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《名题学典·数学》人教版八年级系列第十八章
第十八章 平行四边形
单元学典
平行四边形这一章主要是进一步地学习和探究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，及有关计算.本章平行四边形的知识为学习矩形、菱形、正方形打下基础，重点学习它们的性质和判定定理，学习如何区分矩形、菱形、正方形.
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18.1.1 平行四边形的性质……………………………………………………………2课时
18.1.2 平行四边形的判定……………………………………………………………2课时
18.2.1矩形……………………………………………………………………2课时
18.2.2菱形……………………………………………………………………2课时
18.2.3正方形……………………………………………………………………1课时
本章复习………………………………………………………………………………1课时
本章单元测试卷A+B
第1课时 18.1.1平行四边形的性质（1）
1.平行边形的定义：
；平行四边形用符号 表示，如：若四边形ABCD是平行四边形，则可记为 .
2.探讨平行边形的性质：
观察：如图，平行四边形ABCD有
条边，有 个角；
测量：边的长度：AB= cm，BC= cm，CD= cm，AD= cm；
角度：∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= ，
发现：AB= ，BC= ；∠A= ，∠B= ；
猜想：平行四边形的对边相等；所有平行四边形的 ；
证明猜想：如图，连接 .
∵AD//BC，AB//CD，（ ）
∴∠1=∠2， （ ）（结论1）
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA（ ）.
∴ ， ， .（结论2）
由结论 （填1或2）可得到∠BAD=∠DCB.
总结：平行四边形的性质：
； .
3.点与点、点与线、两条平行线的距离
回顾：（1）点与点的距离：两点之间的线段；
（2）点与线的距离：点与线之间的垂线段；
新知：（1）两条平行线之间的任何两条 都 ；
（2）两条 中，一条直线上 到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离.
证明平行四边形的性质
【例1】求证：平行四边形的对角相等.（请用别于书的方法证明）
分析：先写出已知和求证，再去证明.在证明时，应该用平行四边形的定义去证明.
解：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证：∠A=∠C，∠B=∠D.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠C.
同理可证得∠B=∠D.
练习1
求证：平行四边形的对边相等.（请用别于书的方法证明）
运用平行四边形的定义与性质
【例2】（1）平行四边形ABCD的四个内角度数的比∠A : ∠B : ∠C : ∠D可能是（ ）
A．2 : 5 : 2 : 5 B．3 : 4 : 4 : 3
C．4 : 4 : 3 : 2 D．2 : 3 : 5 : 6
（2）平行四边形ABCD的周长为36cm，AB - BC=2cm，则AD、CD的长度分别是（ ）
A．12cm，6cm B．8cm，10cm
C．6cm，12cm D．10cm，8cm
分析：（1）和（2）题运用平行四边形的性质解决.
解：（1）A （2）B
解析：（1）在平行四边形中，两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，所以在A、B、C、D四个选项中，只有A选项符合要求；（2）∵ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD．∵ABCD的周长为36cm，∴AB+BC=18cm．又AB-BC=2cm，∴AB=10
cm，BC=8cm．∴AD=8cm，CD=10cm．
练习2
（1）平行四边形周长是40，两邻边之比为4 : 1，那么这个四边形较长的边为多少？
（2）已知□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若CE平分∠DCB，且AB=2，求：□ABCD的其余边长．
【例3】（2013 徐州）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC，交CD于点F．
（1）求证：DE=BF；
（2）连接EF，写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）
分析：（1）由平行四边形的定义和角平分线的性质可以得到AD=AE，CF=BC，则由平行四边形的性质可知AD=BC，∠A=∠C，则可得AE=CF，证得△ADE≌△CBF；（2）连接EF，则图中所有的全等三角形有：△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD.
同理CF=CB，又AD=CB，∠A=∠C，
∴AE=CF，∴△ADE≌△CBF，
∴DE=BF.
（2）连接EF，则图中所有的全等三角形有：△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF．
练习3
（2013 泸州）如图，已知 ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．
两条平行线间的距离
【例4】若直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a，b间的距离是（ ）cm．
A．2 B．8 C．2或8 D．4
分析：根据题意画出符合条件的两种情况，求出即可．
解：C
解析：如图1，直线a，b间的距离是5cm-3cm=2cm，
如图2，直线a，b间的距离是5cm+3cm=8cm.
