2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数单元检测（含答案）

第三章 指数运算与指数函数单元检测
一、单选题
1．若正数，满足，，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算的结果为（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．若实数x，y满足，则的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．
5．如果函数和都是指数函数，则（ ）
A． B．1 C．9 D．8
6．已知函数，则（ ）
A． B．2 C． D．4
7．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．在上为减函数
C．的值域为
D．在上为增函数
二、多选题
9．若，则下列说法中正确的是（ ）
A．当n为奇数时，b的n次方根为a B．当n为奇数时，
C．当n为偶数时，b的n次方根为a D．当n为偶数时，
10．对于，以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象与的图象关于直线对称
三、填空题
13．若代数式有意义，则__________.
14．已知函数为奇函数，则实数__________．
15．设函数，则满足的的取值范围是__________.
16．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________.
四、解答题
17．计算或化简：
(1)；
(2).
18．已知正实数满足，求下列各式的值；
(1)
(2)
19．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并按定义证明；
(2)判断函数在时的单调性，并按定义证明．
20．已知指数函数的图像过点.
(1)求函数的解析式；
(2)求不等式的解集.
21．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
22．已知函数为奇函数．
(1)求实数的值，并用定义证明在上的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．D
6．D
7．C
8．C
9．ABD
10．AB
11．ABC
12．BCD
13．8
14．
15．
16．
17．（1）解：原式．
（2）解：原式
．
18．（1）因为，所以.
（2）因为，所以，所以.
19．（1）由题意得，解得，
函数的定义域为，
又，
所以函数为奇函数；
（2），
任取，
则，
，，
即，
，即
即函数在时的单调递减.
20．（1）设指数函数（且），
∵函数的图像过点，∴，解得或（舍）.
∴.
（2）由（Ⅰ）知不等式等价于.
∴，∴.
∴不等式的解集为.
21．（1）解：为偶函数，，
又为奇函数，，
，①
，即，②
由得：，可得.
（2）解：，
所以，，
令，因为函数、在上均为增函数，
故在上单调递增，则，
设，，对称轴，
①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得：或（舍）；
②当时，在上单调递增，
，解得：，不符合题意.
综上：.
22．（1）函数的定义域为，且为奇函数，
，解得．
此时为奇函数，所以．
是上是单调递增函数．
证明：由题知，设，
则
．
，即，
在上是单调递增函数．
（2）因为是上的奇函数且为严格增函数，
所以由．
可得．
所以恒成立，
解得，即实数的取值范围为．