高二（下）创新班入学考试（数学答案） 7. 解：连接 1交 1于 ，若 是 的中点，连接 ，
1. 解：椭圆2 2 + 2 = 8的标准方程为 ，
2 2
+ = 1，即有 = 2√2，
4 8
则椭圆的长轴长为2 = 4√2，故选： ．
2. 解：∵ = 1 + ，
2 2 2(1 )
∴ + 2 = + (1 + )2 = + 2 = 1 +
1+ (1+ )(1 ) ∵ 1 1 1为直棱柱，各侧面四边形为矩形，∴ 是
2 = 1 + ，对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选： ． 1的中点，∴ // 1，∴直线 1与直线 1夹角，
3. 解：∵ = (2, 2, 3)， = (2,0,4)， 即为 与 1的夹角∠ 或补角，
4+0 12 4√85∴ cos < , >= = = ．故选： ． √5
| | | | √17 2√5 85 若 = 1，则 = 1， = = ， ⊥面 1 1，2
1
4.解：函数 ( ) = 2 的定义域为：{ | > 0}． 面 1 1，则 ⊥ ， 2
1
函数 ( ) = 2
1
的导函数为： ′( ) = ， 而 ⊥ 1，又 ∩ 1 = ， ， 1 面 1 1，
2
1 ∴ ⊥面 1 1，又 面 1 1，∴ ⊥ ，
令 < 0并且 > 0，解得0 < < 1．
3
∴ = √ 2 + 2 = ， = √ 2 + 21 = √2，
函数 ( ) = 2 的单调递减区间为(0,1)．故选： ． 2
2
在△ 中，由余弦定理，得
5. 解：若“ < 0”，则 、 均不为0，方程 2 +
5 9
2+ 2 2 + 2 √5
2 2 cos∠ = = 4 4 =
2
．
= 1，可化为 1 + 1 = 1， 2 √5 32× × 5
2 2
1 1
2 2
+ = 1 故直线 1与直线
5
1夹角的余弦值为
√ ．故选： ．
若“ < 0”， 、 异号，方程 1 1 中，两个 5
8. 解：∵ = 3 2 1，
分母异号，则其表示双曲线，
∴ ∈ [ 1,+∞)，即 = ∈ [ 1,+∞)，
故“ < 0”是方程“ 2 + 2 = 1表示双曲线”的
当 ∈ [0,+∞)时， ∈ [0, )；
充分条件； 2
反之，若 2 + 2 = 1表示双曲线，则其方程可化为 当 ∈ [ 1,0)时， ．
2 2
1 + 1 = 1
1 1
，此时有 、 异号，则必有 < 0， 3
∴ ∈ [0, ) ∪ [ ， )，故选： ．
2 4
故“ < 0”是方程“ 2 + 2 = 1表示双曲线”的 9. 解：由题意可得： = 5， = 3，
必要条件； 所以 = 4，即 1 2 = 2 = 8．
综合可得：“ < 0”是方程“ 2 + 2 = 1表示双 设 1 = ， 2 = ，所以由椭圆的定义可得：
曲线”的充要条件；故选： ． + = 10…①．
6.解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可 1 2 1因为 = ，所以由数量积的公式可得：
| 1 | | 2 | 2
以分为两类：①甲、乙所选的课程中2门均不相同， 1
cos < , 1 2 >= ，所以< , 1 2 >= ．
甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有 2 2
2 3
4 2 = 6种．
在△ 1 2中∠ 1 2 = 60°，
②甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，
所以由余弦定理可得：64 = 2 + 2 2 60°…②，
从4门中先任选一门作为相同的课程，甲从剩余的3门中
1
由①②可得： = 12，所以 = 60° =
任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门，由分步计数 △ 1 2 2
原理，此时共有 14
1 1 3√3．故选 A．
3 2 = 24种．
1
综上，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共 10.解：∵ ( ) = ，∴由随机变量 的分布列得： 3
有6 + 24 = 30种．故选 C．
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1 2
+ + = 1 = 2 1
6 1 1 2 2 2 2{ 1 1 ，解得 = ， = ，
由{ 1 得 ( + 2) + = 0，设
3 2 = ( ) 4 + = 2
6 3
( 1, 1)， ( 2, 2)， 1
∴ ( ) = ( 1 )2
1 1 1 1
× + (0 )2 × + (1 )2