练习4
已知如图直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
1.（2013 黔西南州）已知□ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（ ）
A．100° B．160°
C．80° D．60°
2.（2013 赤峰）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（ ）
A．S四边形ABDC=S四边形ECDF
B．S四边形ABDC＜S四边形ECDF
C．S四边形ABDC=S四边形ECDF+1
D．S四边形ABDC=S四边形ECDF+2
3.（2012 烟台）□ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为 ．
4.（2011 青海 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 （只需一个即可，图中不能添加任何点或线）
5.（2013 日照）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．
（1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．
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用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1．（2013 益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD D．AC⊥BD
2．（2013 哈尔滨）如图，在 ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ）
A． 4 B． 3
C． D．2
3．（2012 泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（ ）
A． 53° B． 37°
C． 47° D． 123°
4．（2012 杭州）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（ ）
A． 18° B． 36°
C．72° D．144°
5.两条邻边分别是15cm和20cm的平行四边形的最大面积是（ ）
A．100cm2 B．200cm2
C．300cm2 D．400cm2
6．平行四边形一条对角线与一边垂直
且此对角线为另一边的一半，则此平行四边形两邻角之比为（ ）
A． 1：2 B． 1：3
C． 1：4 D． 1：5
7．如图所示，M是 ABCD的边AD上任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是（ ）
A．S＞S1+S2
B．S=S1+S2
C．S＜S1+S2
D．S与S1+S2的大小关系无法确定
8．在□ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，∠A=120°，则□ABCD的面积是（ ）
A．3 B．6
C．15 D．12
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 在□ABCD中，∠ADC=125°，∠CAD=34°，则∠ABC= 度，∠CAB= 度．
10．（2012 黑龙江）如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．
11．已知平行四边形ABCD的周长是
30cm，且AB=，则AB的长是 cm，
AD的长是 cm.
12．如图，过平行四边形ABCD的顶点A分别引高AE、AF，如果AE=3.5，AF=2.8，∠EAF=30°，则AB= ，AD= ．
13．如图，□ABCD的一边BC延长至E，若∠1=70°，则∠A= ．
14．（2010 滨州）如图，□ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF=2，则EF的长为 ．
三、解答题（共40分）
15．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥DC，AF⊥BC，垂足分别为E、F，若四边形ABCD的周长为28cm，AE：AF=3：4，求BC、DC的长．
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16．（6分）（2011 梧州）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
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17．（6分）（2013 德宏州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．
求证：AE∥CF．
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18．（8分）（2012 大连）如图， ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．
19．（2013 日照）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．
（1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．
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20．（8分）（2013 茂名）如图，在 ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．
参考答案：
基础为本、掌握新知
1.两组对边互相平行的四边形 □ □ABCD
2.4 4 测量略 CD AD ∠C ∠D 相等 AC 平行四边形的定义 两直线平行，内错角相等 ASA AB=CD BC=AD ∠B=∠C 1 平行四边形的对边相等；所有平行四边形的对角相等
3.相等 平行线
一例一练、活用数学
练习1 略
练习2 （1）由题可设两邻边分别为4x，x，由平行四边形的性质可得2（4x+x）=40，解得x=4，则较长边为4x=16.
（2）过E作EF∥AB交BC于F，∵□ABCD，∴AD∥BC，∴ABFE是平行四边形，
∴EF=AB，∠1=∠3，又∵∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴BF=FE，同理：EF=FC，∴F为BC的中点，又BE、CE为∠ABC、∠DCF的平分线，AB∥CD，∴∠EBC+∠ECB=90°，∴∠BEC=90°，
∴EF=BC=AB，∴AB=CD=2，AD=BC=2AB=4．
练习3 ∵F是BC边的中点，∴BF=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，∵在△CDF和△BEF中，∴△CDF≌△BEF（AAS），∴BE=DC，∵AB=DC，∴AB=BE．
练习4 C 【解析】由题意知△BDC与△ACD是同底等高的三角形，∴S△BDC=S△ADC．同理可得：S△ABC=S△ABD．
∵S△AOC=S△ACD-S△COD，S△BOD=S△BDC-S△COD，S△BDC=S△ADC，∴S△AOC=S△BOD．
∴共有3对面积相等的三角形．
.O是中点（答案不唯一）
课时自测、认清自我
一、1.D 【解析】∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意．
2.B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC=AB，∵AD=2AB=2CD，CD=DE，∴AD=2DE，∴AE=DE=3，∴DC=AB=DE=3.
3.B 【解析】∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，∴∠E=90°，∵∠EAD=53°，
∴∠EFA=90°﹣53°=37°，∴∠DFC=37∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC=37°．
4.B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A，BC∥AD，∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，∴∠A=36°，∴∠C=∠A=36°，故选B．
5.C 【解析】根据平行四边形的性质，当邻边互相垂直时面积最大，∵两条邻边分别是15cm和20cm，∴15×20=300cm2．
8.B 【解析】作AE⊥BC于点E．∵ ABCD中，AD∥BC，∴∠B=180°﹣∠A=60°在直角△ABE中，AE=．∴□ABCD的面积是：AE AD=4×=6cm2．故选B．
二、9.125 21 【解析】：∵□ABCD∴∠ABC=∠ADC=125°，∠CAD=∠ACB=34°∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-34°-125°=21°
10. AE=CF.（答案不唯一）
11.6 9 【解析】∵平行四边形ABCD的周长是30cm，即2（AB+BC）=20，又AB=，
解之可得AB=6cm，BC=9cm．
12.5.6 7 【解析】因为AF⊥BC，AD∥BC，所以AF⊥AD，所以∠DAE+∠EAF=90°，所以∠DAE=60°，所以∠D=30°在Rt△ADE中，AD=2AE=7，同理，AB=5.6.
