内江名校高2024届高二下入学考试题
理科数学 答案和解析
一、选择题：1-5：CABDA 6-10:DCABA 11-12:DB
二、填空题：
13.【答案】 14.【答案】或
15.【答案】 16.【答案】
三、解答题：
17.【答案】解：由，解得．....2分
令中位数为，则，
解得，
所以综合评分的中位数为．.............................5分
由与频率分布直方图可知，
一等品的频率为，
所以个产品中一等品有个，非一等品有个，..............7分
则一等品与非一等品的抽样比为，
所以现抽取个产品，则有个一等品，记为，，，
个非一等品，记为，，
则从个中抽取个产品的所有情况为：
，，，，，，，，，，共种，......9分
而这个中恰有一个一等品的情况为：，，，，，，共种．
记事件为“从个产品中抽取个，这个产品中恰有一个一等品”，
则． ............................................10分
18.【答案】解：设，则，
，
即，............................6分
当斜率不存在时，，不满足题意
当斜率存在时，设即
依题意得：或或
综上所过，直线的方程为：或，
即：或． .....................12分
19.【答案】解：由题可得，
，.....................2分
，
，
所以，.....................6分
，
所以关于的线性回归方程为．.....................8分
由题意可得：，解得，
因为，
所以，预计一辆该种工程车一般使用年后可以申请报备更换新车．...................12分
20.【答案】解：证明：取中点，连结，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．.....................6分
解：，，
又，，、平面，
平面，
平面，平面平面，
过作的垂线，垂足为，则为四棱锥的高．，
底面四边形为直角梯形，其面积，
多面体的体积：
． ....................12分
21.【答案】证明：如图，取的中点，连接，，．
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则．
因为，，所以．
因为，且平面，所以平面，
在平面内，
，
故为等腰三角形．....................5分
解：设，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，．
设平面的法向量为，则即
令，则．
设平面的法向量为，则即
令，则．
，....................9分
令，则．
因为，所以．
二面角的大小等于二面角与二面角的大小之和．
因为二面角为直角，所以二面角为钝角．
故二面角的余弦值的取值范围为． ....................12分
【答案】解：设，则，
化简得．....................4分
由题意得，，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，
则，即，，
则
联立得，
则，即，，..............6分
当时，直线的斜率，
则直线的方程为，
即，所以，
当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点．
综上，直线恒过定点．....................8分
又∽，
所以，
所以
，....................11分
当且仅当时取等，
所以的最小值为． ....................12分内江名校2022—2023 学年（下）高 24 届入学考试
理科数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分 60 分）
一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1、直线 3 + 1 = 0 的倾斜角为 ( )
A. 120 B. 150 C. 30 D. 45
2、为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区 5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 (万元) 8.2 8.6 10.0 11.2 12
支出 (万元) 7.40 7.50 8.00 8.50
但是统计员不小心丢失了一个数据(用 代替)，在数据丢失之前得到回归直线方程为 = 0.76 +
0.4，则 的值等于（ ）
A. 8.60 B. 8.80 C. 9.25 D. 9.52
3、设 是直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 // ， ⊥ ，则 ⊥
C. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
4、从装有 2个红球和 2个黑球的口袋内任取 2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A.“至少有一个红球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有 1个红球” D.“恰有 1个黑球”与“恰有 2个黑球”
5.、圆 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4 3 = 0和 轴都相切，则该圆的标准方程是 ( )
A. ( 2)2 + ( 1)2 = 1 B. ( 2)2 + ( + 1)2 = 1
C. ( + 2)2 + ( 1)2 = 1 D. ( 3)2 + ( 1)2 = 1
6.、一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，
则这个几何体的体积为( )
A. 4+ 3 B.
3 4 + 3
C. 8+ 3 D. 8+ 3
2 6
+ ≥ 2
7. 、已知点 ( , )为平面区域 ≤ 1 上的一个动点，则 = +1的取值范围是( )
≤ 2
A. ( ∞, 1 ] ∪ [2, + ∞) B. [ 2, 1 ] C. [ 12 2 2 , 2] D. [
1
2 , 2]
