第一章 二次函数 单元自测题（含解析）2022-2023学年湘教版数学九年级下册

湘教版初中数学九年级下册 第一章 二次函数 单元自测题
一、单选题
1．二次函数y=（x-3）2+1的最小值是（　　）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
2．将二次函数 的图象向左平移1个单位长度， 再向上平移2个单位后， 所得图象 的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
3．抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．已知二次函数 ，当x≥2时，y的取值范围是（　　）
A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3
5．如果抛物线 开口向下，那么 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．二次函数y=x2-2x+2的图象顶点在第（　　）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
7．在下列函数中，其图象与x轴没有交点的是（　　）
A．y=2x B．y=﹣3x+1 C．y=x2 D．y=
8．如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．函数 的图象上有三个点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为(　　)
A． B．
C． D． ， ， 的大小不确定
10．已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（　　）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b
二、填空题
11．二次函数 的对称轴是直线　 　．
12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是　 　m．
13．二次函数的图象如图所示，则m的取值范围是　 　．
14．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα= .下列结论：
①△ADE∽△ACD； ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8； ④0其中正确的结论是　 　.(把你认为正确结论的序号都填上)
三、解答题
15．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
16．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积，
17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．
18．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
19．如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．
20．关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
四、综合题
21．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30m的铁栅栏．
（1）求梯形的面积y与高x的表达式；
（2）求x的取值范围．
22．某环保器材公司销售一种新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该产品的总开支z（万元）（不含进价成本）与年销售y（万件）存在函数关系z＝10y＋42.5
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）试求出该公司销售该产品年获利w（万元）与销售单价x（元/件）的函数关系式（年获利＝年销售总收入金额－年销售产品的总进价－年总开支金额）；当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请根据函数图象的性质直接写出x的取值范围.
23．如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线经过A，两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式：
（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求的最小值；
（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵y=（x-3）2+1中 ，a=1＞0，
∴图象开口向上，对称轴为x=3，
∴当x=3时，ymin=1，
故答案为：C.
【分析】由二次函数的顶点式y=（x-3）2+1可知，二次项系数为1，对称轴为x=3，顶点坐标的纵坐标即为函数的最小值，据此求解即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： 向左平移1个单位长度为：，
再向上平移2个单位为：.
故答案为：D.
【分析】图象的平移特点是：自变量左加右减，因变量上加下减，据此分步求解即可得出新的函数解析式.
3．【答案】B
【解析】【解答】∵y=2(x-1)2-2是二次函数解析式的顶点式，
∴抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是直线x=1，
故答案为：B．
【分析】根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，即可得答案．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：当x=2时，y=﹣4+4+3=3，
∵ = ，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3，
故答案为：B.
【分析】由题意把x=2代入解析式计算可求得y的值，再将二次函数的解析式配成顶点式，可得抛物线的对称轴为x=1，根据二次函数的性质即可求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线 开口向下，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口向下可得不等式 ，解不等式即可得出结论.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y＝x2 2x＋2＝（x 1）2＋1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），在第一象限，
故答案为：A．
【分析】利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，求出顶点坐标，然后判断所在象限．
7．【答案】D
【解析】【解答】A．正比例函数y=2x与x轴交于（0，0），不合题意；
B．一次函数y=-3x+1与x轴交于（ ，0），不合题意；
C．二次函数y=x2与x轴交于（0，0），不合题意；
D．反比例函数y= 与x轴没有交点，符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据一次函数的图象，二次函数的图象以及反比例函数的图象进行判断即可．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴＜0，
∴①不符合题意．
∵当x=0时，y=c，
∴C（0，c），
∵OB=2OC，
∴B（-2c，0）．
∴0=4ac2-2bc+c=0
∴c（4ac-2b+1）=0，
∵c＜0，
∴4ac-2b+1=0，
∴2b-4ac=1．
∴②符合题意．
∵抛物线过点A（-2，0），B（-2c，0）．
抛物线可以表示为：y=a（x+2）（x+2c）
=ax2+2a（c+2）x+4ac．
∴4ac=c．
∴4a=1，
∴，
∴③符合题意．
∵，2b-4ac=1，
∴c=2b-1，
∴④符合题意．
∴正确的有：②③④，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向上知a＞0，结合对称轴在y轴右侧可得b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，据此判断①；先求点C（0，c），由OB=2OC，可得B（-2c，0），将点B坐标代入中，可得4ac2-2bc+c=0，据此判断②；由A、B坐标，利用交点式可得y=a（x+2）（x+2c），从而得出4ac=c，继而求出a值，即可判断③；由②③知，2b-4ac=1，从而得出c=2b-1，即可判断④.
