2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.2.3向量的数乘课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
6.2.3向量的数乘运算
学习目标 核心素养
1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 直观想象
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 数学运算
3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题． 逻辑推理
探究：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？
如图，.类比数的乘法，我们把记作，即.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即.
类似地，由图可知，.我们把记作，即.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即.
知识点1 向量的数乘
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
(1)
(2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
由(1)可知，当时，.
由(1)(2)可知，.
探究：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？
你对零向量、相反向量有什么新的认识？
知识点2 向量的数乘运算的运算律
你能证明这些运算律吗？
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的.
设为实数，那么
(1)
(2)
(3)
特别地，我们有：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有
.
例5.计算：
(1)；(2)(3)
解：(1)原式
(2)原式
(3)原式
例6.如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和.
解：在□中，
由平行四边形的两条对角线互相平分，得：
知识点3共线向量定理
探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
综上，我们有如下定理：(共线向量定理)
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示.
例7.如图，已知任意两个非零向量，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线.
事实上，因为，
，
所以.
因此，，三点共线.
例8.已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值.
解：由于不共线，易知向量为非零向量.由向量，共线，可知存在实数，使得，即.
由不共线，必有.否则，不妨设，则.
由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾.
由解得
因此，当向量，共线时，.
题型一：向量的线性运算
题型二 用已知向量表示未知向量
题型三 向量共线问题
作业：
完成课时练+预习案