8、七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和
一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，
则该点恰好取自白色部分的概率为（ ）
A. 9 716 B. 16
C. 1332 D.
11
32
9、若直线 : + ( 4) = 0 与曲线 = 4 2有两个交点，则实数 的取值范围是( )
A. 0 < < 3 B. 0 < 3 C. 0 < 3 D.3 3 0 3
10、三棱锥 中， ⊥ ， = ，△ 为等边三角形，二面角 的余弦值为 6，3
1
且三棱锥的体积为3 .则三棱锥外接球的表面积为 ( )
A. 8 B. 4 C. 2 D.
11、如图，等边三角形 的边长为 3， ⊥ 分别交 ， 于 ， 两点，且 = 1，将Δ 沿
折起(点 与 重合)，使得平面 ⊥平面 ，则折叠后的异面直线 ， 所成角的正弦值为 ( )
A. 3 B. 6
2 3
C. 5 D. 2 5
5 5
12.、已知直线 1: 3 + 1 = 0 与直线 2: + 3 1 = 0 相交于点 ，线段 是
圆 : + 1 2 + + 1 2 = 4 的一条动弦，且| | = 2 3，则|P A + P B |的最小值为 ( )
A. 4 2 B. 4 2 2 C. 2 2 1 D. 4 2 1
第Ⅱ卷 非选择题（满分 90分）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13、从编号为 1，2，…，88的 88个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为 8的样本，所抽样本中有
编号为 53的网站，则样本中网站的最小编号为______ ．
14、已知直线 过点 (2, 1)，在 轴和 轴上的截距分别为 ， ，且满足 = 3 ，则直线 的方程为
_________________________________。
15、已知点 ( 3,0), ( 1, 2)，若圆( 2)2 + 2 = 2( > 0)上恰有两点 , ，使得△ 和△
的面积均为 4，则 的取值范围是____．
16、如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1中， , 分别是棱 1 1, 1 1的中点，点 在线段
上运动，给出下列四个结论：
①平面 截正方体 1 1 1 1所得的截面图形是五边形；
②直线 1 1到平面 的距离是
2；
2
③存在点 ，使得∠ 1 1 = 90 ；
④ 1面积的最小值是
4 5．
5
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、(本小题 10.0分)
为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取
100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分(满分 100分)，将每个产品所得的综合评
分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为 80分及以上的产品为一等品．
(1)求图中 的值，并求综合评分的中位数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取 5个产品，再
从这 5个产品中随机抽取 2个产品记录有关数据，求这 2个产品中恰有一个一等品的概率．
18、(本小题 12.0分)
在 中， (5, 2)， (7,4)，且 边的中点 在 轴上， 边的中点 在 轴上．
(1)求 边上的高 所在直线方程；
(2)设过点 的直线为 ，且点 与点 到直线 距离相等，求 的方程．
19、(本小题 12.0分)
某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加，根据相关资料可知该种工程车自购人使
用之日起，前 5年中每年的维修费用如下表所示.已知 与 具有线性相关关系．
年份序号 1 2 3 4 5
维修费用 (万元) 1.1 1.6 2 2.5 2.8
参考数据： 5 2 5 =1 = 55， =1 = 34.3.参考公式：线性回归方程 = + 的斜率和截距的最小二乘
法估计分别为 = =1
2 2
， =
=1
(1)求 关于 的线性回归方程;
(2)根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过 4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回
归方程预估一辆该种工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车．
20、(本小题 12.0分)
如图，在多面体 中， 为等边三角形， // ， ⊥ ， = 2 2， = = 2 = 2，
为 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)求多面体 的体积．
21、(本小题 12.0分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，∠ = 60 ， ⊥ ．
(1)证明：△ 为等腰三角形．
(2)若平面 ⊥平面 ， = 2，
求二面角 的余弦值的取值范围．
22、(本小题 12.0分)
已知在平面直角坐标系 中， (0,1)， (0,4)，平面内动点 满足 2 = ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)点 轨迹记为曲线 ，若 ， 是曲线 与 轴的交点， 为直线 : = 4 上的动点，直线 ， 与曲线
1 1
的另一个交点分别为 ， ，直线 与 轴交点为 ，求 2 + 2的最小值．
