四川省内江市名校2022-2023学年高二下学期入学考试理科数学试题（Word版含答案）

内江市名校2022-2023学年高二下学期入学考试
理科数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1、直线的倾斜角为（ ）
A.120° B.150° C.30° D.45°
2、为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元） 8.2 8.6 10.0 11.2 12
支出（万元） 7.40 7.50 8.00 8.50
但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（ ）
A.8.60 B.8.80 C.9.25 D.9.52
3、设是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
4、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.“至少有一个红球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
5、圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
6、一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7、已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8、七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
9、若直线:与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10、三棱锥中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，且三棱锥的体积为.则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11、如图，等边三角形的边长为3，分别交，于，两点，且，将沿折起（点与重合），使得平面平面，则折叠后的异面直线，所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
12、已知直线:与直线:相交于点，线段是圆:的一条动弦，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13、从编号为1，2，…，88的88个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为8的样本，所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站的最小编号为______.
14、已知直线过点，在轴和轴上的截距分别为，，且满足，则直线的方程为_________________________________。
15、已知点，，若圆上恰有两点,，使得和的面积均为4，则的取值范围是____.
16、如图，在棱长为2的正方体中，,分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①平面截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题10.0分）
为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.
18、（本小题12.0分）
在中，，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上.
（1）求边上的高所在直线方程；
（2）设过点的直线为，且点与点到直线距离相等，求的方程.
19、（本小题12.0分）
某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加，根据相关资料可知该种工程车自购人使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示.已知与具有线性相关关系.
年份序号 1 2 3 4 5
维修费用（万元） 1.1 1.6 2 2.5 2.8
参考数据：，.参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，
（1）求关于的线性回归方程;
（2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆该种工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车.
20、（本小题12.0分）
如图，在多面体中，为等边三角形，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求多面体的体积.
21、（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，.
（1）证明：为等腰三角形.
（2）若平面平面，，求二面角的余弦值的取值范围.
22、（本小题12.0分）
已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点轨迹记为曲线，若，是曲线与轴的交点，为直线:上的动点，直线，与曲线的另一个交点分别为，，直线与轴交点为，求的最小值.
内江市名校2022-2023学年高二下学期入学考试
理科数学 答案和解析
一、选择题：1-5：CABDA 6-10:DCABA 11-12:DB
二、填空题：
13.【答案】 14.【答案】或
15.【答案】 16.【答案】
三、解答题：
17.【答案】解：由，解得．....2分
令中位数为，则，
解得，
所以综合评分的中位数为．.............................5分
由与频率分布直方图可知，
一等品的频率为，
所以个产品中一等品有个，非一等品有个，..............7分
则一等品与非一等品的抽样比为，
所以现抽取个产品，则有个一等品，记为，，，
个非一等品，记为，，
则从个中抽取个产品的所有情况为：
，，，，，，，，，，共种，......9分
而这个中恰有一个一等品的情况为：，，，，，，共种．
记事件为“从个产品中抽取个，这个产品中恰有一个一等品”，
则． ............................................10分
18.【答案】解：（1）设，则，
，
即，............................6分
（2）当斜率不存在时，:，不满足题意;
当斜率存在时，设即
依题意得：或或
综上所过，直线的方程为：或，
即：或． .....................12分
19.【答案】解：由题可得，
，.....................2分
，
，
所以，.....................6分
，
所以关于的线性回归方程为．.....................8分
由题意可得：，解得，
因为，
所以，预计一辆该种工程车一般使用年后可以申请报备更换新车．...................12分

20.【答案】解：证明：取中点，连结，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．.....................6分
解：，，
又，，、平面，
平面，
平面，平面平面，
过作的垂线，垂足为，则为四棱锥的高．，
底面四边形为直角梯形，其面积，
多面体的体积：
． ....................12分
21.【答案】证明：如图，取的中点，连接，，．
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则．
因为，，所以．
因为，且平面，所以平面，
在平面内，
，
故为等腰三角形．....................5分
解：设，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，．
设平面的法向量为，则即
令，则．
设平面的法向量为，则即
令，则．
，....................9分
令，则．
因为，所以．
二面角的大小等于二面角与二面角的大小之和．
因为二面角为直角，所以二面角为钝角．
故二面角的余弦值的取值范围为． ....................12分
22.【答案】解：设，则，
化简得．....................4分
由题意得，，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，
则，即，，
则
联立得，
则，即，，..............6分
当时，直线的斜率，
则直线的方程为，
即，所以，
当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点．
综上，直线恒过定点．....................8分
又∽，
所以，
所以
，....................11分
当且仅当时取等，
所以的最小值为． ....................12分