2022-2023 学年度高一（下）期创新班入学考试题
一、单选题（满分 40 分，每小题 5 分）
1．已知集合 A 3, 2, 1,0,1 ，集合B {x N∣ 2 x 3}，则 A B （ ）
A．{ 3, 2, 1,0,1} B． 2, 1,0,1 C． 0,1 D． 2, 1,0
25
2．若函数 y x2 3x 4 的定义域为 0,m ，值域为 , 4 ，则m的取值范围是（ ） 4
A． 0,4 3B． ,3
3 3
C． , 4 D． ,
2 2 2
2
3．已知函数 f x 是奇函数， g x 是偶函数，且 f x g x 3x ，则 f x （ ）
x 2
4x 4x 3x 2x
A．6x 2 B．6x 2 C．3x 2 D．3x x 4 x 4 x 4 x2 4
4．下述正确的是（ ）
π
A．“ kπ ,k Z
π
”是“ sin cos ”的充要条件 B．若 cos 0，则
4 2
C．若 的终边为第三象限平分线，则 tan 1 D．若 为第四象限角，则 sin 0
5．已知函数 f x lg x，若0 a b，且 f a f b ，则 a b的取值范围是（ ）
A． 1, B． 1, C． 2, D． 2,
6．某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（ ）
A 3． B 2． C． 2 D． 3
2 2
7．已知 ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
a b c
A．若 ，则 ABC一定是等边三角形 B．若 acosA bcosB，则 ABC一定是等腰三角形
cosA cosB cosC
C．若bcosC cosB b，则 ABC一定是等腰三角形 D．若 a2 b2 c2 0，则 ABC一定是锐角三角形
8．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1,M ,N分别是棱 BC,CC1的中点，动点 P在正方形 BCC1B1（包括
边界）内运动，若 PA1 / /平面 AMN，则线段 PA1的长度范围是（ ）
3 2 5 3 2 , , 5 3 2 , 5
3 2
A． B．4 4
C． D． , 5
4 2 2 2
2
二、多选题（满分 20 分，每小题 5 分，选对但不全得 2 分，有错得 0 分，
全对得 5 分）
9．已知平面向量 a m,1 ，b 2,n ，c 1, 2 ，则（ ）．
1
A．若 a∥c，则m B．若b c ，则 n 1
2
C．若b 与 c的夹角为锐角，则 n 1 D． 2a c 的最小值为 4
10 z m2．已知复数 1 (m 3)(m 1)i(m R)，则下列说法正确的是（ ）．
A．若m 0，则 z的共轭复数 z 1 3 i B．若复数 z 2，则m 3
C．若复数 z为纯虚数，则m 1 D．若m 0，则 4 2z z2 0
π
11．已知函数 f x Asin x （ A 0， 0， ）的部分图象如图所示，
2
则下列结论正确的是（ ）
π π
A． f x 2cos 2x B．满足 f x 1的 x的取值范围为3 kπ,kπ （ k Z ） 3
π π
C．将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，得到的图象的一条对称轴 x
12 3
π
D．函数 f x 与 g x 2cos2x的图象关于直线 x 3 对称
试卷第 1页，共 4页
12．如图，棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为线段 B1D1上动点（包括端点）.则下列结论正确的
是（ ）
第 12题图 第 15题图
A．当点 P在线段 B1D1上运动时，三棱锥 P A1BD的体积为定值
B．记过点 P平行于平面 A1BD的平面为 ， 截正方体 ABCD A1B1C1D1截得多边形的周长为3 2
π
C．当点 P为 B1D1中点时，异面直线 A1P与 BD所成角为 2
D．当点 P为 B1D1中点时，三棱锥P A1BD的外接球表面积为11π
三、填空题（ 满 分 20 分， 每小题 5 分）
13．已知向量 AB 2,1 ， BC 7,m ，CD 3, 1 ，若 A，B，D三点共线，则m _____________．
14．设 2a 5b
2 1
m，且 1，则m ____________．a b
15．如上图，在三棱锥木块V ABC 中，VA，VB，VC两两垂直，VA VB VC 1，点 P为 VAC的重心，
沿过点 P的平面将木块锯开，且使截面平行于直线 VC和 AB，则该截面的面积为____________．
2x2
16 f x
k 2 x 2
．已知函数 x 0 ， a,b,c 0，以 f a ， f (b)， f c 的值为边长可构成一
x2 x 1
个三角形，则实数 k的取值范围为____________________．
四、解答题（满分 70 分）
17．（本小题满分 10分）若不等式 (1- a)x2 - 4x +6 > 0 的解集是{x 3 x 1}．
(1)解不等式 2x2 + (2 - a)x - a > 0 ；
(2)b为何值时， ax2 bx 3 0的解集为 R．
18 2．（本小题满分 12分）函数 f x 2cos x 2 3 sin x cos x 2 .
