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专题02 函数
一、单选题
1．[全国新高考Ⅰ2022·7]设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】C
【详解】本题考查利用函数的单调性比较大小．由题易知a>0，b>0，c>0.＝0.9e0.1＝(1－0.1)e0.1.令f(x)＝(1－x)ex ，则f′(x)＝－xex，所以当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以0
0，h(x)单调递增，所以h(x)>0，即g′(x)>0, g(x)单调递增，所以g(x)>0，所以g(0.1)>0，即a>c.综上，c2．[全国甲(理)2022·12]已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则( )
A．c＞b＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【答案】A
【详解】本题考查构造函数，利用函数的单调性比较大小．构造函数h(x)＝1－x2－cos x，x∈，则g(x)＝h′(x)＝－x＋sin x，g′(x)＝－1＋cos x≤0，所以g(x)在上单调递减，所以g(x)≤g(0)＝0，且g(x)不恒为0，因此，h(x)在上单调递减，所以a－b＝hx，所以＝>1，即bb>a.故选A.
3．[全国甲(文)2022·12]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【答案】A
【详解】本题考查指数、对数的互化，基本不等式的应用．
因为9m＝10，所以m＝log910.
又因为lg11×lg9<2＝2<1＝lg10×lg10(提示：利用基本不等式求出两个正实数乘积的取值范围)，
所以>，log910>log1011.a＝10m－11＝10log910－11>10log1011－11＝11－11＝0，所以a>0.
因为lg 10×lg 8<2＝2<2＝lg 9×lg 9，所以<，log9100>b，故选A.
4．[全国乙(文)2022·8]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图像，则该函数是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【答案】A
【详解】本题考查根据函数图像判断其解析式．对于B，当x＝1时，y＝＝0，不符合题意，故排除选项B；对于D，当x＝3时，y＝>0，不符合题意，故排除选项D；对于C，当x∈(0，1)时，函数y＝的导函数y′＝＝>0，所以函数y＝在(0，1)上单调递增，所以当x∈(0，1)时，y＝<1.又x∈(0，1)时，cos x<1，所以在(0，1)上y＝<1，不符合题意，故排除C选项．故选A.
5．[全国新高考Ⅱ2021·7]已知a＝log52，b＝log83，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
【答案】C
【详解】本题考查对数式比较大小．因为a＝log52log93＝＝c，所以b>c>a.故选C.
6．[全国乙(理)2021·4]设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
【答案】B
【详解】本题考查函数奇偶性的判断．f(x)＝＝＝－1＋.对于A选项，f(x－1)－1＝－1＝－2，定义域为{x|x≠0}，为非奇非偶函数，不符合题意；对于B选项，f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域为{x|x≠0}，则函数y＝为奇函数，符合题意；对于C选项，f(x＋1)－1＝－1＝－2，定义域为{x|x≠－2}，为非奇非偶函数，不符合题意；对于D选项，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域为{x|x≠－2}，为非奇非偶函数，不符合题意．故选B.
7．[全国甲(文)2021·4]下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
【答案】D
【详解】本题考查函数的单调性．对于A，函数f(x)＝－x为R上的减函数，故A不正确；对于B，因为<1，所以函数f(x)＝x为R上的减函数，故B不正确；对于C，函数f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C不正确；对于D，函数f(x)＝为R上的增函数，故D正确．故选D.
8．[全国新高考Ⅱ2021·8]已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则下列选项中值一定为0的是( )
A．f B．f(－1)
C．f(2) D．f(4)
【答案】B
【详解】本题考查函数的奇偶性、周期性和函数图像的对称性．因为函数f(x＋2)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，则函数f(x)的图像关于直线x＝2对称；又函数f(2x＋1)为奇函数，所以其图像关于点(0，0)对称，将函数y＝f(2x＋1)的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝f＝f(2x)的图像且函数f(2x)的图像关于点对称，再将所得函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝f(x)的图像，且函数y＝f(x)的图像关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)图像既关于直线x＝2对称，又关于点(1，0)对称，所以4为函数y＝f(x)的一个周期．又f(1)＝0，所以f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝f(1)＝0，故选B.