1
× =
3 6 3 3 3 2 2+2 1
则 1 + 2 = ， 1 2 = ， 5 5 2 4
．∴ (3 2) = 9 ( ) = 9 × = 5．故选： ．
9 9 1 1
2 2 1 2 = ( 1 ) ( ). 2 2 2
11. 解：设 在双曲线
2 2 = 1的左支上，
= 2
1 1
[ 1 2 ( 2 1 + 2) + ]， 且 = = 2 ，∠ = 120°， 4
2
1 2 1 1 +2 1
则 的坐标为( 2 , √3 )，代入双曲线方程可得， ∴ = 1 2 + 1 2 = + [ 4 4 2 2
+ ] =
4
4 2 3 2 3 3
= 1，可得 = ， = √ 2 + 2 = √2 ， ；故答案为： ．
2 2 4 4
即有 = = √2．故选： ． 15. 解：因为 ( ) = ( 2)
+ ( 1)2， ∈ ．
所以 ′( ) = ( 1) + 2 ( 1) = ( 1)( + 2 )．
12. 解：因为 ( )， ( )图象上存在关于 轴对称的点，
( )当 = 0时，则 ( ) = ( 2) ， ( )只有一个零点
设 ( , )( < 0)在函数 ( )上，则 关于 轴的对称点
为 = 2．
为( , )，则存在 ∈ ( ∞, 0)，满足
1 ( )设 > 0，则当 ∈ ( ∞,1)时， ′( ) < 0；当 ∈
2 + = ( )2 + ln( + )，
2
(1,+∞)时， ′( ) > 0．
即方程
1
= ln( + )在( ∞,0)上有解，
2 所以 ( )在( ∞, 1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．
1
即函数 ( ) = 与函数 ( ) = ln( + )在
2 又 (1) = ， (2) = ，取 满足 < 0且 < ln ，则
2
( ∞, 0)上有交点， 3
( ) > ( 2) + ( 1)2 = ( 2 ) > 0，故 ( )
2 2
在直角坐标系中画出函数 ( )和 ( )的图象，如图所示，
存在两个零点．
( )设 < 0，由 ′( ) = 0得 = 1或 = ln( 2 )．
若 ≥ ，则ln( 2 ) ≤ 1，故当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) >
2
0，
因此 ( )在(1,+∞)上单调递增．又当 ≤ 1时， ( ) < 0，
所以 ( )不存在两个零点．
若 < ，则ln( 2 ) > 1，故当 ∈ (1, ln( 2 ))时，
2
1 ′( ) < 0；
当 ( )过点 (0, )时， =
2 √ ，
当 ∈ (ln( 2 ),+∞)时， ′( ) > 0.因此 ( )在
由图象可知，当 < √ 时，函数 ( )与 ( )在 < 0时
(1, ( 2 ))上单调递减，
有交点，所以 的取值范围为( ∞,√ ). 故选： ． ln
在( ( 2 ),+∞)上单调递增．又当 ≤ 1时， ( ) < 0，
13. 解：二项式( + )6的展开式通项公式为 = ln +1
所以 ( )不存在两个零点．综上可得 的取值范围为
6 6 ， = 0，1，. ..，6，
(0,+∞)
4 5 ．故答案为：(0,+∞)． 当 = 4时， 5 =
2 4 5
6 ，当 = 5时， 6 = 6 ，
16. 解：依题意，双曲线上两点 ( 1, 1)， ( 2, )，
2 4 2 4 5 5
2
所以含 4的项为 6 + ( ) 6 = (
4
6
若点 、 关于直线 ： = + 4( > 0)对称，设直线
5) 2 4 = 9 2 4，故 2 46 的系数为9，故答案为：9． 2
的方程是 = + ，代入双曲线方程 2 = 1，
1 3
14. 由题意知，抛物线 2 = 2 的焦点坐标为( , 0)，∴直
2
化简得：(3 2 1) 2 6 + 3 2 3 = 0，
1
线 的方程为 = ( )，
2 则 = 36 2 2 4(3 2 1)(3 2 3) > 0，且3 2
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1 ≠ 0，解得3 2 1 + 2 > 0，且3 2 1 ≠ 0， 5 5 1 8故 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ．
18 9 6 9
6
又 1 + 2 = 2 ，设 的中点是 ( 0, 0)，
3 1 18. 解：(1)设点 坐标为( , )，由题知 = × +2
+ 3
所以 1 20 = = ， 0 = 0 + = 2 2 ．
1
2 3 1 3 1 = ， 2 4
因为 的中点 在直线 ： = + 4( > 0)上， 2