(1)求 f x 的单调递增区间；
(2)求 f x 在 0,
π
2
上的值域.
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19．（本小题满分 12分）已知 f x 2 a x 是定义域为 R 的奇函数．2 1
(1)求 a的值；
(2)判断 f (x)的单调性并证明你的结论；
(3)若 f 2x2 x f 2x2 k 0恒成立，求实数 k的取值范围．
5 π
20．（本小题满分 12分）在① a cosC c cos A bcosB，② 5sin(
π
B) 5sin( B) 1，③ B (0, )，
4 2 2
cos 2B cosB 13 ．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
25
已知 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且________．
(1)求 tan2B的值;
tan A 12 11(2)若 ,c ，求 ABC的周长与面积．
5 4
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21（．本小题满分 12分）如图所示，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 平面 ABCD，PA AB 2，
AD 2，点 E是 PB的中点．
(1)证明： AE PC；
(2)求点D到CE的距离；
(3)求二面角C AE D的大小．
22．（本小题满分 12分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，点A在平面 A1BC上的射影为 BC的中点D，
BAC ，
2 BC 2 2
， A1B A1C， A1A 2a .
（1）求证： A1D 平面 ABC；
（2）若1 a 2，求直线 A1C与平面 BCC1B1所成角的正弦值的取值范围.
试卷第 4页，共 4页2022-2023 学年度高一（下）期创新班入学考试题（参考答案）
1．【来源】山东省潍坊市安丘市 2022-2023学年高一上学期期末数学试题【答案】C
2．【来源】2014-2015学年山东省临沂市四校联考高一上学期期中考试数学试卷【答案】B
3．【来源】山东省济宁市嘉祥县第一中学 2022-2023学年高一上学期期末数学试题【答案】D
4．【来源】山东省青岛市 2022-2023学年高一上学期期末数学试题【答案】A
5．【来源】山东省济宁市曲阜市第一中学 2022-2023学年高一上学期期末数学试题【答案】C
6．【来源】山东省五莲县、诸城市、安丘市、兰山区四县区 2022届高三过程性测试数学试题【答案】D
7．【来源】山东省菏泽市 2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 A【答案】A
8．【来源】山东省聊城市聊城第一中学 2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】B
【详解】如图，分别作 B1C1,BB1的中点 E,F ,连接 EF, A1E, A1F，显然 EF / /MN , A1E / /AM ，
且 A1E,EF 平面 A1EF， A1E EF E ； AM ,MN 平面 AMN , AM MN M
所以平面 A1EF / /平面 AMN，平面 A1EF 平面 BCC1B1 EF，所以动点 P在正方形
BCC1B
1
1的轨迹为线段 EF 在三角形 A1EF中， EF BC
2
，
2 1 2
2
A1E A1F 1
2 1 5 5 ，所以点 P到点 A1的最大距离为 A2 2 1
E A1F ，最小距离
2
2 2
为等腰三角形 AEF
EF 5
2 3 2
1 在边 上的高为 ，故选：B
2 4 4
9．【来源】山东省聊城市 2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】ABD
10．【来源】山东省泰安市 2020-2021学年高一下学期期末数学试题【答案】ABD
11．【来源】山东省烟台市 2022届高三三模数学试题【答案】ABD
【详解】由图可得， f x 2,T 2 11 5 π π π A 2, 2max ，所以 ，因为 12 12
f π 2sin
π
2
0
π
，所以 2kπ,k
π π π
Z，所以 2kπ+ ,k Z，因为 ，所以 ,
12 12 6 6 2 6