9．[全国甲(理)2021·12]设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】D
【详解】本题考查函数的基本性质．因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(x)的图像关于点(1，0)对称．由f(x＋2)是偶函数，得f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(x)＝－f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是以4为周期的函数．又f(0)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1)＝a＋b＝0，所以f(0)＋f(3)＝－3a＝6，所以a＝－2，b＝2，所以f＝f＝－f＝，故选D.
10．[全国甲(文)2021·12]设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】C
【详解】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性．由题知f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－1－x)＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，则f＝f＝，故选C.
11．[全国甲(理)2021·4]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
【答案】C
【详解】本题考查函数模型的实际应用及对数的运算．将L＝4.9代入L＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，即V＝10－0.1＝10－＝≈0.8，故选C.
12．[全国Ⅲ(理)2020·12]已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】A
【详解】本题考查指数式与对数式的互化，换底公式，利用对数函数的单调性比较大小．a－b＝log53－log85＝－＝，由lg 3·lg 8<＝<＝(lg 5)2，可知a－b<0，则a，∴<，即log85＜log138，∴b13．[全国Ⅲ(文)2020·10]设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】A
【详解】本题考查对数值比较大小．由a＝log32＝log3log5＝log55＝＝c，所以a【栏目：点睛】解答本题的关键是逆用对数恒等式logaan＝n(a＞0，且a≠1)，把分别化为以3和5为底的对数，结合对数函数的单调性，分别比较a与c，b与c的大小关系．
14．[全国新高考Ⅱ2020·7]已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
【答案】D
【详解】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围及复合函数的单调性．解x2－4x－5>0，得x<－1或x>5，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．函数f(x)＝lg(x2－4x－5)由函数y＝lg u，u＝x2－4x－5，x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)复合而成．因为函数y＝lg u在(0，＋∞)单调递增，u＝x2－4x－5在(－∞，－1)单调递减，在(5，＋∞)单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(5，＋∞)．因为f(x)在(a，＋∞)单调递增，所以a≥5，即a的取值范围是[5，＋∞)．故选D.
15．[全国Ⅰ(理)2020·12]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a【答案】B
【详解】本题考查函数单调性以及不等式放缩．由题设知2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log4b2.又log4b2＝log2b＝log2(2b)－1，所以2a＋log2a＝22b＋log2(2b)－1, 从而2a＋log2a<22b＋log2(2b)．令函数f(x)＝2x＋log2x，x∈(0，＋∞)，则有f(a)16．[全国Ⅱ(理)2020·11]若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
【答案】A
【详解】本题考查函数的单调性以及对数值正负的判断．由2x－2y<3－x－3－y，可得2x－3－x<2y－3－y.设f(x)＝2x－3－x，易知f(x)在R上为增函数．又f(x)1，所以ln(y－x＋1)>0，故A正确，B错误．而当x＝1，y＝2时，ln|x－y|＝0，故C，D错误，故选A.
17．[全国Ⅰ(文)2020·8]设alog34＝2，则4－a＝( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式．因为alog34＝log34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
18．[全国新高考Ⅰ2020·8]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
【答案】D
【详解】本题考查函数的性质与不等式的求解．奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则f(x)在(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝0.由xf(x－1)≥0，得或即或解得－1≤x≤0或1≤x≤3.故选D.
19．[全国Ⅱ(理)2020·9]设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【详解】本题考查函数的奇偶性和单调性．f(x)的定义域为，且f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．当x>0时，f(x)＝当0时，f(x)＝ln＝ln，易知f(x)单调递减．因为f(x)为奇函数，且在上连续，所以f(x)在上单调递增，在和(，＋∞)上单调递减，故选D.
20．[全国Ⅲ(理)2020·4]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
【答案】C
【详解】本题考查指数式与对数式的互化．由0.95K＝得e－0.23(t*－53)＝.