9．【答案】B
【解析】【解答】解： 二次函数的解析式 ，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为 .
， ， 为 的图象上三个点，
且三点横坐标距离对称轴 的距离远近顺序为：
、 、 ，
三点纵坐标的大小关系为： .
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得开口方向以及对称轴，然后根据距离对称轴水平距离越远的点，对应的函数值越大进行比较.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：设函数y′＝（x c）（x c d），该函数与x轴的交点坐标为（c，0）、（c＋d，0），
函数y′向下平移3个单位得到y＝（x c）（x c d） 3，该函数与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0），
则a＜c＜c＋d＜b，
故|a c|＋|c b|＝c a＋b c＝b a，故A正确.
故答案为：A.
【分析】设函数y′＝(x c)(x c d)，则该函数图象与x轴的交点坐标为（c，0）、（c＋d，0），根据二次函数图象的几何变换可得函数y与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0），则a＜c＜c＋d＜b，接下来判断出a-c、c-b的符号，然后根据绝对值的性质化简即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ，
∴对称轴为：直线 ，
故答案为： ．
【分析】直接根据抛物线的顶点式写出对称轴即可．
12．【答案】11
【解析】【解答】解：根据题意可知 ，
则 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故铅球推出的距离是11米．
故答案为：11．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
13．【答案】
【解析】【解答】解：抛物线的开口向下，①，
对称轴在y轴的左侧，②，
二次函数与y轴交于负半轴，③，
抛物线与x轴无交点，④，
联立①②③④解之得：，
的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解即可。
14．【答案】①②④
【解析】【解答】作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α，BH=CH，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正确；
在Rt△ABH中，cosB= ，
∴BH=10× =8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6，则CD=10，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠EDC=∠BAD，
在△ABD与△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE，所以②正确；
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
△DCE为直角三角形，当∠DEC=90°，则∠ADB=90°，BD为8；
当∠EDC=90°，则∠BAD=90°，BD= ，所以③错误；
设BD=x，则CD=16-x，
由△ABD∽△DCE得 ，即 ，
∴CE=- ，
∴CE的最大值为6.4，
∴0＜CE≤6.4，所以④正确．
故答案为：①②④.
【分析】①利用三个角相等的两个三角形相似来证明；②利用角相等，将所给的余弦函数变为∠B的余弦函数，从而利用角边角证得△ABD≌△DCE；③利用三角形相似对应边成比例，再结合所求及所给线段的长度求得BD的长度；④由三角形相似对应边成比例用BD的表示出CE的长度，再利用二次函数的图象特征计算出CE的取值范围.