f x 2sin π 2x =2cos 2x
π
，故 A正确；由 f x 2sin
2x π 1 π 1 可得 sin 2x ，
6 3 6 6 2
2kπ π 2x π 2kπ 5π所以 ,k Z，解得 x kπ,kπ
π
， k Z ，故 B正确；将函数 f x 的图象向右6 6 6 3
π
平移 个单位长度，得到的是函数 y 2sin
2
π π
x 2sin2x
π
的图象，直线 x 不是其对称轴，故
12 12 6 3
2π 3π
C错误；因为 f x 2sin 2x 2cos 2x g x ，所以函数 f x 与 g x 2cos 2x 的图象关
3 2
x π于直线 对称，故 D正确；故选：3 ABD
12．【来源】山东省泰安市新泰市第一中学北校 2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题【答案】ACD
【详解】对 A，由于 B1D1∥BD，显然 B1D1∥平面 A1BD，又 P B1D1，所以 P在任何位置时到平面 A1BD的
距离相等，所以三棱锥 P A1BD的体积为定值，故 A正确；对 B，由 P在 B1D1上且 B1D1∥BD，故截面为
B1CD1，所以截面周长为 6 2 ，故 B错误；对 C，当点 P为 B1D1中点时，由于 A1B1C1D1为正方形，
所以 A1P B1D1，又 BD∥B1D1，所以 A1P BD，故 C正确；对 D，当点 P为 B1D1中点时， A1P B1D1，
所以在正方体中 A1P 平面 BDP，由 BD 2 2， BP DP 6 ，
2 2 2
cos BPD BP DP
2 BD2 4 1 2r 3
所以 ， sin BPD 2 2 ，所以△BPD外接圆直径
2 BP DP 12 3 2 2
，
3
3
所以三棱锥 P ABD的外接球的直径 2R (2r)2 AP21 1 9 2 11，所以三棱锥 P A1BD的外接球表
面积为 4 ( 11)2 11 ，故 D正确；故选：ACD
2
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13．【来源】山东省济南市章丘区 2022-2023学年高三上学期诊断性测试数学试题【答案】6
14．【来源】山东省淄博市淄博第五中学 2022-2023学年高一上学期期末数学试题【答案】20
15 2 2．【来源】山东省烟台市 2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】
9
【详解】由 VA，VB，VC两两垂直，VA VB VC 1，则可将三棱锥补形到正方体中，连接 AP并延长，
交VC于D，过P作VC的平行线，交AV于E，交AC与F，过E作 EH ∕ ∕ AB，交VB于H ，过H作HM ∕ ∕VC，
交 BC于 M，连接 MF，如图所示，因为MH ∕ ∕VC ∕ ∕ EF ，所以 E、F、M、H四点共面，
因为 EF ∕ ∕VC，VC 平面 EFMH ， EF 平面 EFMH ，
所以VC ∕ ∕ 平面 EFMH ，
因为 EH ∕ ∕ AB， AB 平面 EFMH ，HE 平面 EFMH ，
所以 AB ∕ ∕平面 EFMH ，则平面 EFMH 即为所求，
因为 EH ∕ ∕ AB， EH 平面 ABC， AB 平面 ABC，
所以 EH ∕ ∕ 平面 ABC，
又 EH 平面 EFMH ，平面 EFMH 平面 ABC MF，所以 EH ∕ ∕ MF ，
所以四边形 EFMH 为平行四边形，
又VC VB,VC VA，VA,VB 平面 VAB，所以VC 平面 VAB，所以 EF 平面 VAB，
因为 EH 平面 VAB，所以 EF EH ，即四边形 EFMH 为矩形，
因为 EF ∕ ∕VC，所以 AEF ∽ AVC，
EF AE AP 2 2因为 P为 VAC的重心，所以 ，则 AE EF ，同理可证 VEH ∽ VAB，所以
VC AV AD 3 3
VE HE 1
HE 2 2 2 2 2 2 2，则 ，所以矩形 EFMH 的面积为 ，故答案为：
VA AB 3 3 3 3 9 9
16．【来源】山东省潍坊市 2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】 3,6
【详解】根据题意可知, a,b,c 0 f a f b f c 恒成立,又
2 2
f 2x k 2x x 2 2x 2x 2 kx kx k
x2
2 2
x 1 x2 x 1 x2 x 1 x 0 .x 1 1
x
1.当 k 0时, f x 2显然成立.