两边取自然对数得－0.23(t*－53)＝－ln 19，结合ln 19≈3得t*≈66.
21．[全国Ⅱ(理)2019·12]设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】本题考查函数性质及函数与不等式的综合．∵x∈R时，f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)＝－≥－，∴当x∈(－1，0]时，x＋1∈(0，1]，则f(x＋1)＝(x＋1)x.
∴f(x)＝f(x＋1)＝x(x＋1)＝－≥－.∴当x≤0时，－≤f(x)≤0，即对 x∈(－∞，0]都有f(x)≥－.而当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，则f(x－1)＝(x－1)(x－2)．∴f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)＝2－.
又x∈(1，2]时，f(x)的最小值为－，最大值为0，
此时f(x)≥－成立．
当x∈(2，3]时，x－2∈(0，1]，则f(x－2)＝(x－2)·(x－3)，
则f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)＝4－1.又x∈(2，3]时，－1≤f(x)≤0，此时－∈[－1，0]．令f(x)＝－，则4(x－2)(x－3)＝－，解得x＝或.
故当【栏目：点睛】由x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)＝－知函数的最小值为－，根据x∈R时，f(x＋1)＝2f(x)可知x≤0时，f(x)≥－>－，x∈(1，2]时，f(x)的最小值为2×＝－，x∈(2，3]时，f(x)的最小值为2×＝－1.此时由－1<－知，使f(x)≥－的值应满足x∈(2，3]．若x∈(2，3]，则x－2∈(0，1]，f(x－2)＝(x－2)(x－3)．∴f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)·(x－3)．令4(x－2)(x－3)＝－，知x＝或x＝，结合x∈(－∞，m]时，f(x)≥－，知m≤，故选B.
22．[全国Ⅱ(理)2019·4]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
＋＝(R＋r).
设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为( )
A．R B．R
C．R D．R
【答案】D
【详解】本题考查运算，求解，变形能力．∵α＝，∴r＝αR.又∵＋＝(R＋r)，
∴＋＝(R＋αR)，∴＋＝(1＋α)·M1，∴＝M1＝，
∴＝.
∵≈3α3，∴3α3≈.∴α≈，∴r≈·R，故选D.
23．[全国Ⅰ(文)2019·3]已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c【答案】B
【详解】本题考查利用对数函数与指数函数的性质比较大小．因为a＝log20.220＝1，024．[全国Ⅲ(理)2019·11]设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f>f(2－)>f(2－)
B．f>f(2－)>f(2－)
C．f(2－)>f(2－)>f
D．f(2－)>f(2－)>f
【答案】C
【详解】本题考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小．∵f(x)是定义域为R的偶函数，且log3＝－log34，∴f＝f(log34)，且log34＞1.又∵y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，∴0＜2－＜2－＜1.又∵f(x)在(0，＋∞)单调递减，且0＜2－＜2－＜1＜log34，∴f(2－)＞f(2－)＞f(log34)＝f(log3)．故选C.
25．[全国Ⅰ(理)2019·5]函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】本题考查函数图像的识别．
任取x∈[－π，π]，∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)在[－π，π]上为奇函数，故排除A；当x＝时，f＝＝＞1，故排除B，C，故选D.
26．[全国Ⅱ(文)2019·6]设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【答案】D
【详解】本题考查利用函数的奇偶性求解析式．方法一：设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝e－x－1.∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1(x<0)．
方法二：设(x，y)是x<0时f(x)图像上任意一点．∵f(x)是奇函数，∴在f(x)图像上点(x，y)关于原点对称的点为(－x，－y)．又x<0，∴－x>0.∵x≥0时，f(x)＝ex－1，∴－y＝e－x－1，∴y＝－e－x＋1(x<0)，即f(x)＝－e－x＋1(x<0)．
方法三(赋值法)：∵f(x)是奇函数，且x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，即f(－1)＝－e＋1，只有D符合．
27．[全国Ⅲ(理)2018·12]设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋bB．abC．a＋b<0D．ab<0【答案】B
【详解】∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.328．[全国Ⅰ(文)2018·12]设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
【答案】D
【详解】作出函数f(x)的图像如图所示，要使f(x＋1)29．[全国Ⅱ(理)2018·11]已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
【答案】C
【详解】由f(1－x)＝f(1＋x)得f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数．
由f(1)＝2知f(－1)＝－2，所以f(3)＝－2，
又f(x)为奇函数，x∈(－∞，＋∞)，所以f(0)＝0.
