电白县林头中学数学科――中考复习教案
第1课时 实数
【考纲要求】
1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．
3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．
4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．
5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.
【命题趋势】
实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.
【考点探究】
考点一、实数的分类
【例1】四个数－5，－0.1，，中为无理数的是( )
A．－5 B．－0.1 C． D．
解析：因为－5是整数属于有理数，－0.1是有限小数属于有理数，是分数属于有理数，开不尽方是无理数，故选D
方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．
触类旁通1 在实数5，，，中，无理数是( )
A．5 B． C． D．
考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴
【例2】(1)－的倒数是__________；
(2)(－3)2的相反数是( )
A．6 B．－6 C．9 D．－9
(3)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|＋＝__________.
解析：(1)－的倒数为＝－5；
(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D；
(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识．
由图可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
所以a＋b＜0，b－a＞0，原式＝－a－b＋b－a＝－2a.
方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．
2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．
3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.
触类旁通2 下列各数中，相反数等于5的数是( )
A．－5 B．5
C．－ D．
考点三、平方根、算术平方根与立方根
【例3】(1)(－2)2的算术平方根是( )
A．2 B．±2 C．－2 D．
(2)实数27的立方根是__________．
解析：(1)(－2)2的算术平方根，即＝|－2|＝2；
(2)27的立方根是＝3.
方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根本身是非负数，即≥0.
2．()3＝a，＝a.
触类旁通3 4的平方根是( )
A．2 B．±2
C．16 D．±16
考点四、科学记数法、近似数、有效数字
【例4】年安徽省有682 000名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000用科学记数法表示为( )
A．0.69×106 B．6.82×105
C．0.68×106 D．6.8×105
解析：用科学记数法表示的数必须满足a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.682 000＝6.82×105≈6.8×105
方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．
2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．
3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．
触类旁通4 某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是( )
A．0.05毫米 B．0.005毫米
C．0.000 5毫米 D．0.000 05毫米
考点五、非负数性质的应用
【例5】若实数x，y满足＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为__________．
解析：因为≥0，(3－y)2≥0，而＋(3－y)2＝0，所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，则xy－x2＝2×3－22＝2.
方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a|，(a≥0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.
触类旁通5 若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为( )
A．－4 B．－1 C．0 D．4
考点六、实数的运算
【例6】计算：(1)2－1＋cos 30°＋|－5|－(π－2 011)0.
(2)(－1)2 011－－3＋0＋|3－8sin 60°|.
(1)分析：2－1＝，cos 30°＝，|－5|＝5，(π－2 011)0＝1.
解：原式＝＋×＋5－1＝＋＋5－1＝6.
(2)分析：－3＝(2－1)－3＝23＝8，0＝1，sin 60°＝
解：原式＝－1－8＋1＋＝－8＋.
点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a－p＝(a≠0)．(2)a0＝1(a≠0)．
方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．
考点七、实数的大小比较
【例7】比较2.5，－3，的大小，正确的是( )
A．－3＜2.5＜ B．2.5＜－3＜
C．－3＜＜2.5 D．＜2.5＜－3
解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和的大小即可，由2.52＜()2，得2.5＜，
所以－3＜2.5＜.
方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．
触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( )
A．－6 B．0
C．3 D．8
【经典考题】
1．(2013黄石)－的倒数是( )
A． B．3 C．－3 D．－
2．(2013南京)下列四个数中，负数是( )
A．|－2| B．(－2)2 C．－ D．
3．(2013北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )
A．6.011×109 B．60.11×109
C．6.011×1010 D．0.6011×1011
4．(2013南充)计算2－(－3)的结果是( )
A．5 B．1 C．－1 D．－5
5．(2013乐山)计算：＝__________.
6．(2013重庆)计算：＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2 012＋－2.
【模拟预测 】
1．下列各数中，最小的数是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－
2．若|a|＝3，则a的值是( )
A．－3 B．3 C． D．±3
3．下列计算正确的是( )
A．(－8)－8＝0 B．×(－2)＝1
C．－(－1)0＝1 D．|－2|＝－2
4．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为C，则点C所表示的实数是( )
A．2－1 B．1＋ C．2＋ D．2＋1
5．(1)实数的倒数是____．
(2)写出一个比－4大的负无理数__________．
6．若将三个数－，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．
7．定义一种运算☆，其规则为a☆b＝＋，根据这个规则，计算2☆3的值是__________．
8．如图，物体从点A出发，按照A→B(第1步)→C(第2步)→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．
9．计算：|－2|＋(－1)2 012－(π－4)0.
第2课时 整式及因式分解
【考纲要求】
1.能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．
3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.