2.当 k 0时,因为函数 y
1
x 1 在 0,1 上单调递减,在 1, 上单调递增,
x
y 1 x 1 3, y 2
k 2,2 k
故 .所以 x 1 1
x 3
.
x
又 a,b,c 0 f a f b f c 恒成立,所以 2 2 k 2 k 6 .此时0 k 6
3
1 k k
3. k 0 , 2 y x 1 3, , y 2 1 2 2
，
当 时 同 有 所以
x x 1 3 x
2 k此时 2
2 k 3 .此时 3 k 0，综上所述, k的取值范围为 3,6
3
【点睛】本题主要考查了函数的值域综合问题,需要根据题意求函数的最值并列出函数最值满足的关系式,
同时也需要对函数的分离常数化简等有所掌握.属于难题.
17．（本小题满分 10分）【来源】山东省菏泽市单县单县第二中学 2022-2023学年高一上学期期中数学试题
4
3 1 1 a
【详解】（1）由题意得 3和 1是方程 (1- a)x2 - 4x +6 = 0 的两个根，则有 ，解得 a 3，
3 1 6
1 a
3
所以不等式 2x2 + (2 - a)x - a > 0 化为 2x2 x 3 0， (x 1)(2x 3) 0，解得 x 1或 x ，
2
3
所以不等式的解集为 x x 1或 x
2
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（2）由（1）可知3x2 bx 3 0的解集为 R，所以 b2 4 3 3 0，解得 6 b 6，所以b的取值范
围为 6,6
18．（本小题满分 12分）【来源】山东省潍坊第一中学 2022-2023学年高三上学期期中考试模拟数学试题
π
【详解】（1） cos 2x 3 sin 2x 3 2cos 2x 3
3
π 2kπ 2x π 2kπ 2π π， k Z， kπ x kπ， k Z；
3 3 6
∴ f x 2π π 的单调增区间为 kπ, kπ ， k Z； 3 6
x 0, π π 4π（2）因为 ，令 t 2x
π
，所以 t , ，
2 3 3 3
cos t 1, 1 f (x) 2cos 2x π∴ ，所以
3 1,4 ，∴ f x 1,4 .
2 3
19．（本小题满分 12分）【来源】山东省临沂第一中学文峰校区 2022-2023学年高一上学期期末考数学试题
2 2
【详解】（1）因为函数 f x a x 是定义域为 R 的奇函数，则有 f (0) a a 1 0 ，解得 a 1，2 1 20 1
x x x x
f x 1 2 2 1 f x 2 1 1 2 2 1此时 x x ， x x x f( x)，函数 f (x)是奇函数，所以 a 1 .2 1 2 1 2 1 1 2 2 1
（2）函数 f (x)在 R 上单调递增，
x1 x2
任意 x1, x2 R, x1 x2 ， f (x1) f (x2 ) (1
2 2 2 2 2(2 2 )
) (1 ) ，
2x1 1 2x2 1 2x2 1 2x1 1 (2x1 1)(2x2 1)
因为函数 y 2x在 R 上单调递增， x1 x2，则有0 2x1 2x2 ，即有 f (x1) f (x2) 0，即 f (x1) f (x2 )，
所以函数 f (x)在 R 上单调递增.
（3）由（2）知，函数 f (x)在 R 上单调递增，又 f (x)是 R 上的奇函数，
不等式 f 2x2 x f 2x2 k 0 2 2 2恒成立，等价于 f 2x x f 2x k f 2x k ，
1 1 1 1
即 2x2 x 2x2 k k 4x2 x 4x2恒成立，而 x 4(x )2 ，当且仅当 x = 时取等号，
8 16 16 8
则 k
1 1
，所以实数 k的取值范围是 k .