又因为f(1－x)＝f(1＋x)，令x＝1，
所以f(0)＝f(2)＝0，f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
f(49)＝f(1)＝2，f(50)＝f(2)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(49)＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×0＋2＝2.故选C.
30．[全国Ⅲ(理)2018·7]函数y＝－x4＋x2＋2的图像大致为( )
A．B．
C． D．
【答案】D
【详解】当x＝0时，y＝2，排除A，B；y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，显然当x>0或x<0时，均有极值点存在，排除C.故选D.
31．[全国Ⅰ(理)2018·9]已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】C
【详解】∵函数g(x)存在2个零点，∴函数y＝f(x)的图像与y＝－x－a的图像有2个交点．如图，平移直线y＝－x，可以看出当且仅当－a≤1即a≥－1时，直线y＝－x－a与y＝f(x)的图像有2个交点．故选C.
二、多选题
32． [全国新高考Ⅰ2022·12]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
【答案】BC
【详解】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性和图像的对称性．因为f为偶函数，所以直线x＝是f(x)图像的对称轴，点为g(x)图像的对称中心．因为g(2＋x)为偶函数，所以直线x＝2是g(x)图像的对称轴，所以f(x)图像的对称中心的横坐标为2，纵坐标为常数，设常数为C.所以f(x)的周期T＝4×＝2，g(x)的周期也为2.所以f(0)＝f(2)＝C，故A不正确；g＝g＝0，故B正确；由直线x＝为f(x)图像的对称轴且T＝2，得f(4)＝f(2)＝f(1)，f(－1)＝f(1)，故C正确；由点为g(x)图像的对称中心且T＝2，所以g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故D不正确．故选BC.
三、填空题
33．[全国乙(文)2022·16]若f(x)＝ln|a＋|＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
【答案】－ ln 2
【详解】本题考查根据函数的奇偶性求参数的值．f(x)＝ln＋b，定义域为不等式组的解集．因为函数f(x)为奇函数，所以其定义域关于原点对称，由1－x≠0，易知x≠1，所以函数f(x)的定义域中一定不含有－1，所以x＝－1是方程a＋1－ax＝0的根，即a＋1－a·(－1)＝0，解得a＝－.所以f(x)＝ln＋b，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)．由函数f(x)为奇函数知f(0)＝0(提示：利用若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0这一特性)，所以f(0)＝ln ＋b＝0，解得b＝ln 2.
34．[全国新高考Ⅰ2021·13]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
【答案】1
【详解】本题考查函数的奇偶性．由题意可知函数f(x)为定义在R上的偶函数，则f(x)＝f(－x)，即x3(a·2x－2－x)＝(－x)3(a·2－x－2x)，整理得x3(a－1)(2－x＋2x)＝0恒成立，解得a＝1.
【栏目：点睛】一题多解：由题意可知函数f(x)为定义在R上的偶函数，则f(－1)＝－＝f(1)＝2a－，解得a＝1.则f(x)＝x3(2x－2－x)，是R上的偶函数．
35．[全国新高考Ⅱ2021·14]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________．
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0；③f′(x)是奇函数．
【答案】f(x)＝x2(答案不唯一)
【详解】本题考查函数的奇偶性和单调性、函数的导数的应用．由条件②可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；由条件③可知，f(x)可能为偶函数，再结合条件①，可构造函数f(x)＝x2等．
36．[全国Ⅱ(理)2019·14]已知f(x)是奇函数， 且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________．
【答案】－3
【详解】本题考查奇函数的性质及指数、对数运算．设x>0，则－x<0.由x<0时，f(x)＝－eax知f(－x)＝－e－ax.又函数f(x)为奇函数，则－f(x)＝f(－x)＝－e－ax，即x>0时，f(x)＝e－ax.又ln 2>0，则f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a＝8，故a＝－3.
