2022--2023学年沪科版数学九年级下册第24章 圆 单元自测题(含解析)

沪科版数学九年级下册 第24章 圆 单元自测题
一、单选题
1．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形网格中，点 ， ， ， ， 都在格点上.下列说法正确的是（　　）
A．点 是 的内心 B．点 是 的外心
C．点 是 的内心 D．点 是 的外心
3．如图，为直径， ，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（　　）
A． B． C． D．
5．底面半径为3，高为4的圆锥侧面积为(　　)
A．15π B．20π C．25π D．30π
6．如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，∠A＝40°，则∠DEB的度数为（　　）
A．50° B．100° C．70° D．80°
7．下列条件中，不能确定一个圆的是（　　）
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
8．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正 边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（　　）
A．4 B． C． D．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4．则图中阴影部分的面积S阴影＝（　　）
A．2π B．π C．π D．π
二、填空题
11．正十边形的中心角等于　 　度．
12．若的半径为5cm，点到圆心的距离为4cm，那么点与的位置关系是　 　.
13．若一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形的边数是　 　.
14．如图，在边长为4的等边△ABC中，以B为圆心、BA为半径画弧，再以AB为直径画半圆，则阴影部分的面积为　 　.
三、计算题
15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
16．计算高为4cm，底面半径为3cm的圆锥的体积．（圆锥的体积= ×底面积×高，π取3）
四、解答题
17．如图扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，求贴纸部分的面积．
18．在一个3m×4m的矩形地块上，欲开辟出一部分作花坛，要使花坛的面积为矩形面积的一半，且使整个图案绕它的中心旋转180°后能与自身重合，请给出你的设计方案．
19．如图，已知，是的中点，过点作.求证：与相切.
20．如图，AB是 的直径，弦 于点E，若 ， ，求 的长．
21．已知AB，AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，求证：MN∥BC且MN＝ BC．
22．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离.
五、综合题
23．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：根据点A，B，C，D，O 都在正方形网格的格点上.
可知：点O到点A ，B ，D 的三点的距离相等，
所以点O是△ABD的外心.
故答案为：D.
【分析】根据图形可得点O到点A、B、D的距离相等，然后结合外心的概念进行判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵CB是直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=35°，
∴∠ACB=90°-35°=55°，
∴∠D=∠C=55°，
故答案为：C．
【分析】先利用圆周角的性质和三角形的内角和求出∠ACB=90°-35°=55°，再利用圆周角的性质可得∠D=∠C=55°。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是.
故答案为：C.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当r>d时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当r5．【答案】A
【解析】【解答】解：母线长= =5，
∴侧面积= 2π×3×5=15π.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求其侧面积，即可解答.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=∠C=40°，
∴
∴∠DEB=∠AEC=100°.
故答案为：B.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠C=40°，利用内角和定理可得∠AEC的度数，然后根据对顶角的性质进行解答.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意；
B、已知直径能确定一个圆，不符合题意；
C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意；
D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接判断即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正n边形的一个内角为144°，
∴正n边形的一个外角为180°-144°=36°，
∴n=360°÷36°=10．
故答案为：C．
【分析】先求出正n边形的一个外角为36°，再计算求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：正六边形的外角和为，
正六边形的每个外角的度数为，
正六边形的每个内角的度数为，
设该圆锥的底面半径为，
则，
解得，
该圆锥的高为．
故答案为：C．
【分析】利用正六边形的性质求出∠FAB=120°，根据阴影部分（扇形）的弧长等于该圆锥的底面元的周长，可求出该圆锥的底面半径，由于圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，再利用勾股定理求出该圆锥的高即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝2，
又∵∠DCB＝30°，
∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，
∴OE＝22，OD＝4，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△DOE+S△BEC2×2．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得CE＝ED＝2，由圆周角定理可得∠DOE＝2∠BCD＝60°，根据三角函数的概念求出OE、OD，然后根据S阴影＝S扇形BOD-S△DOE+S△BEC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
11．【答案】36
【解析】【解答】正十边形的中心角等于360°÷10=36°
故答案为：36．
【分析】正n多边形的中心角=360°÷n
12．【答案】点A在圆内
【解析】【解答】解：的半径为，点A到圆心O的距离为
点A与的位置关系是：点A在圆内
故答案为：点A在圆内.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d13．【答案】10
【解析】【解答】解：∵360°÷36°=10，
∴这个正多边形为十边形，
∴这个正多边形的边数为10，
故答案为：10.
【分析】利用多边形外角和度数360°除以36°，即得正多边形的边数.