【命题趋势】
整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题．
【考点探究】
考点一、整数指数幂的运算
【例1】 下列运算正确的是( )．
A．3ab－2ab＝1 B．x4·x2＝x6 C．(x2)3＝x5 D．3x2÷x＝2x
解析：A项是整式的加减运算，3ab－2ab＝ab，A项错；B项是同底数幂相乘，x4·x2＝x4＋2＝x6，B项正确；C项是幂的乘方，(x2)3＝x2×3＝x6，C项错；D项是单项式相除，3x2÷x＝(3÷1)x2－1＝3x，D项错．
答案：B
总结：
幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．
考点二、同类项与合并同类项
【例2】 单项式－xa＋b·ya－1与3x2y是同类项，则a－b的值为( )．
A．2 B．0 C．－2 D．1
解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－xa＋b·ya－1与3x2y是同类项，
得得∴a－b＝2－0＝2.
答案：A
总结：
1．同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；
2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy2与－y2x也是同类项；
3．几个常数项都是同类项，如－1,5，等都是同类项．
考点三、整式的运算
【例3】 先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－.
解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab，当a＝3，b＝－时，2ab＝2×3×＝－2.
总结：
整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a，b所表示的两个数及公式的结构特征，不要犯类似下面的错误：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.
考点四、因式分解
【例4】 分解因式：－x3－2x2－x＝__________.
解析：由于多项式中有公因式－x，先提公因式再用公式法．－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2.
答案：－x(x＋1)2
总结：
因式分解的一般步骤
(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；
(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；
(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
触类旁通 分解因式：4－a2＋2ab－b2＝__________.
【经典考题】
1．(2013南京)计算(a2)3÷(a2)2的结果是( )．
A．a B．a2 C．a3 D．a4
2．(2013福州)下列计算正确的是( )．
A．a＋a＝2a B．b3·b3＝2b3 C．a3÷a＝a3 D．(a5)2＝a7
3．(2013枣庄)如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠，无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )．
A．m＋3 B．m＋6 C．2m＋3 D．2m＋6
4．(2013宜宾)分解因式：3m2－6mn＋3n2＝________.
【模拟预测】
1．下列运算中，正确的是( )．
A．4m＋n＝5mn B．－(m－n)＝m＋n C．(m2)3＝m6 D．m2÷m2＝m[
2．把代数式mx2－my2分解因式，下列结果正确的是( )．
A．m(x＋y)2 B．m(x－y)2 C．m(x＋2y)2 D．m(x＋y)(x－y)
3．已知代数式3x2－4x＋6的值为9，则x2－x＋6的值为( )．
A．7 B．18 C．12 D．9
4．如图所示，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )．
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a±b)2＝a2±2ab＋b2
5．若3xm＋5y2与x3yn的和是单项式，则nm＝__________.
6．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝__________.
7．若2x＝3,4y＝5，则2x－2y的值为__________．
8．给出3个整式：x2,2x＋1，x2－2x.
(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；
(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？
9．观察下列各式
(x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；
(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1；
……
(1)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值；
(2)判断22 009＋22 008＋22 007＋22 006＋…＋2＋1的值的末位数．
第3课时 分式
【考纲要求】
1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．
2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.
【命题趋势】
命题反映在分式中主要涉及分式的概念、性质、运算法则及其应用，题型表现为填空题、选择题、化简求值题等形式.
【考点探究】
考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件
【例1】若的值为零，则x的值是( )
A．±1 B．1 C．－1 D．不存在
解析：当分式的分子是零且分母不是零时，分式值为零，当|x|－1＝0时，x＝±1，而x＝1时，分母x2＋2x－3＝0，分式无意义，所以x＝－1.
方法总结 分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．
触类旁通1 若分式无意义，则当－＝0时，m＝__________.
考点二、分式的基本性质
【例2】不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )
A． B． C． D．
解析：因为要求不改变分式的值，把的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可．
方法总结 运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：＝，＝(其中m≠0)和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．
触类旁通2 下列运算正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
考点三、分式的约分与通分
【例3】化简：＝__________.
解析：＝＝.
方法总结 1．分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式．
2．通分的关键是确定最简公分母．
求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母．
触类旁通3 分式，，的最简公分母为( )
A．(a2－b2)(a＋b)(b－a) B．(a2－b2)(a＋b)
C．(a2－b2)(b－a) D．a2－b2
考点四、分式的运算
【例4】(1)化简：＋.
(2)先化简，再求值：÷，其中x＝－1.
解：(1)原式＝＝＝＝2；
(2)÷
＝÷
＝·＝x－2.
当x＝－1时，原式＝－1－2＝－3.