37．[全国Ⅲ(文)2018·16]已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
【答案】－2
【详解】设g(x)＝ln(－x)，
则g(－x)＝ln(＋x)，
∴g(x)＋g(－x)＝ln(－x)＋ln(＋x)＝ln(1＋x2－x2)＝0，∴g(x)是奇函数．
∴f(x)＝g(x)＋1，f(－x)＝g(－x)＋1.
∵f(a)＝4，∴g(a)＝f(a)－1＝3，∴g(－a)＝－g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－2.
38．[全国Ⅰ(文)2018·13]已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．
【答案】－7
【详解】∵f(x)＝log2(x2＋a)，且f(3)＝1，
∴log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7.
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专题02 函数
一、单选题
1．[全国新高考Ⅰ2022·7]设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
2．[全国甲(理)2022·12]已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则( )
A．c＞b＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
3．[全国甲(文)2022·12]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
4．[全国乙(文)2022·8]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图像，则该函数是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
5．[全国新高考Ⅱ2021·7]已知a＝log52，b＝log83，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
6．[全国乙(理)2021·4]设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
7．[全国甲(文)2021·4]下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
8．[全国新高考Ⅱ2021·8]已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则下列选项中值一定为0的是( )
A．f B．f(－1)
C．f(2) D．f(4)
9．[全国甲(理)2021·12]设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
10．[全国甲(文)2021·12]设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
11．[全国甲(理)2021·4]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
12．[全国Ⅲ(理)2020·12]已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
13．[全国Ⅲ(文)2020·10]设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
14．[全国新高考Ⅱ2020·7]已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
15．[全国Ⅰ(理)2020·12]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a16．[全国Ⅱ(理)2020·11]若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
17．[全国Ⅰ(文)2020·8]设alog34＝2，则4－a＝( )
A. B.
C. D.
18．[全国新高考Ⅰ2020·8]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
19．[全国Ⅱ(理)2020·9]设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
20．[全国Ⅲ(理)2020·4]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
21．[全国Ⅱ(理)2019·12]设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
22．[全国Ⅱ(理)2019·4]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
＋＝(R＋r).
设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为( )
A．R B．R
C．R D．R
23．[全国Ⅰ(文)2019·3]已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c24．[全国Ⅲ(理)2019·11]设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f>f(2－)>f(2－)
B．f>f(2－)>f(2－)
C．f(2－)>f(2－)>f
D．f(2－)>f(2－)>f
25．[全国Ⅰ(理)2019·5]函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为( )
A． B．
C． D．
26．[全国Ⅱ(文)2019·6]设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
27．[全国Ⅲ(理)2018·12]设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋bB．abC．a＋b<0D．ab<028．[全国Ⅰ(文)2018·12]设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
29．[全国Ⅱ(理)2018·11]已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
30．[全国Ⅲ(理)2018·7]函数y＝－x4＋x2＋2的图像大致为( )
A．B．
C． D．
31．[全国Ⅰ(理)2018·9]已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
二、多选题
32． [全国新高考Ⅰ2022·12]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
三、填空题
33．[全国乙(文)2022·16]若f(x)＝ln|a＋|＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
34．[全国新高考Ⅰ2021·13]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
35．[全国新高考Ⅱ2021·14]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________．
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0；③f′(x)是奇函数．
36．[全国Ⅱ(理)2019·14]已知f(x)是奇函数， 且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________．
37．[全国Ⅲ(文)2018·16]已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
38．[全国Ⅰ(文)2018·13]已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．
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