整理得点 的轨迹方程为 + 2 = 1( ≠ ±2)；
4
3
所以 2 = 2 + 4，所以 = 3
2 1，又3 2
3 1 3 1 (2)设点 坐标为( , )，点 坐标为( 0, 0)，
1 ≠ 0， 0+4 =
2 0 = 2 4
3 2 1 由中点坐标公式得{ ，即{ ，
所以 ≠ 0，即 ≠ 0， ≠ 0，所以 = ， 0+ 0 = 0 = 2 2
2 3
2 1
所以3 1 + ( )2 > 0，整理得(3 2 1)(4 2 0 = 2 4 2
将{ 代入
= 2 +
2 = 1( ≠ 0)，
0 4
1 3
1) > 0，由 k>0解得： √0 < < 或 > ，
2 3 得点 的轨迹方程为：( 2)2 + 4 2 = 1( ≠ 0)．
1 3
实数 的取值范围为： √(0, ) ∪ ( ,+∞)． 19. (1)解：取 中点 ，连接 ， ， ，因为 =
2 3
27 ，所以 ⊥ ，
17. 解：(1)依题意对冰壶运动有兴趣的人数为 ×
40
因为侧面 ⊥底面 ，且平面 ∩底面 =
(200 + 200) = 270人，
，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有200 80 = 120人，
所以 ⊥底面 ，可知， ⊥ ， ⊥ ，
男生中对冰壶运动有兴趣的有270 120 = 150人，
以 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 ，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有200 150 = 50人，
故2 × 2列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男 150 50 200
女 120 80 200
合计 270 130 400
400×(150×80 50×120)2 400
∵ 2 = = ≈ 10.256 > 6.635，
270×130×200×200 39 则 ( 1,0,0), ( 1,√3, 0), (0,0,1), ( 2,√3, 0)，
∴有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
3 1
因为 为 中点，所以 √ ( 1, , )，
(2)从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生 2 2
√3 1
150 120 所以
人数、女生人数分别为：9 × = 5(人)，9 × = 4(人
= (0, √3, 0), = (0, , )，
2 2
270 270
)， 所以平面 的法向量为 1 = (1,0,0)，
√3 1
的所有可能取值为0，1，2， 因为 = ( 1,√3, 0), = (0, , )，
2 2
2 10 5
( = 0) = 5 = = ， 设平面 的法向量为 2 = ( , , )，
29 36 18
1 1 20 5 = 0 + √3 = 0
( = 1) = 4 52 = = ， 则{
2 ，即{ ，
9 36 9
√3 1
2 = 0 + = 02 2
2 6 1
( = 2) = 42 = = ， 9 36 6 令 = √3，则 = 1, = √3，即 2 = (√3, 1, √3)，
故 的分布列为： 所以cos < , >= 1
2 √21
1 2 = ， | 1 || 2 | 7
0 1 2 21
由图可知，二面角 为锐角，所以余弦值为√ ；
5 5 1 7
18 9 6 (2)解：设 = (0 ≤ ≤ 1)，
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2 2
由(1)可知 = ( 2, √3, 1), = (1,0, 1)， (2)联立 ： = 1( ∈ )与 + = 1，
4 2
设 ( , , )，则 = ( , , 1)， 并整理可得：( 2 + 2) 2 2 3 = 0，则 + =
又因为 = = ( 2 , √3 , )， 2 3
2 ， +2 = 2 ， +2
= 2
4
所以{ = √3 ，即 ( 2 , √3 , + 1)， 所以 + = ( + ) 2 = 2 ， = +2
= + 1
( 1)(
2
1) = ( + ) + 1 =
所以在平面 中， = (0,√3, 0), = (1
2 4 2
，
2
2 , √3 , 1 )， +2
9 9
所以平面 的法向量为 1 = (1 , 0,2 1)，
由 = ( + , 4 )， = ( + , )， 4
9 9
又因为 //平面 ，所以 = 0， 所以 1
= ( + )( + ) + = 4 4 +
2
