数不能进行加减运算，如1＋a和λ－a无法运算．
思考:
当a与b同方向时，有b=μa;
当a与b反方向时，有b=-μa，
所以始终有一个实数λ，使b=λa。
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？
2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？
对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。
若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且
2) 可以是零向量吗
思考:1) 为什么要是非零向量
4、共线向量基本定理：
向量 与非零向量 共线,当且仅当有唯一一个实数 ，使得
判断下列各小题中的向量a与b是否共线
a=-b
a,b共线
a=-2b
a,b共线
例2. 如图,已知任意两个非零向量 a, b, 试作
你能判断
A、B、C三点之间的位置关系吗 为什么
a
b
O
a
A
B
C
所以,A、B、C三点共线
b
2b
3b
解:
例3 如图, 的两条对角线相交于点M,
且
A
D
C
B
a
b
M
解：在
平行四边形的两条对角线互相平分
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa 向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
小结:
H
G
A
C
E
B
D
F
B
A
C
N
M