方法总结 在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．
关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
【经典考题】
1．(2013宜昌)若分式有意义，则a的取值范围是( )
A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0
2．(2013河北)化简÷的结果是( )
A．. B． C． D．2(x＋1)
3．(2013杭州)化简得__________；当m＝－1时，原式的值为__________．
4．(2013南昌)化简：÷.
5．(2013衢州)先化简＋，再选取一个你喜欢的数代入求值．
【模拟预测】
1．化简÷(m＋2)的结果是( )
A．0 B．1 C．－1 D．(m＋2)2
2．下列等式中，不成立的是( )
A．＝x－y B．＝x－y
C．＝ D．－＝
3．已知－＝，则的值是( )
A． B．－ C．2 D．－2
4．当x＝__________时，分式的值为零．
5．化简－的结果是__________．
6．计算：·(x－3)＝__________.
7．已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子＋＝__________.
8．先化简，再求值：
(1)÷，其中a＝－1.
(2)÷，其中x＝－3.
第4课时 二次根式
【考纲要求】
1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质()2＝a(a≥0)．
2．能用二次根式的性质＝|a|来化简根式．
3．能识别最简二次根式、同类二次根式．
4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
【命题趋势】
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以客观题形式进行考查，重点要求熟练掌握基本运算．二次根式运算的另一考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点.
【考点探究】
考点一、二次根式有意义的条件
【例1】若使有意义，则x的取值范围是________．
解析：x＋1与2－x都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x不能为零，可得不等式组解得－1≤x＜2.
答案：－1≤x＜2
方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．
触类旁通1 要使式子有意义，则a的取值范围为__________．
考点二、二次根式的性质
【例2】把二次根式a化简后，结果正确的是( )
A． B．－ C．－ D．
解析：要使a有意义，必须－＞0，即a＜0.
所以a＝a＝＝－.
答案：B
方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
触类旁通2 如果＝1－2a，则( )
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
考点三、最简二次根式与同类二次根式
【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
(2)在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
解析：(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D选项中的被开方数中含有分母，故B选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出＝|a|，＝a，＝a2，结合同类二次根式的概念，可得出与是同类二次根式．
答案：(1)B (2)C
方法总结 1．最简二次根式的判断方法：
最简二次根式必须同时满足如下条件：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；
(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
触类旁通3 若最简二次根式与是同类二次根式，则ab＝__________.
考点四、二次根式的运算
【例4】计算：(－)÷.
解：原式＝(5－2)÷＝3÷＝3.
方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．
2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．
【经典考题】
1．(2013株洲)要使二次根式有意义，那么x的取值范围是( )
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
2．(2013义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )
A．2与3之间 B．3与4之间
C．4与5之间 D．5与6之间
3．(2013杭州)已知m＝×(－2)，则有( )
A．5＜m＜6 B．4＜m＜5
C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5
4．(2013广东)若x，y为实数，且满足|x－3|＋＝0，则2 012的值是__________．
5．(2013德阳)有下列计算：①(m2)3＝m6，②＝2a－1，③m6÷m2＝m3，④×÷＝15，⑤2－2＋3＝14，其中正确的运算有__________．(填序号)
【模拟预测】
1．下列各式计算正确的是( )
A．＋＝ B．2＋＝2
C．3－＝2 D．＝－
2．估计×＋的运算结果在( )
A．1到2之间 B．2到3之间
C．3到4之间 D．4到5之间
3．若a＜1，化简－1等于( )
A．a－2 B．2－a
C．a D．－a
4．已知实数a满足|2 011－a|＋＝a，则a－2 0112的值是( )
A．2 011 B．2 010
C．2 012 D．2 009
5．计算2－6＋的结果是( )
A．3－2 B．5－
C．5－ D．2
6．若＋(y－2 012)2＝0，则xy＝__________.
7．当－1＜x＜3时，化简：＋＝__________.
8．如果代数式有意义，则x的取值范围是________．
9．计算：(－3)0＋×＝__________.
10．计算：－1－2－(π－)0＋|－1|.
11．计算：(＋)(－)－|1－|.
12．计算：(－3)0－＋|1－|＋ .
第5课时 一次方程(组)
【考纲要求】
1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．
2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．
3．会列方程(组)解决实际问题.
【命题趋势】
一元一次方程在各省市的中考试题中体现的不突出，个别省市仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组在中考中一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.
【考点探究】
考点一、一元一次方程的解法
【例1】解方程：－＝1.
解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6，去括号，得4x＋2－10x－1＝6，移项，得4x－10x＝6－2＋1，合并同类项，得－6x＝5，系数化为1，得x＝－.
方法总结 解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．
考点二、二元一次方程组的有关概念
【例2】已知是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根为( )
A．4 B．2 C． D．±2
解析：∵是方程组的解，
∴解得∴＝＝＝2.