16 16
20．（本小题满分 12分）【来源】山东省烟台市烟台第一中学 2022-2023学年高三上学期期末数学试题
24 33
【答案】(1) (2)周长为 11，面积为
7 8
5
【详解】（1）若选①:由正弦定理得 sin AcosC sinC cos A sin B cosB，故 sin(A C)
5
sin B cosB，
4 4
而在 ABC中， sin(A C) sin( π B ) sinB 5，故 sin B sin B cosB，又 B (0, π)，
4
所以 sinB 4 0，则 cos B ，则 sin B 1 cos2 B 3 , tan B sin B 3 ，故 tan 2B 2 tan B 24 ．
5 5 cosB 4 1 tan2 B 7
π 1
若选②:由 5sin( B) 5sin( B) 1，化简得 cosB sin B ，代入 cos2 B sin2 B 1中，整理得2 5
25sin2 B 5sin B 12 0，即 (5sinB 3)(5sinB 4) 0，
因为 B (0, π)
3
，所以 sin B 0 4，所以 sin B ，则 cosB , tan B sin B 3 2 tan B 24 ，故 tan 2B ．
5 5 cosB 4 1 tan2 B 7
13 13 12 3 4
若选③:因为 cos 2B cosB ，所以 2cos2 B 1 cosB ，即 2cos2 B cosB 0，则 (2cosB )(cosB ) 0．
25 25 25 5 5
B (0, π 4 2 3因为 )，所以 cos B ，则 sin B 1 cos B , tan B
sin B 3
，故 tan 2B
2 tan B 24
．
2 5 5 cosB 4 1 tan2 B 7
sin A 12 5 12
（2）因为 tan A ，且 sin2 A cos2 A 1, A (0, π)，所以 cos A ,sin A ．
cos A 5 13 13
由（1）得 cosB
4
,sin B 3 ，则 sinC sin(A B) sin Acos B cos Asin B
12 4 5 3 33
，
5 5 13 5 13 5 65
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a b c 65 13
由正弦定理得 ，则 a 5,b ．故 ABC的周长为 a b c 11，
sin A sin B sinC 12 4
ABC 1 1 13 33 33的面积为 SV ABC absinC 5 ．2 2 4 65 8
21．（本小题满分 12分）【来源】山东省青岛市 2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【解析】（1）证明： PA 平面 ABCD，底面 ABCD为矩形
PA BC,BC AB，又 PA AB A,PA, AB 平面PAB
BC 平面PAB，又 AE 平面PAB
BC AE， PA AB，点 E是 PB的中点．
AE PB，又 PB BC B,PB,BC 平面PBC
AE 平面PBC， AE PC
（2）解：由（1） AE 平面PBC得： AE EC
又 BC 平面PAB，BC∥AD， AD 平面PAB，即 AD AE
因为 PA AB 2，AD 2，所以 AE 2，DE 2，AC 6，故 EC 2
即 EC DE CD 2，三角形 ECD是边长为 2的正三角形，
1
点D到CE的距离为d ,则 S ECD 2 2 sin
π 1
3 2 d ，所以 d 3，所以点D到CE的距离 3 .
2 3 2
（3）解：由（2）知 AD AE， AE EC，故取 PC中点 M，连接 EM，DM.因为 E,M 分别为PB,PC中
点，所以 EM∥BC，即 EM AD，故 EM AE，则 MEC为二面角C AE D的平面角
又在△EMC EC 2,EM 1 2
2
中， BC ,MC 1 1 10 PC 22 6 ，所以
2 2 2 2 2
2 2
2
22
10
2
cos MEC
2 2 ，又 MEC (0, π)
π π
，所以 MEC .即二面角C AE D的大小为 .
2 2 4 42 2
2
22．（本小题满分 12分）【来源】山东省聊城市 2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【详解】（1）证明：因为 AD 平面 A1BC， AD 平面 ABC，所以平面 ABC 平面 A1BC .
因为 A1C A1B，BD CD，所以 A1D BC .
又因为平面 ABC 平面 A1BC，平面 ABC 平面 A1BC BC， A1D 平面 A1BC，
所以 A1D 平面 ABC
2 B1C1 D AD DD
DD
1 1 1 1 1
BB1 AA1 A1D1DA（ ）解：取 中点 ，连接 ， ，则 ，所以四边形 是平行四边形.
因为 BC AD， BC A1D， AD A1D D， AD， A1D 平面 AA1D1D，
所以 BC 平面 AA1D1D，又 BC 平面 BB1C1C，所以平面 BB1C1C 平面 AA1D1D .
作 A1E D1D于 E，则 A1E 平面 BB1C1C，连接CE，则 A1CE为直线 A1C与平面 BCC1B1所成的角.
由 BAC ， BD CD，
2 BC 2 2
，知 AD BD CD 2，
又由（1）知 A1D 平面 ABC，
2 AE A1D A1D
2
1 4a 2 2 2a
2 1
所以 A1D 4a 2 ， 1 ，DD1 2a a
AC AD2 CD21 1 2 a.
A E 2a2 2
则 sin ACE 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1.A1C 2a
2 2 a4 a2 2 a2
1 1
1 a 2 1 7 1由于 ，所以 2 ，所以 sin A1CE .4 a 8 2
A 7 1
故直线 1C与平面 BCC1B1所成角的正弦值的取值范围为 ,8 2
.
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