14．【答案】
【解析】【解答】解：设以AB为直径画半圆⊙O交CA、BC于点D、E，
∵等边△ABC中，且以AB为直径画半圆⊙O，
∴∠CAB=∠ABC=60°，OA=OD=OE=OB=2，
∴△OAD，△ODE，△OBE，△CDE都是等边三角形，
∴阴影部分的面积=S扇形ABC-S扇形AOE-S△OBE
=--
=.
故答案为：.
【分析】设以AB为直径画半圆⊙O交CA、BC于点D、E，根据等边三角形的性质可得∠CAB=∠ABC=60°，OA=OD=OE=OB=2，推出△OAD，△ODE，△OBE，△CDE都是等边三角形，然后根据S阴影=S扇形ABC-S扇形AOE-S△OBE进行计算.
15．【答案】解：∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∴S梯形OBCD==；
∴图中阴影部分的面积=S梯形OBCD-S扇形OBD=-×π×12=-。
【解析】【分析】此题主要考查扇形的面积计算方法及平行四边形的判定与性质，不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算，难度一般。
阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD=AB，由此可求出CD的长，即可得解。
16．【答案】解：圆锥的底面积为：×π×32=9π，
则圆锥的体积为： ×9π×4≈36cm3．
【解析】【分析】根据圆锥的体积公式计算即可．
17．【答案】解：设AB=R，AD=r，则有S贴纸= πR2﹣ πr2
= π（R2﹣r2）= π（R+r）（R﹣r）= （30+10）×（30﹣10）π= π（cm2）；
答：贴纸部分的面积为 πcm2．
【解析】【分析】 根据贴纸部分的面积=大扇形BAC的面积-小扇形的面积， 由扇形的面积计算公式S=即可直接算出答案。
18．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：答案不唯一．
【分析】轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与原图形重合；中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转180°能够和另一个图形重合，找到既能沿某条直线折叠，能够与原图形重合的图形，也能绕着某个点旋转180°能够与原图形重合的图形．根据已知作出图．
19．【答案】证明：证法一：连接，，，，连接交于点.
∵，∴点在的垂直平分线上.
∵是的中点，∴，∴，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，∴，
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点，
∴与相切.
证法二：连接，，连接交于点.
∵是的中点，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点，
∴与相切.
证法三：过点作于点，延长交于点，
∴，，∴是的中点，
∵点是的中点，∴点与点是同一个点.
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点，
∴与相切.
【解析】【分析】 证法一：连接AB、AC、OB、OC，连接OA交BC于点E，易得OA垂直平分BC，根据平行线的性质可得∠OAD=∠OEB=90°，据此证明；
证法二：连接OB、OC，连接OA交BC于点E，根据弧、圆心角的关系可得∠AOB=∠AOC，由等腰三角形的性质可得∠OEB=90°，根据平行线的性质可得∠OAD=∠OEB=90°，据此证明；
证法三：过点O作OF⊥BC于点F，延长OF交⊙O于点A′，则A′是的中点，推出A与A′同一个点，根据平行线的性质可得∠OAD=∠OEB=90°，据此证明.
20．【答案】解：如图,连接OC.
∵弦 于点E， ，
∴ ．
∵在 中， ， ， ，
∴
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED= CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度．
21．【答案】证明：∵AB，AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，
∴AN＝CN，AM＝BM，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC且MN＝ BC．
【解析】【分析】先根据垂径定理得出 AN＝CN，AM＝BM ，故可得出 MN是△ABC的中位线，根据中位线的性质可得出结论。
22．【答案】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE= AB= ×30=15cm，CF= CD= ×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE= = =8cm，
在Rt△OCF中，
OF= = =15cm，
∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
【解析】【分析】 过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC， 根据平行线的性质得出 OF⊥CD， 根据垂径定理得出AE,CF的长， 在Rt△AOE中， 利用勾股定理算出OE的长， 在Rt△OCF中， 利用勾股定理算出OF的长，最后根据 EF=OF﹣OE 即可算出答案。
23．【答案】（1）解：连接BD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，
∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，
∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×4=8，
由勾股定理得：AC=，
在Rt△ADB中，，
∴，
∴AD=6，
∴BD= =，
∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
∴△DFB∽△AFC，
∴，
∴，
∴BF=．
【解析】【分析】（1）连接BD，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用同弧所对的圆周角相等可证得∠CDB=∠BAC，由此可证得∠BAE=90°，再利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长；利用解直角三角形求出AD的长，利用勾股定理求出BD的长；再证明△DFB∽△AFC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BF的长.