方法总结 方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．
触类旁通1 已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．
考点三、二元一次方程组的解法
【例3】解方程组
解：方法一：用加减消元法解方程组．
①×2得6x－2y＝10，③
②＋③得11x＝33，解得x＝3.
把x＝3代入①得9－y＝5，解得y＝4.
所以原方程组的解为
方法二：用代入消元法解方程组．
由①得y＝3x－5，③
把③代入②得5x＋2(3x－5)＝23，即11x＝33，解得x＝3.把x＝3代入③得y＝4.所以原方程组的解为
方法总结 解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．
触类旁通2 解方程组：
考点四、列方程(组)解决实际问题
【例4】食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？
分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决．
解法一：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了(100－x)瓶，依题意，得2x＋3(100－x)＝270.
解得x＝30,100－x＝70.
解法二：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，依题意，得解得
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．
方法总结 对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．
【经典考题】
1．(2013重庆)关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．(2013临沂)关于x，y的方程组的解是则|m－n|的值是( )
A．5 B．3 C．2 D．1
3．(2013杭州)已知关于x，y的方程组其中－3≤a≤1.给出下列结论：①是方程组的解；②当a＝－2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解；④若x≤1，则1≤y≤4.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
4．(2013兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200
C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200
5．(2013湛江)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是
6．(2013长沙)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．
(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；
(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元．
【模拟预测】
1．已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是( )
A．－5 B．5 C．7 D．2
2．方程组的解是( )
A． B．
C． D．
3．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
4．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为( )
A．－ B. C． D．－
5．湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________．
6．方程|4x－8|＋＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．
7．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为__________．
8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是__________．
9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
第6课时 分式方程
【考纲要求】
1．理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．
2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题．
3．会列分式方程解决实际问题.
【命题趋势】
中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定有关字母的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点.
【考点探究】
考点一、分式方程的解法
【例1】解方程：＝.
分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．
解：原方程两边同乘6x，得3(x＋1)＝2x·(x＋1)，整理得2x2－x－3＝0，解得x＝－1或x＝.经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x＝－1或x＝.
方法总结 解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．
触类旁通1 解方程：＋＝.
【例2】解方程：＋＝.
解：设＝y，则原方程化为y＋＝.
解得y1＝2，y2＝.当y＝2时，＝2，解得x＝－1；
当y＝时，＝，解得x＝2.
经检验，x1＝－1，x2＝2均符合题意，
所以原方程的解为x1＝－1，x2＝2.
方法总结 解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：第一种情况是“倒数型”，如＋＝，由于与互为倒数，当设＝y时，原方程可化为2y＋＝；第二种情况是“平方型”，如2－2－3＝0，此时设x－＝y，则原方程可化为y2－2y－3＝0.
触类旁通2 方程－＝0的根是________．
考点二、分式方程的增根
【例3】分式方程－1＝有增根，则m的值为( )
A．0或3 B．1
C．1或－2 D．3
解析：由(x－1)(x＋2)＝0得增根可能是x＝1或x＝－2，把方程两边都乘(x－1)(x＋2)得x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m，当x＝1时，得m＝3，当x＝－2时，得m＝0，此时方程变为－1＝0，即x＝x－1，此时方程无解，故m＝0舍去，∴当m＝3时，原方程有增根x＝1.
答案：D
方法总结 利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．
触类旁通3 若解分式方程＝－1时产生增根，则m的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
考点三、分式方程的应用
【例4】某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？
解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得－＝0.6，
化简，得x2＋3x－130＝0，解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10.经检验：x＝10符合题意．
答：该品牌饮料一箱有10瓶．
方法总结 列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
触类旁通4 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
【经典考题】
1．(2013丽水)把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
2．(2013宜宾)分式方程－＝的解为( )
A．3 B．－3 C．无解 D．3或－3
3．(2013台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )
A．＝× B．＝×
C．＋＝ D．＝－
4．(2013攀枝花)若分式方程：2＋＝有增根，则k＝__________.
5．(2013梅州)解方程：＋＝－1.
6．(2013临沂)某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件．若加工1 800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍．求手工每小时加工产品的数量．
【模拟预测】
1．解方程＋＝3时，设＝y，则原方程化为y的整式方程为( )
A．2y2－6y＋1＝0 B．y2－3y＋2＝0
C．2y2－3y＋1＝0 D．y2＋2y－3＝0
2．分式方程＝的解是( )
A．x＝－2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝1或x＝2
3．若关于x的方程－＝0没有增根，则m的值不能是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
4．某单位向一所希望小学赠送1 080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为( )
A．＝＋12 B．＝－12
C．＝－12 D．＝＋12
5．已知x＝1是分式方程＝的根，则实数k＝________.