13.110° 【解析】∵∠1=70°，∴∠BCD=110°，又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠1=110°．
14.2 【解析】∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，∴∠DCF=60°，
又∵EF⊥BC，∴∠CEF=30°，∴CF=CE，又∵AE∥BD，∴AB=CD=DE，∴CF=CD，
又∵∠DCF=60°，∴∠CDF=∠DFC=60°，∴CD=CF=DF=DE=2，∴在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=2．
（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G．设AG=x，在Rt△AGD中，∵∠ADC=45°，∴AG=DG=x，
在Rt△AGB中，∵∠B=30°，∴BG=，又∵BD=10．∴BG﹣DG=BD，即，
解得AG=x=，∴S平行四边形ABDE=BD AG=10×（）=．
20.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵在△ADE与△BFE中，
，∴△ADE≌△BFE（AAS）；
解：CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF．
基础为本、掌握新知
一例一练、活用数学
点评：例1旨在，让学生本认清平行四边形的定义，会用它来证明平行四边形的性质，并加深对性质的理解.
点评：学会运用平行四边形的性质解题，加强理解与运用.
点评：此题是平行四边形的性质、角平分线的特点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定的综合运用.
点评：此题是两点之间的距离和两条平行线的距离的综合应用，注意一定要进行分类讨论．
全真考题、能力拓展
课时自测、认清自我
自我评价(共21张PPT)
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原创：xx22pp
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第十八章 18.1 平行四边形
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同学们，你们还能举出一些例子吗？
生活中的平行四边形
什么叫做平行四边形？
叫做平行边形（parallelogram）.
平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ ”.
两组对边分别平行的四边形
□
□ABCD
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进一步认识平行四边形
根据平行边形的定义，可得它的“两组对边分别平行”，那它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？
18.1.1 平行四边形的性质
合作交流：
一起探究：平行四边形中的边之间的关系，角之间的关系.
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画一画：请画出一个平行四边形
A
D
C
B
量一量：
边的长度：AB= cm，BC= cm，
CD= cm，AD= cm；
角度：∠A= ，∠B= ，
∠C= ，∠D= ，
比较大小
发现：AB CD，BC AD，
∠A ∠B，∠C ∠D
大胆猜想：平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
=
=
=
=
如图，连接AC.
∵AD//BC，AB//CD，（ ）
∴∠1=∠3， （ ）（结论1）
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA（ ）.
∴ ， ， .（结论2）
由结论 （填1或2）可得到∠BAD=∠DCB.
证明猜想
平行四边形的定义
∠2=∠4
两直线平行，内错角相等
ASA
AD=CB
∠B=∠D
AB=CD
1
总结
平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
想一想，如果不连接AC，能不能证明
平行四边形的对角相等
例1：平行四边形ABCD的四个内角度数的比∠A : ∠B : ∠C : ∠D可能是（ ）
A．2 : 5 : 2 : 5 B．3 : 4 : 4 : 3
C．4 : 4 : 3 : 2 D．2 : 3 : 5 : 6
解：在平行四边形中，两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，所以在A、B、C、D四个选项中，只有A选项符合要求.
A
练一练：已知□ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（ ）
A．100° B．160°
C．80° D．60°
解：在□ABCD中，
∠A=∠C，∠A+∠B=180°.
又∠A+∠C=200°，∴∠A=100°，
∴∠B=80°.
C
例2：平行四边形ABCD的周长为36cm，AB BC=2cm，则AD、CD的长度分别是（ ）
A．12cm，6cm
B．8cm，10cm
C．6cm，12cm
D．10cm，8cm
解：∵ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD．
∵ABCD的周长为36cm，∴AB+BC=18cm．
又AB-BC=2cm，∴AB=10
cm，BC=8cm．∴AD=8cm，CD=10cm．
D
练一练：平行四边形周长是40，两邻边之比为4 : 1，那么这个四边形较长的边为多少？
解：由题可设两邻边分别为4x，x，
由平行四边形的性质可得2（4x+x）=40
解得x=4，
则较长边为4x=16
根据平行四边形的性质和定义，
学习两条平行线的距离
回顾：两点间的距离，点到直线的距离
A
d
c
b
a
D
C
B
探讨：两直线间的距离
1.如图，a//b，c//d，c,d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD；
2.得到结论：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等；
3.由2可得：两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等；
一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做之两条平行线的距离.
两条平行线之间的距离的定义：
A
b
a
B
例3：若直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a，b间的距离是（ ）cm．
A．2 B．8 C．2或8 D．4
解：如图1，直线a，b间的距离是5cm-3cm=2cm，
如图2，直线a，b间的距离是5cm+3cm=8cm.
C
练一练：已知如图直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解：由题意知△BDC与△ACD是同底等高的三角形，∴S△BDC=S△ADC．同理可得：S△ABC=S△ABD．
∵S△AOC=S△ACD-S△COD，S△BOD=S△BDC-S△COD，S△BDC=S△ADC，∴S△AOC=S△BOD．
∴共有3对面积相等的三角形．
C
课后习题：请见学案部分！