即(1 ) + ( 1)(2 1) = 0，解得 = ， 9 81
3 ( + ) + + 4 16
2 2
所以当 = 时，即 = ， //平面 ． 2 4
2 9 81 3 17 2+2
3 3 = 2 2 + 2 = > 0， +2 +2 16 +2 16( 2+2)
20. 解：(1) ∵ ( ) = ， 故| || |cos∠ > 0，故∠ ∈ [0, ]且 ,
∴ ′( ) = ( ) 1， 不共线，故∠ 为锐角，
可得曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线斜率为 = 所以 在以 为直径的圆外．
′(0) = 0， +
22. 解：(Ⅰ) ′( ) = 1 + = ( > 0)，
(0) = 1，切点为(0,1)，
当 ≥ 0时， ′( ) > 0， ( )在(0,+∞)上单调递增；
曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = 1；
当 < 0时，令 ′( ) > 0，解得 > ，令 ′( ) < 0，
(2) ( ) = ，
解得0 < < ，
′( ) = ( ) 1，
∴ ( )在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增；
令 ( ) = ( ) 1，
综上，当 ≥ 0时， ( )在(0,+∞)上单调递增；
′( ) = ( ) = 2 ，
当 < 0时， ( )在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上
当 ∈ [0, ]，可得 ′( ) = 2 ≤ 0，
2 单调递增；
即有 ( )在[0, ]上单调递减，
2 (Ⅱ) ( ) + 2 ≥ ( ) + 即为 + ≥ + ，即
可得 ( ) ≤ (0) = 0，即 ′( ) ≤ 0， + ≥ + ，
则 ( )在[0, ]上单调递减， 1 +1
2 设 ( ) = + ( > 0)，则 ′( ) = + 1 = ，
即有函数 ( )在区间[0, ]上的最大值为 (0) =
2 易知函数 ( )在(0,+∞)上单调递增，
0 0 0 = 1； 而 ( ) ≥ ( )，所以 ≥ ，即 ≥ ，当 > 1
最小值为 ( ) = 2cos = ． 时，即为
≤ ，
2 2 2 2
1
21. 解：(1)选①：由上顶点 (0,√2)，即 = √2， 设 ( ) = ( > 1)，则 ′( ) = ， ln2
2
由 √ = = ，且 2 2 = 2 2 = 2，可得 2 = 4， 易知函数 ( )在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递
2
2 2 增，
所以椭圆 的方程为 + = 1；
4 2
∴ ( ) ≥ ( ) = ，
1
选②：由题设， × 2 × 2 = 4，即 = 2，而 = √2，
2 ∴ ≤ ，即 的最大值为 ．
所以 = √2，故 2 = 2 + 2 = 4，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1；
4 2
第 4 页，共 4 页绝密★启用前
内江名校高 2024 届高二（下）创新班入学考试
理科 数学
一、单选题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1. 椭圆2 2 + 2 = 8的长轴长是( )
A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2
2
2. 在复平面内，设 = 1 + ( 是虚数单位)，则复数 + 2对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 = (2, 2, 3)， = (2,0,4)，则cos , =( )
4 85 4 85
A. √ B. √ C. 0 D. 1
85 85
1
4. 函数 ( ) = 2 的单调递减区间为( )
2
A. ( 1,1) B. ( ∞, 1) C. (1, +∞) D. (0,1)
5. “ < 0”是方程“ 2 + 2 = 1表示双曲线”的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法
共有 ( )
A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
7. 如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥面 1 1，
= 1 = 2 ，则直线 1与直线 1夹角的余弦值为( )
2√2 5 5 3A. B. √ C. √ D.