6．若与1互为相反数，则x的值是__________．
7．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为__________．
8．解分式方程：(1)＋1＝；
(2)－＝1.
9．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米．
第7课时 一元一次不等式(组)
【考纲要求】
1．了解不等式(组)有关的概念．
2．理解不等式的基本性质；会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．
3．能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.
【命题趋势】
不等式(组)在中考中以解不等式(组)、求不等式(组)的特殊解为主．而紧密联系日常生活实际的不等式(组)的应用，更是中考的热点内容，且难度大，综合性强.
【考点探究】
考点一、不等式的性质
【例1】已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是( )
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b
C．＞ D．a2＞ab＞b2
解析：∵a＞b，∴－a＜－b，根据不等式性质一知，A，B均正确．
∵c≠0，∴c2＞0，根据不等式性质二知C项正确．D项中当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故D不正确．
方法总结 不等式的基本性质是不等式变形的依据，是我们应掌握的基本知识．特别要注意的是，不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变．
触类旁通1 下列不等式变形正确的是( )
A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得－2a＜－2b[
C．由a＞b，得－a＞－b D．由a＞b，得a－2＜b－2
考点二、不等式(组)的解集的数轴表示
【例2】不等式8－2x＞0的解集在数轴上表示正确的是( )
解析：不等式8－2x＞0的解集是x＜4，故选C.
方法总结 不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来，具体表示方法是先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈；再确定方向，大向右，小向左．
触类旁通2 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
考点三、不等式(组)的解法
【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来[
解：
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜4.
所以，不等式组的解集为1≤x＜4.
在数轴上表示为
方法总结 1．解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘(或除)以一个负数，要改变不等号的方向．
2．解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共部分．解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则将可能出现错误．
3．在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右”．
触类旁通3 求满足不等式组的整数解．
考点四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【例4】关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是( )
A．－5≤a≤－ B．－5≤a＜－
C．－5＜a≤－ D．－5＜a＜－
解析：解原不等式组，得2－3a＜x＜21.
由已知条件可知2－3a＜x＜21包含4个整数解，这4个整数解应为17,18,19,20，这时2－3a应满足16≤2－3a＜17，解得－5＜a≤－，故应选C.
方法总结 根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围，解决此类问题时，一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集，再根据已知不等式(组)的解集情形，求出字母的取值范围．
触类旁通4 若不等式组有解，则a的取值范围是( )
A．a＞－1 B．a≥－1
C．a≤1 D．a＜1
考点五、不等式(组)的应用
【例5】某家电商场计划用32 400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
解：(1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15－2x)台．依题意，得
解得6≤x≤7.∵x为正整数，∴x＝6或7.
方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．
(2)方案1需补贴：(6×2 100＋6×2 500＋3×1 700)×13%＝4 251(元)；
方案2需补贴：(7×2 100＋7×2 500＋1×1 700)×13%＝4 407(元)．
∴国家财政最多需补贴农民4 407元．
方法总结 1．利用不等式(组)解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．
2．在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨．
触类旁通5 某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4 120元．
(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22 240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4 100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【经典考题】
1．(2013武汉)在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是( )
2．(2013临沂)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
3．(2013凉山)设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )
A．c＜b＜a B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
4．(四川广安)不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解是__________．
5．(2013济宁)解不等式组并在数轴上表示出它的解集．
6．(2013益阳)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【模拟预测】
1．若a＞b，则( )
A．a＞－b B．a＜－b[
C．－2a＞－2b D．－2a＜－2b
2．不等式x＞1在数轴上表示正确的是( )
3．现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )
A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
4．不等式组的解在数轴上表示为( )
5．关于x的不等式－2x＋a≤2的解集如图所示，那么a的值是( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为__________．
7．关于x的不等式3x－a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是__________．
8．已知关于x，y的方程组的解x，y都是正数，求m的取值范围．
第8课时 一元二次方程
【考纲要求】
1．理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的解法．
3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．
4．会列一元二次方程解决实际问题.
【命题趋势】
结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.
【考点探究】
考点一、一元二次方程的有关概念
【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
解析：由一元二次方程的定义可知选项A不是整式方程；选项B中，二次项系数可能为0；选项D中含有两个未知数．故选C.
答案：C
方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.
触类旁通1 已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A．－2 B．2 C．5 D．6
考点二、一元二次方程的解法
【例2】解方程x2－4x＋1＝0.
分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．
解：解法一：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，由此可得x－2＝±，x1＝2＋，x2＝2－.
解法二：a＝1，b＝－4，c＝1.b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x＝＝2±.
方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．
触类旁通2 解方程：x2＋3x＋1＝0.
考点三、一元二次方程根的判别式的应用
【例3】关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A．0 B．8 C．4± D．0或8
解析：b2－4ac＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，解得m1＝0，m2＝8.故选D.
