山东省济宁市梁山一中2013-2014学年高二上学期期末模拟 数学文

梁山一中2013—2014学年高二上学期期末模拟考试
数学（文）
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A={x|x2－3x－4>0}，B={x|x>7，或x<-1}，则为（ ）
A．(4，7] B．[-7，-1) C． D．[-1，7]
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A. B. C. D.
（ ）
A. 18 B．19 C． 20 D． 21
5．设椭圆上一点到其左、右焦点的距离分别为3和1，
则（ ）
A. 6 B． 4 C． 3 D．2
6．双曲线方程为则它的右焦点坐标为（ ）
A. B． C． D．
7．在等比数列()中，若，，则该数列的前10项和为D．
A． B．
C． D．
8．某地出租车收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元（其他因素不考虑）．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填
A． B．
C． D．
9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为D．
A．1 B．2
C． D．
10．已知命题p：?x∈[1， 2]，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，使得x＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是D．
A．a＝1或≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
11．已知定义在R上的函数f (x)，其导函数y＝的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是D．
A．f (a)取得极小值 B．f (d)取得最小值
C．f (x)在(a，c)上单调递增 D．f (e)取得极大值
12．已知椭圆的焦点为，，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于点，则使得的点的概率为
A． B． C． D．
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)
13．在正方体中，异面直线和所成的角的大小为__________．
14．以椭圆的焦点为顶点，以该椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是 .
15．双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为 .
16．如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，
且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的
顶端的距离为____________．
三．解答题(本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17．(本小题满分10分)
已知向量，设函数，其中x(R．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得图像的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的两倍，得到函数的图象，求的解析式．
18．(本小题满分12分)
已知圆N以N(2， 0)为圆心，同时与直线都相切．
（1）求圆N的方程；
（2）是否存在一条直线同时满足下列条件：
①直线分别与直线交于A，B两点，且AB中点为E；
②直线被圆N截得的弦长为2．
若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率，且过，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线与双曲线交于两点，求证：。
20．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线：，在此抛物线上一点到焦点的距离是3.
求此抛物线的方程；
（2）抛物线的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点．是否存在这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
21．(本小题满分12分)
设椭圆过点(1， )，F1、F2分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，直线过椭圆的右焦点F2与椭圆C交于M、N两点．若OM、ON 的斜率满足 求直线的方程．
22．(本小题满分12分)
已知函数，其导函数的图象过原点．
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若存在，使得，求的最大值；
（3）当时，确定函数的零点个数．
参考答案：
1-5 ABABD 6-10 DBDDA 11-12 CC
13． 14． 15． 17 16．4
17．解：（1），
∴函数f(x)的最小正周期．
当x=2k(＋，k(Z，函数f(x)取得最大值．
（2）先向右平移个单位，得y=，
再把横坐标扩大到原来的两倍，得y=，
所以，g(x) =.
18．解：（1）∵圆N与直线相切，∴半径r＝＝．
所以圆N的方程为(x－2)2+y2＝2．
（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，
设的方程为，
因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，即，
解得，
当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！
当时，的方程为，
由，解得点A坐标为，
由，解得点B坐标为，
显然AB中点不是，矛盾！
所以不存在满足条件的直线．
19．解：
设双曲线的标准方程为，代入点
双曲线的标准方程为
（2）由（1），
，
20．解：（1）抛物线准线方程是，
，
∴抛物线的方程是
（2）设，，
由得，
由得且.
，
，同理
由得，
即：，
∴，
，得且，
由且得，
的取值范围为
21．解：（1）由题意椭圆的离心率∴．
∴．∴．
∴椭圆方程为．
又点(1，)在椭圆上，∴，∴=1．
∴椭圆的方程为．
（2）若直线斜率不存在，显然不合题意，∴直线的斜率存在．
设直线为，代入椭圆方程，得
．
依题意．
设，，
则，．
又
＝．
从而=-3，即k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1．
故所求直线MN的方程为3x－y－3=0或x＋y－1=0．
22．解:(1)因为，由已知，则.
所以．
当时，，，则，.
故函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y(1=3(x(3)，即.
(2)由，得.
当时，，所以.
当且仅当时， 故的最大值为.
(3) 当时，的变化情况如下表：

(－∞，0)
0
(－∞，a＋1)
a＋1
(a＋1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∵的极大值，
的极小值，
由，则.
又．
所以函数在区间内各有一个零点.
故函数共有三个零点．