15．【答案】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，
∵在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，
动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，
∴BP=12﹣2t，BQ=4t，
∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：y= （12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（0＜t＜6）
【解析】【分析】根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．
16．【答案】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，
∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，
∴AF=EF=x，GB=DG=x，FG=AB-AF-GB=20-2x，
∴矩形EFGD的面积y=x(20-2x)=-2x2+20x，
由0<20-2x<20，
解得0∴y关于x的函数关系式是，
定义域是0当x=4时，y=-2×42+20×4=48，
即当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．
【解析】【分析】利用矩形的面积公式可得，再利用二次函数的性质求解即可。
17．【答案】解：∵二次函数的图象经过A(-2，0)，B(4，0)，
∴设二次函数的解析式为 ，
∵图象过点C(1，3)，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
故二次函数的解析式为： ．
【解析】【分析】利用抛物线与 x 轴的两交点坐标，可设交点式 ，然后把C点坐标代入求出 即可．
18．【答案】如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN=x，
PN=y，
则面积S=xy①，
∵点P在AB上， 由△APQ~△ABF得，
即：x=10-2y，
∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y
即S= ，
即：x=10-2y，
∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y
即S=
因为3≤y≤4而y= ，不在自变量的取值范围内，
所以y= 不是最值点，
当y=3时，S=12；当y=4时，S=8，故面积的最大值是S=12，此时，钢板的最大利用率是80%。
【解析】【分析】设矩形MDNP的两邻边DN=x，PN=y，易证△APQ~△ABF，利用相似三角形的对应边成比例得到x与y的关系，则可表示出矩形MDNP的面积S，然后利用二次函数的性质以及y的取值范围用比较法求出S的最大值，进而可求出钢板的最大利用率。
19．【答案】解：依题意得把两条路分别进行平移，
长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，
∴草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，
∴y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800，
自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即0＜x＜60．
故填空答案：y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
【解析】【分析】由题意可得，除去道路后， 草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，所以可得y=（80﹣x）（60﹣x） ，整理即可求解。
20．【答案】解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，
解得 m=3，m=﹣1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
【解析】【分析】抓住已知条件：已知函数的图象与x轴只有一个公共点，因此分两种情况讨论：该函数是一次函数时，则二次项系数为0且一次项系数不为0，建立关于m的方程和不等式，求解即可；当此函数是二次函数时，二次项系数不为0且b2-4ac=0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
21．【答案】（1）解：如图，连接DE，过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，DC=AE=x，∠DAE=∠AEB=90°，
则∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠AEB=90°，
∴∠B=45°，
∴DC=AE=BE=x，
∴AD=CE=30﹣2x，
∴梯形ABCD面积y= （AD+BC） CD= （30﹣2x+30﹣x） x=﹣ x2+30x
（2）解：∵ ，
∴0＜x＜15
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，得出DC=AE=BE=x，再证明△ABE是等腰直角三角形，得出AD=CE=30﹣2x，然后根据梯形的面积公式即可求出y与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解；（2）根据AE＞0，AD＞0，即可求出自变量x的取值范围．
22．【答案】（1）解：由题意，设，
图象过点（70，5），（90，3），
则，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为：y=－x+12；
（2）解：由题意，得：w=y（x－40）－z=y（x－40）－（10y+42.5）
=（－x+12）×（x－40）－10（－x+12）－42.5
=－x2+17x－642.5=－（x-85）2+80
∴当x=85时，年获利最大值为80万元；
（3）70≤x≤100
【解析】【解答】解：（3）由w=57.5得：－0.1x2+17x－642.5=57.5，
解得：x1=70，x2=100，结合函数图象的性质可知：70≤x≤100.
【分析】（1）设y=kx+b，将（70，5），（90，3）代入求出k、b的值，进而可得y与x之间的函数关系式；
（2）根据年获利=(售价-进价)×销售量 -总开支可得w与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）令w=57.5，求出x的值，进而可得x的范围.
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，，
∴，，
∴，
∴，
将点A，C坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：连接OC，交对称于点Q
∵轴，
∴，
∵，
∴四边形AOQP是平行四边形，
∴，
∴
若使的值为最小，其为量小．
∵E，C关于对称轴对称，
∴，
∴，
此时的值最小，最小值为线段OC长．
∵，
∴，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）解：存在，，，，，
【解析】【解答】(3)设
∵E，C关于对称轴对称，，
∴，
∵
∴
∵由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形
∴△AME是等腰三角形
当时，，
解得，
此时M点坐标为，
当时，，
解得，
此时M点坐标为，
当时，，
解得，
此时M点坐标为
综上所述，存在点M，，，，
，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形
【分析】（1）根据正方形的性质可求出A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2） 连接OC，交对称于点Q ，易证四边形AOQP是平行四边形，可得，从而得出
，若使的值为最小，其为量小.由E，C关于对称轴对称，可得，即得，此时的值最小，最小值为线段OC长，根据勾股定理求出OC即可；
（3）由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，可得△AME是等腰三角形，分三种情况：当时或当时或当时，据此分别解答即可.