答案：D
方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．
触类旁通3 已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是( )
A．n2－4mk＜0 B．n2－4mk＝0
C．n2－4mk＞0 D．n2－4mk≥0
考点四、一元二次方程根与系数的关系
【例4】已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
解：(1)依题意，得b2－4ac≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤.
(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，
即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.∵k≤，
∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．
②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，
即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.综合①②可知k＝－3.
解法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1)．
由(1)可知k≤，∴2(k－1)＜0，即x1＋x2＜0.
∴－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.
方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a≠0，②b2－4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．
触类旁通4 若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是( )
A．4 B．3 C．－4 D．－3
考点五、用一元二次方程解实际问题
【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？
解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25.∵x2＝－2.25＜0，故舍去，∴x＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.
答：2011年的年产量为12.5万辆．
方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．
触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？
【经典考题】
1．(2013河北)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
2．(2013南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )
A．1 B．－1 C． D．－
3．(2013株洲)已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为( )
A．b＝－1，c＝2 B．b＝1，c＝－2
C．b＝1，c＝2 D．b＝－1，c＝－2
4．(2013成都)一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121
C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝121
5．(2013铜仁)一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．
6．(2013绍兴)把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．
【模拟预测】
1．关于x的方程(m2－2)x2＋(m＋2)x＝0是一元二次方程的条件是( )
A．m≠2 B．m≠±2
C．m≠ D．m≠±
2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( )
A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9
3．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a＞2
C．a＜2且a≠1 D．a＜－2
4．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则( )
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0
C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
5．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__________．
6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．
7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则＋的值是__________．
8．解方程：x(x－2)＋x－2＝0.
9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
第9讲 函数概念与平面直角坐标系
【考纲要求】
1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．
2．掌握坐标平面内点的坐标特征．
3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．
4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.
【命题趋势】
函数作为基础知识，在各地的中考试题中主要以填空题、选择题的形式来考查函数的基本概念、函数自变量的取值范围、函数之间的变化规律及其图象.
【考点探究】
考点一、平面直角坐标系内点的坐标特征
【例1】若点P(a，a－2)在第四象限，则a的取值范围是( )
A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2
C．a＞2 D．a＜0
解析：第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0，结合点的坐标特征构造不等式组
解这个不等式组得0＜a＜2，故选B.
答案：B[
方法总结 解这类题的关键是明确各象限内点的坐标特征，总结规律，再结合规律列出不等式(组)求解．
触类旁通1 在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，|n|)一定在( )
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第四象限 D．第三象限或第四象限
考点二、图形的变换与坐标
【例2】在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：
(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方式得到的？
(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．
分析：(1)→→
(2)→→→
解：(1)先将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′(或先平移再旋转也可)．
(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)．
S△DEF＝6×2－×4×2－×2×1－×6×1＝4.
方法总结 在平面直角坐标系中，图形的平移、对称、旋转等变换会引起坐标的变化，同样，坐标的变化也会引起图形的变换，两者紧密结合充分体现了数形结合的思想．
触类旁通2 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4,5)，(－1,3)．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(3)写出点B′的坐标．
考点三、函数图象的应用
【例3】如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为( )
解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．
答案：C
方法总结 利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，要看清横坐标和纵坐标表示的是哪两个变量，探求变量和函数之间的变化趋势，仔细观察图象(直线或曲线)的“走势”特点，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．
触类旁通3 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点四、函数自变量取值范围的确定
【例4】函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≥－3 B．x≥－3且x≠1
C．x≠1 D．x≠－3且x≠1
解析：由题意得x＋3≥0，且x－1≠0，所以x≥－3且x≠1.
答案：B
方法总结 自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；⑤当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．
触类旁通4 函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≤3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＞3
【经典考题】
1．(2013成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为( )
A．(－3，－5) B．(3,5)
C．(3，－5) D．(5，－3)
2．(2013重庆)年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是( )
3．(2013湘潭)下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x－3 D．y＝
4．(2013绍兴)小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家300米的报亭，母亲随即按原速度返回家．父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家．则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是__________(只需填写序号)．
5．(2013菏泽)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
【模拟预测】
1．在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为( )
A．(3,2) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)
2．下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是( )
A．y＝ B．y＝1－
C．y＝ D．y＝＋
3．以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B，D两点的坐标分别为(1,3)，(4,0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是( )
A．(3,3) B．(5,3) C．(3,5) D．(5,5)
4．若点P(a，a－b)在第四象限，则点Q(b，－a)在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
5．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3)，B(4,1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是( )
A．(1,0) B．(5,4)
C．(1,0)或(5,4) D．(0,1)或(4,5)
6．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢走至离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是( )[来源^*:&中教%网~]
7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．
8．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2 400 m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96 m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD，线段EF分别是表示s1，s2与t之间函数关系的图象．
(1)求s2与t之间的函数关系式；
(2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
第10课时 一次函数
【考纲要求】
1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式．
2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．
3．体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题.