5 3 5 5
2
8. 已知点 在曲线 = 3 + 上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是
3
3 3
A. [0, ] B. [0, ] ∪ ( ，0) C. [ , ] D. [0, ) ∪ [ ， )
2 2 2 4 2 4
2 2 1
9. 已知 是椭圆 + = 1上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 1 2 = ，
25 9 1 2 | 1 | | 2 | 2
则△ 1 2的面积为( )
3
A. √3√3 B. 2√3 C. √3 D.
3
1
10. 随机变量 的分布列如表所示，若 ( ) = ，则 (3 2) =( )
3
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
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11. 已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上，△ 为等腰三角形，顶角为120°，
则 的离心率为( )
A. √5 B. 2 C. √3 D. √2
1
12. 若函数 ( ) = 2 + ( < 0)与 ( ) = 2 + ln( + )图象上存在关于 轴对称
2
的点，则 的取值范围是( )
1 1 1
A. ( ∞,√ ) B. ( ∞, ) C. ( , √ ) D. ( √ , )
√ √ √
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. (1 )( + )6的展开式中 2 4的系数为______(用数字作答)．
14. 抛物线 2 = 2 与过焦点的直线交于 、 两点， 是原点，则 =______．
15. 已知函数 ( ) = ( 2) + ( 1)2有两个零点， 的取值范围是______．
2
16. 若双曲线 2 = 1上存在两个点关于直线 ： = + 4( > 0)对称，则实数 的
3
取值范围为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. (本小题10.0分)
某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各
27
200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的 ，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣．
40
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女 80
合计
(1)完成上面2 × 2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2
人作为冰壶运动的宣传员，设 表示选出的2人中女生的人数，求 的分布列和数学期望．
2 ( )
2
附： = ( = + + + )．
( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
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18. (本小题12.0分)
1
在△ 中， ( 2,0)， (2,0)， 与 斜率的积是 ．
4
(1)求点 的轨迹方程；
(2) (4,0)，求 的中点 的轨迹方程．
19. (本小题12.0分)
四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，侧面 ⊥底面 ，∠ = 60°，
= = √2， 是 的中点，点 在侧棱 上．
(1)若 是 的中点，求二面角 的余弦值；
(2)是否存在 ，使 //平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
20. (本小题12.0分)
已知函数 ( ) = ．
(1)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)求函数 ( )在区间[0, ]上的最大值和最小值．
2
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21. (本小题12.0分)
2 2
已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 、 ，上下顶点分别为 、 ，
2
+ 2 = 1( > > 0) 1 2
2
点 的坐标为 √ (0, √2)，在下列两个条件中任选一个：①离心率 = ；②四边形 1 2
2
的面积为4，解答下列各题．
(1)求椭圆 的方程；
9
(2)设直线 ： = 1( ∈ )交椭圆 于 、 两点，判断点 ( , 0)与以线段 为直
4
径的圆的位置关系，并说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = + ， ∈ ．
(Ⅰ)讨论 ( )的单调性；
(Ⅱ)若 ( ) + 2 ≥ ( ) + ，对任意 ∈ (1,+∞)恒成立，求 的最大值．
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