安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期开学摸底联考数学试题（Word版含答案）

安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期开学摸底联考
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的倾斜角为，直线经过点和，且直线l与垂直，则a的值为（ ）
A．1 B．6 C．0或6 D．0
2．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
4．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为在，则（ ）
A．2 B． C．8 D．4
6．已知四面体，G是的重心，P是线段OG上的点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，，，则数列第2023项为（ ）
A． B． C． D．
8．设P，Q分别为圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为,焦距为，离心率为，P为椭圆左半边上一点，连接交y轴于点N，，其中O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为3
B．
C．若点Q在椭圆C上，则的最大值为
D．点P到x轴的距离为
10．已知圆C：和两点，．若以AB为直径的圆与圆C有公共点，则m可能的取值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，,2．记，数列的前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，已知正方体的棱长为4，M为的中点，N为平面ABCD内一动点，为平面内一动点，且平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆
B．若三棱柱的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆
C．若点N到直线与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D．若与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，则在方向上的投影向量为______．
14．已知数列的前n项和为，且有，．则______，数列的前n项和为，则______．
15．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______．
16．已知，是椭圆C：的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，若点M,N分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为-4的等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知直线l：（为任意实数），圆C的圆心在y轴上，且经过，两点．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长的取值范围，并求出弦长最短时的直线l的方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，点P，R分别是棱，CB的中点，点Q为棱上的点，且满足．
（Ⅰ）证明：平面AQR；
（Ⅱ）求平面PQR与平面AQR夹角的正切值．
20．（本小题满分12分）
抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：给出如下三个条件：
①焦点为；②准线为；③与直线相交所得弦长为2．
（Ⅰ）从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知是（Ⅰ）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知正项数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，数列的前n项和为，试比较与的大小并加以证明．
22．（本小题满分12分）
已知M，N两点的坐标分别为（-2，0），(2，0)，直线MQ，NQ相交于点Q，且它们的斜率之积为．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点的直线l与点Q的轨迹交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．
安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期开学摸底联考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 直线l的斜率为-1，直线l与垂直，所以直线的斜率为，解得则．
2．C 已知，，，，，……，∴观察可得该数列是周期数列且周期为3，∴．故选C．
3．B 设，则；由题意知，，则，∴，化简得．验证得，在A中，，不满足条件；在B中，，满足条件；在C中，，不满足条件；在D中，，不满足条件．故选B．
4．C 如图所示，可知，，，，所以直线BC的方程为．整理为一般式，即，关于x轴、原点对称，分别对应题中的A、B、C选项．
5．A 双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设A在x轴上方，则，，
∴，．又∵的周长为，
∴，∴．
6．B ∵，∴．故选B．
7．A 由，， ，所以，，，……，，将上式相加得．故选A．
8．D 依题意P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径．设．圆心到椭圆的最大距离．所以P，Q两点间的最大距离是．故选D．
9．BCD 焦距为，离心率为，得，，因为，勾股定理得，，对于A选项，，所以椭圆的长轴长为，故A选项错误；对于B选项，由题意得，，因为，所以，则，故，
，B选项正确；对于C选项，因为Q在椭圆C上，则，故C选项正确；对于D选项，设P在x轴上的投影为G，则，则，所以，又，解得，则P到x轴的距离为，故D选项正确；故选BCD．
10．BC 圆C：的圆心，半径为1，∵圆心C到的距离为5，∴以AB为直径的圆和圆C有交点，得，结合选项可得，m的值可能取4和5．故选BC．
11．ABD 本题考查新定义数列、递推公式以及数列的分组求和问题．由，，，故A正确；
，…，，故C错误；
由，可得，故B正确；
由，故D正确．故选ABD．
12．ACD 因为MN与平面ABCD所成的角为,所以,所以点N的轨迹为以D为圆心,2为半径的圆,所以A正确;
如图①所示,因为平面ABCD,平面ABCD,平面,所以，所以三棱柱的侧面积．
当为定值时,为定值,所以点N为以点A,D为焦点的椭圆，而三棱柱的表面积,且(h为的边AD上的高)是变化的，所以B错误;
因为点N到直线的距离与NB相等，所以点N的轨迹为点N到点B与到直线DC的距离相等的轨迹,即点N的轨迹是以B为焦点的抛物线,所以C正确;
以D为坐标原点,分别以DA,DC,所在直线为x,y,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则,,,设,则,．由题意可知,化简得,即，所以点N的轨迹为双曲线,所以D正确.故选ACD．
13． 在方向上的投影向量为．
14． 由，得，化简得，根据等比数列的性质得数列是等比数列.易知，故的公比为2，则，，．由裂项相消法得．
15． 由题意,要使得空间四边形PMND周长最小，只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面,延长DC至,使得,
于是点N在线段的垂直平分线上,所以,因为PD为定值,故当点P,M,N和共线时,空间四边形PMND的周长最小,易得,即得，即,所以,,,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,由题意可得,,,则,,设是平面PMN的一个法向量，则即得令，得，，所以，，所以点Q到平面PMN的距离．故答案为．
16． 因为椭圆上存在一点P，使得，所以的最大值不小于．根据余弦定理得
，当且仅当，即P点为椭圆短袖的顶点时，最大．此时，令，则，于是椭圆的离心率，当椭圆C的离心率取得最小值时，，椭圆C的方程为．连接DN，，则，
所以只需求出的最大值即可．，当且仅当N，D，三点共线且点N在线段的延长线上时，不等式取到等号，所以的最大值为，因此的最大值是．
17．解：（Ⅰ）由题意知，于是；
当时，，
又也适合，故．
（Ⅱ）①当时，；
②当时，；
故数列的前n项和为
18．解：（Ⅰ）线段AB的中垂线方程为，
令得圆心，其半径，
故圆C的标准方程为．
（Ⅱ）直线l：，即，
由解得直线l过定点；
直线l被圆C截得的弦长的最小值为；
最长弦长为直径，故直线l被圆C截得的统长的取值范围为
弦长最短时的直线l的方程为，即
19．（Ⅰ）证明：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，于是，，从而
，，，
由，
知，，又AQ，平面AQR，且，故平面AQR．
（Ⅱ）解：由，知，
设平面PQR的法向量为，则有令，则，，即；
又由（Ⅰ）知平面AQR的法向量为，故求平面PQR与平面AQR夹角的余弦值为
，
其正弦值为，故其正切值为．
其他解法可参照赋分．
20．（Ⅰ）C：即C：，其焦点坐标为，准线方程为，通径长为，选择任何一个均可得C：．
（Ⅱ）设，，，设切线：，将其与C：联立得，由得，故切线：，即；同理：
又点满足切线，的方程，即有故弦AB所在直线方程为，其过定点．
21．（Ⅰ）解：当时，，解得；
当时，，即，由知；
故数列是首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，从而
，
，
两式相减得，从而，
故．
22．解：（Ⅰ）设点，则，化简得点Q的轨迹方程为．
（Ⅱ）设，，直线l的方程为，联立方程组消去y得，由题可知且，即且，，
所以，．
设存在符合条件的定点，则，,
所以．
所以,
化简得．
因为为常数，所以，解得．
此时该常数的值为，
所以，在x轴上存在点，使得为常数，该常数为．