【命题趋势】
一次函数是中考的重点，主要考查一次函数的定义、图象、性质及其实际应用，有时与方程、不等式相结合．题型有选择题、填空题、解答题.
【考点探究】
考点一、一次函数的图象与性质
【例1】已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2(k≠0)．若其图象经过原点，则k＝__________；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________．
解析：∵一次函数图象经过原点，∴4k－2＝0，∴k＝；
若y随x的增大而减小，则k＜0.
方法总结 一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.
触类旁通1 已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( )
A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2
C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2
考点二、确定一次函数的解析式
【例2】如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)试求△DOC的面积．
分析：求经过已知两点坐标的直线解析式，一般是按待定系数法步骤求得，又由于点C，D分别在x，y轴上，据其坐标特点可求出CO，DO的长．
解：(1)把A，B点代入得解得
∴y＝x＋.
(2)由(1)得C，D，则OC＝，OD＝.∴△DOC的面积＝××＝.
方法总结 用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．
触类旁通2 已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0,2)，N(1,3)两点．
(1)求k，b的值；
(2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A(a,0)，求a的值．
考点三、一次函数与方程(组)、不等式的关系
【例3】如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是__________．
解析：如图所示，二元一次方程组的解就是直线y＝ax＋b与直线y＝kx的交点，所以点P的坐标就是方程组的解，即
方法总结 两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．
触类旁通3 如图，直线y1＝kx＋b过点A(0,2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是__________．
考点四、一次函数的应用
【例4】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
解：(1)15
(2)由图象可知，s是t的正比例函数．
设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k，解得k＝.∴s与t的函数关系式为s＝t(0≤t≤45)．
(3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt＋n(m≠0)．
代入(30,4)，(45,0)，得解得
∴s＝－t＋12(30≤t≤45)．令－t＋12＝t，解得t＝.当t＝时，s＝×＝3.
答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
方法总结 用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．
【经典考题】
1．(2013乐山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是( )
2．(2013泉州)若y＝kx－4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的( )
A．－4 B．－ C．0 D．3
3．(2013丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则乙比甲每分钟多行驶__________千米．
4．(2013株洲)一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．
5．(2013菏泽)如图，一次函数y＝－x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，求过B，C两点直线的解析式．
6．(2013上海)某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．(注：总成本＝每吨的成本×生产数量)
【模拟预测】
1．关于一次函数y＝－x＋1的图象，下列所画正确的是( )
2．已知直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为( )
A． B．± C． D．±
3．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝x D．y＝x－2
4．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是( )
(第4题图)
A．摩托车比汽车晚到1 h
B．A，B两地的路程为20 km
C．摩托车的速度为45 km/h
D．汽车的速度为60 km/h
5．如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2.其中说法正确的有__________(把你认为说法正确的序号都填上)．
(第5题图)
6．点A(－3,4)在一次函数y＝－3x－5的图象上，图象与y轴的交点为B，那么△AOB的面积为________．
7．一辆汽车在行驶过程中，路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为__________．
8．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝(x＞0)的图象交于A，B两点，与y轴交于C点．已知A点的坐标为(2,1)，C点坐标为(0,3)．
(1)求函数y1的表达式和B点坐标；
(2)观察图象，比较当x＞0时，y1和y2的大小．
第11课时 反比例函数
【考纲要求】
1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质．
3．能用反比例函数解决简单实际问题.
【命题趋势】
反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题为主.
【考点探究】
考点一、反比例函数的图象与性质
【例1】反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是__________．
解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m－1＞0，∴m＞1.
方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况．
2．反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限．
触类旁通1 若双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是__________．
考点二、反比例函数解析式的确定
【例2】如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB＝1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．
解：∵AB垂直x轴于点B，OB＝1，且点A在第一象限，∴点A的横坐标为1.又∵直线y＝2x的图象经过A，∴y＝2x＝2×1＝2，即点A的坐标为(1,2)．
∵y＝的图象过点A(1,2)，∴2＝.∴k＝2.
∴这个反比例函数的解析式为y＝.
方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值．
触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，n)．
(1)求反比例函数y＝的解析式；
(2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．
考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义
【例3】已知点P在函数y＝(x＞0)的图象上，PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A，B，则矩形OAPB的面积为__________．
解析：矩形OAPB的面积等于|xy|＝|k|＝2.
方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.
触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A是图象上任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，如果△AOM的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．
【经典考题】
1．(2013台州)点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1
C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
2．(2013常德)对于函数y＝，下列说法错误的是( )
A．它的图象分布在第一、三象限
B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
3.(2013铜仁)如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值是( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
4．(2013兰州)如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为__________．
5．(2013成都)如图，一次函数y＝－2x＋b(b为常数)的图象与反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(－1,4)．
(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
6．(2013攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
【模拟预测】
1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( )
A．(－3,2) B．(3,2)
C．(2,3) D．(6,1)
2．若函数y＝的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是( ) A．m＞－2 B．m＜－2
C．m＞2 D．m＜2
3．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A．图象经过点(1，－1)
B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝－的图象上的三点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
5．反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A(1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的点P的坐标为__________．
6．在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝10，sin∠AOB＝，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为__________．
7．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积是1，则反比例函数的解析式为__________．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B，A，与反比例函数的图象分别交于点C，D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2.
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求直线AB的解析式．
第12课时 二次函数
【考纲要求】
1．理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．
4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【命题趋势】
二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.
【考点探究】
考点一、二次函数的图象及性质
【例1】(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( )
A．(－1,8) B．(1,8)
C．(－1,2) D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－＝－＝－1，
＝＝8，
∴二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.
(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.
∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
∴y1＞y3.∴y1＞y2.
方法总结 1．将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－，顶点坐标来求对称轴及顶点坐标．
2．比较两个二次函数值大小的方法：
(1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
触类旁通1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)
解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．
方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
触类旁通2 小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
考点三、二次函数图象的平移
【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．
方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
触类旁通3 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
考点四、确定二次函数的解析式
【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．
解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.
∴△AOD≌△BEC.
∴OA＝EB＝EA.
设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，
m2＋()2＝(2m)2，解得m＝1.
∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.
∴A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，)．
(2)解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋，代入A的坐标(1,0)，得a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋.
解法二：设这个抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由已知抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，C(2，)三点，
得解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.
方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．
触类旁通4 已知抛物线y＝－x2＋(6－)x＋m－3与x轴有A，B两个交点，且A，B两点关于y轴对称．
(1)求m的值；
(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．
考点五、二次函数的实际应用
【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－(x－60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－(100－x)2＋(100－x)＋160(万元)．
(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；
(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；
(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？
解：(1)当x＝60时，P最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．
(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．
后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100－x)万元，所以y＝P＋Q＝＋＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1 065，表明x＝30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．
(3)有极大的实施价值．
方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：
1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．
触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0＜x≤11)．
(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；
(2)求今年这种玩具的每件利润y(元)与x之间的函数关系式；
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．
【经典考题】
1．(2013乐山)二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是( )
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2
C．1＜t＜2 D．－1＜t＜1
2．(2013菏泽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )'
3．(2013上海)将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．
4．(2013枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是______________．
(第4题图)
5．(2013珠海)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.
(第5题图)
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
6．(2013益阳)已知：如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1,3)处．
(1)求原抛物线的解析式；
(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)
【模拟预测】
1．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( )
A．(3，－4) B．(3,4)
C．(－3，－4) D．(－3,4)
2．由二次函数y＝2(x－3)2＋1，可知( )
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝－3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
3．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
4．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )
(第4题图)
A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
5．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1,0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一交点为C，则AC长为__________．
(第5题图)
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x＝；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．
8．2011年长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
(1)分别求y1和y2的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)研究二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
第13课时 平行线与相交线
【课标要求】
1、线段的定义、中点。2、线段的比较、度量
3、线段公理。4、直线公理，垂线性质
5、对顶角的性质。6、平行线的性质、判定
7、射线的定义。8、射线的性质
9、等角的余角(补角)相等、对顶角相等
10、垂线、垂线段等概念、垂线段最短的性质
11、用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线
12、线段的垂直平分线及其性质
13、探索平行线性质
14、用三角尺和直尺过已知直线外一点作这直线的平行线
15、度量两平行线间的距离
【知识要点】
1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.
2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．
3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.
4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.
6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.
7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.
8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
【典型例题】
1．下图中，∠1和∠2是同位角的是
2． 一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3． 一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4． 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°
D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
5． 如图（2）所示，∥，AB⊥，∠ABC=130°，那么∠α的度数为（ ）
A．60° B．50°
C．40° D．30°
6． 适合的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
7． 一个n边形的内角和等于它外角和的5倍，则边数n等于（ ）
A．24 B．12 C．8 D．6
8．如图,AD=DB, E是BC的中点,BE=AC=2cm,线段DE的长,求线段DE的长.
9．(08益阳) 如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°电 白 县 林 头 中 学 数 学 科
中
考
复
习
教
案
电白县林头中学初三级数学科集体备课组
2014年2月18日
